广东省肇庆市中小学教学质量评估2013届第一学期高三统一检测理科数学试题详细解析

广东省肇庆市中小学教学质量评估 2013 届第一学期高三统一检测 理科数学试题详细解析
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 A. 2 B. 3 C. 2 ? 2i

2 ?z ? ( z D. 2 ? 2i

)

2.已知集合 A ? ?1, 2, m? , B ? ?3,4? , A ? B ? ?1, 2,3, 4? 则 m ? ( A. 0 B. 3 C. 4 D. 3 或 4



3.已知向量 a ? (1, ? cos ? ), b ? (1, 2cos ? ) 且 a ? b ,则 cos 2? 等于 ( A. ?1



B. 0

C.

1 2

D.

2 2

?x ? y ? 1 ? 4.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的取值范围是( ?x ? y ? 1 ?
A. [?8, 4] B. [?8, 2] C. [?4, 2]



D. [?4, ?8]

5.图 1 是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是 27 ,则判断框①处应填入的条件 是 ( ) A. n ? 2 B. n ? 3 C. n ? 4 D. n ? 5

6.已知某个几何体的三视图如图 2 所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,则这个几何 体的体积是( ).

A. 8cm

3

B. 12cm

3

C. 24cm

3

D. 72cm

3

1? ? 7. ? x ? ? 的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数是( x? ?
A. 0 B. 2 C. 4

10

) D. 6

8.定义空间两个向量的一种运算 a ? b ? a ? b sin ? a, b ? ,则关于空间向量上述运算的以 下结论中,① a ? b ? b ? a ,② ? (a ? b) ? (?a) ? b ,③ (a ? b) ? c ? (a ? c) ? (b ? c) , ④若 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? x1 y2 ? x2 y1 . 恒成立的有 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.不等式 3 ?| 5 ? 2 x |? 9 的解集是 .

10.等比数列{ an }中, a1 ? a2 ? 20, a3 ? a4 ? 40 ,则 a5 ? a6 等于 11.函数 f ( x) ?

1 3 x ? 2 x 2 ? 3 x ? 2 在区间 [0, 2] 上最大值为 3

12.圆心在直线 x ? 2 y ? 7 ? 0 上的圆 C 与 x 轴交于两点 A(?2, 0) 、 B(?4, 0) ,则圆 C 的方 程为__________. 13.某班有学生 40 人,将其数学期中考试成绩平均分为两组,第一组的平均分为 80 分,标 准差为 4 ,第二组的平均分为 90 分,标准差为 6 , 则此班 40 名学生的数学期中考试成绩 平均分 方差为

( )



14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系 ? ? ,? ?( ? ? 0, 0 ? ? ? 与 ? ? 2cos ? 的交点的极坐标为_____

? ) 曲线 ? ? 2sin ? 中, 2

15.(几何证明选讲选做题)如图 3,△ABC 的外角平分线 AD 交外接圆于 D, BD ? 4 ,则 CD ? .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ? A sin 且 f (2? ) ? 2 . (1)求函数 y ? f ( x) 的表达式; (2)设 ? , ? ? [0,

? ?

x x? ? ?? ? b , , A cos ? , b ? ? cos ,sin ? ,函数 f ( x) ? a? ( A ? 0, x ? R ) 3 3? 6 6? ?

?
2

] , f (3? ? ? ) ?

16 5? ? 20 ? , f ? 3? ? ? ? ? ;求 cos(? ? ? ) 的值。 5 2 ? 13 ?

17.(本小题满分 12 分) 2012 年“双节”期间,高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽 车中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查, 将 他 们 在 某 段 高 速 公 路 的 车 速

? km / t ?

分 成 六 段 :

[60,65),[65,70), [70, 75), [75,80),[80,85), [85,90) 后得到如图 4 的频率分布直方图.问:
(1)某调查公司在采样中,用到的是什么抽样方法? (2)求这 40 辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值. (3)若从车速在 [60,70) 的车辆中任抽取 2 辆,求抽出的 2 辆车中速车在 [65,70) 的车辆数

? 的分布列及其均值(即数学期望) .

18. (本题满分 14 分) 如图 5, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面为直角梯形,AD // BC , ?BAD ? 90? , PA 垂 直于底面 ABCD , PA ? AD ? AB ? 2BC ? 2 , M , N 分别为 PC , PB 的中点。 (1)求证: PB ? DM ; (2)求平面 ADMN 与平面 ABCD 所成的二面角的余弦值; (3)求点 B 到平面 PAC 的距离.

19.(本小题满分 14 分) 某产品在不做广告宣传且每千克获利 a 元的前提下,可卖出 b 千克。若做广告宣传,广 告费为 n 千元时比广告费为 (n ? 1) 千元时多卖出

b ? 千克, n ? N ) ( 。 n 2 (1)当广告费分别为 1 千元和 2 千元时,用 b 表示销售量 s ;

(2)试写出销售量 s 与 n 的函数关系式; (3) a =50, b =200 时厂家应生产多少千克这种产品, 当 做几千元广告, 才能获利最大? 20. (本小题满分 14 分) 已知两圆 C1 : x ? y ? 2x ? 0, C2 : ( x ? 1) ? y ? 4 的圆心分别为 C1 , C2 , P 为一个
2 2 2 2

动点,且 | PC1 | ? | PC2 |? 2 2 . (1)求动点 P 的轨迹 M 的方程; (2)是否存在过点 A(2, 0) 的直线 l 与轨迹 M 交于不同的两点 C、D,使得 | C1C |?| C1D | ? 若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? (ax2 ? x)ex ,其中 e 是自然对数的底数, a ? R . (1)当 a ? 0 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)当 a ? 0 时,求整数 t 的所有值,使方程 f ( x) ? x ? 2 在 [t , t ? 1] 上有解; (3)若 f ( x ) 在 [?1,1] 上是单调增函数,求 a 的取值范围.

【参考答案】 1.D【解析】

2 2 ?z ? ? 1 ? i ? 2 ? 2i z 1? i

2.D【解析】 m ? 3 或 4 3.B【解析】 a ? b ? ?1 ? 2cos ? ? 0 ? cos 2? ? 0 .
2

4.A【解析】约束条件对应的三个“角点”坐标分别为: A(1,0), B(?1, 2), C (?1, ?2) ,则

z ? 2 x ? 3 y ?[?8, 4]
5.B【解析】由框图的顺序, s ? 0, n ? 1, s ? ? s ? n? n ? ? 0 ?1? ?1 ? 1, 依次循环

s ? ?1 ? 2? ? 2 ? 6 , n ? 3 ,注意此刻 3 ? 3 仍然为否,
所以还要循环一次 s ? ? 6 ? 3? ? 3 ? 27,n ? 4 此刻输出 s ? 27 . 6.B【解析】三视图的直观图是有一个侧面垂直于底面三棱锥,底面是底边长为 6 高为 4 的 等腰三角形,三棱锥的高为 3 ,所以,这个几何体的体积 V ?
10 ? r

1 1 ? ? 6 ? 4 ? 3 ? 12 3 2

7.B【解析】展开式通项为 Tr+1= C10 ( x ) 整数指数幂,即 5 ?

r

10 ?3r 1 r (? )r ? C10 (?1)r x 2 ,若展开式中含 x 的正 x

3 r ∈N*,且 0 ? r ? 10, r ? N ,所以 r ? 2 . 2

8.B【解析】 ①恒成立; ②

? (a ? b) ? ? a ? b sin ? a, b ? , (? a ) ? b ? ?a ? b sin ? a, b ? , 当 ? ? 0 时 ,

? (a ? b )? ?a ? b 不成立; ( )

③当 a ,b ,c 不共面时, (a ? b) ? c ? (a ? c) ? (b ? c) 不成立,例如取 a ,b ,c 为两两垂直的 单位向量,易得 (a ? b) ? c ? ④ 由

2 , (a ? c) ? (b ? c) ? 2 ;

a?

b?
2

s a ?i
2

b n

, ? , aa??? a ? b cos ? a, b ? bb





知 ,

(a ? b) 2 ? (a ?b) 2 ? a ? b
2 2

2 2 (a ? b)2 ? a ? b ? (a ?b) 2 ? ( x12 ? y12 )( x2 ? y2 ) ? ( x1 x2 ? y1 y2 ) 2 ? ( x1 y2 ? x2 y1 ) 2 ,

故 a ? b ? x1 y2 ? x2 y1 恒成立.

4,7] 9. [?2,1) ?(
【解析】不等式 3 ?| 5 ? 2 x |? 9 等价于

?| 5 ? 2 x |? 3 ? x ? 1或x ? 4 ?? ? ?2 ? x ? 1或4 ? x ? 7 ? ?| 5 ? 2 x |? 9 ??2 ? x ? 7
10. 80 【解析】 11. ?

?a1 ? a1q ? 20 ? q 2 ? 2 , a5 ? a6 ? a1q4 ? a1q5 ? q2 (a1q2 ? a1q3 ) ? 80 ? 2 a1q ? a1q 3 ? 40 ?

2 3 2 4 2 f ?( x)? x ? 4 x? 3 ? 0 ? x ? 1 ,x , 3 (0) ? ?2, f (1) ? ? , f (2) ? ? ? f 3 3
2 2

【解析】

12. ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 5 【解析】 直线 AB 的中垂线方程为 x ? ?3 ,代入 x ? 2 y ? 7 ? 0 ,得 y ? 2 ,故圆心的坐 标 为 C (? 3, 2), 再 由 两 点 间 的 距 离 公 式 求 得 半 径 r ?| AC |?

5 ,∴ 圆 C 的方程为

( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 5
13. 85 , 51 【解析】 成绩平均分 85 ,方差为 51 14. ? 2,

? ?

??
? 4?

【解析】 两式相除得 tan ? ? 1 ? ? ? 15. 4

?
4

? ? ? 2sin

?

?? ? ? 2 ,交点的极坐标为 ? 2, ? 4 4? ?

【解析】 ∵A、B、C、D 共圆,∴∠DAE=∠BCD.又∵ 而∠DAE=∠DAC,∴∠DBC=∠DCB.∴CD= BD ? 4 . 16【解析】 (1)依题意得 f ( x) ? A sin

=

,∴∠DAC=∠DBC.

x ? x ? ?x ?? cos ? A cos sin ? A sin ? ? ? 3 6 3 6 ?3 6?

又 f (2? ) ? 2 得 A sin ? 即 A sin

? 2? ? ? ? ? ? 2, ? 3 6?

5? ? 2 ,∴ A ? 4 6

∴ f ( x) ? 4sin ?

?x ?? ? ? ?3 6?
16 ? ? 16 ?1 得 4sin ? (3? ? ? ) ? ? ? , 5 6? 5 ?3

(2)由 f (3? ? ? ) ?

即 4sin ? ? ? 又∵ ? ? [0, 由 f ? 3? ?

? ?

? ? 16

4 ? ? ∴ cos ? ? 5 , 2? 5 ] ,∴ sin ? ? 3 , 5

?
2

? ?

5? 2

20 5? ? ? 20 ? ?1 ? ? ? 得 4sin ? (3? ? ) ? ? ? ? , 13 2 6? 13 ? ?3

5 5 ,∴ sin ? ? , 13 13 ? 12 又∵ ? ? [0, ] ,∴ cos ? ? 2 13
即 sin( ? ? ? ) ? ?

4 12 3 5 33 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 。 5 13 5 13 65
17 解:(1)系统抽样 。 (2)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于 77.5

设图中虚线所对应的车速为 x ,则中位数的估计值为:

0.01? 5 ? 0.02 ? 5 ? 0.04 ? 5 ? 0.06 ? ( x ? 75) ? 0.5 ,解得 x ? 77.5
即中位数的估计值为 77.5 (3)从图中可知,车速在 [60,65) 的车辆数为: m1 ? 0.01? 5 ? 40 ? 2 (辆) , 车速在 [65,70) 的车辆数为: m2 ? 0.02 ? 5 ? 40 ? 4 (辆) ∴ ? ? 0, 1, 2 ,
2 0 1 1 0 2 C2 C4 1 C2C4 8 C2 C4 6 P(? ? 0) ? ? , P(? ? 1) ? 2 ? , P(? ? 2) ? ? , 2 2 C6 15 C6 15 C6 15

? 的分布列为
?
P
0 1 2

1 15

8 15

6 15

均值 E (? ) ? 0 ? 1?

8 6 4 ? 2? ? . 15 15 3

18 解: (1)证明:因为 N 是 PB 的中点, PA ? AB , 所以 AN ? PB 由 PA ? 底面 ABCD ,得 PA ? AD ,
? 又 ?BAD ? 90 ,即 BA ? AD ,又 BA, PA 在平面 PAB 内,

? AD ? 平面 PAB ,所以 AD ? PB ,
又 AD, AN 在平面 ADMN 内,

? PB ? 平面 ADMN , ? PB ? DM 。
(2)方法一:

由(1)知, AD ? 平面 PAB ,所以 AN ? AD , 由已知可知, AB ? AD 所以 ?BAN 是平面 ADMN 与平面 ABCD 所成的二面角的平面角 在直角三角形 PAB 中, PB ?

PA2 ? AB2 ? 22 ? 22 ? 2 2

因为 N 直角三角形 PAB 斜边 PB 的中点,所以 AN ? 2 在直角三角形 NAB 中, cos ?BAN ?

AN 2 ? AB 2 2 . 2

即平面 ADMN 与平面 ABCD 所成的二面角的余弦值为

方法二:如图建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0), N (1,0,1) , D(0, 2,0)

???? ???? AN ? (1,0,1) , AD ? (0, 2,0)
? ???? ?n ?AN ? 0 ? ? 设平面 ADMN 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ? ???? ?n ?AD ? 0 ?
即?

?x ? z ? 0 ,令 z ? ?1 ,则 x ? 1 , ?2 y ? 0
?

所以平面 ADMN 的一个法向量为 n ? (1, 0, ?1) 显然 a ? (0,0, 2) 是平面 ABCD 的一个法向量 设平面 ADMN 与平面 ABCD 所成的二面角的平面角为 ? ,则

?

? ? n?a cos ? ? ? ? ? | n |?| a |

?2 2 ? 2 2 ?2
2 . 2

即平面 ADMN 与平面 ABCD 所成的二面角的余弦值为

(3)由已知得, AC ?

AB2 ? BC 2 ? 5

1 1 1 2 VP ? ABC ? S?ABC ? PA ? ? ? 2 ?1? 2 ? 3 3 2 3
设点 B 到平面 PAC 的距离为 h , 则 VB ? ACP ?

1 1 1 5 S?ACP ? h ? ? ? 2 ? 5 ? h ? h 3 3 2 3 5 2 2 5 h ? ,得 h ? 3 3 5

由 VP? ABC ? VB? ACP ,即

即点 B 到平面 PAC 的距离

2 5 . 5

19 解: (1)当广告费为 1 千元时,销售量 s ? b ?

b 3b ? 2 2 b b 7b 当广告费为 2 千元时,销售量 s ? b ? ? 2 ? 2 2 4

(2)设 s0 表示广告费为 0 千元时的销售量,

b ? ?s1 ? s 0 ? 2 ? ?s ? s ? b ? 2 1 由题意得 ? 22 , ??? ? ?s ? s ? b n ?1 ? n 2n ?
以上 n 个等式相加得 sn ? s0 ?

b b b b ? 2 ? 3 ?? ? n 2 2 2 2

即s ?b?

b b b b ? 2 ? 3 ??? n 2 2 2 2

? ? 1 ?n ?1 ? b ?1 ? ? ? ? ? ?2? ? ? ? b? 2 ? 1 ? ? ? ? ? 1 2n ? ? 1? 2

(3)当 a =50, b =200 时,设获利为 Tn ,则有

1? ? Tn ? sa ? 1000n ? 10000 ? ? 2 ? n ? ? 1000n 2 ? ?
欲使 Tn 最大,则 ?

?Tn ? Tn ?1 , ?Tn ? Tn ?1

? 1 ? 1 ? ? ? ?10000 ? ? 2 ? 2n ? ? 1000n ? 10000 ? ? 2 ? 2n ?1 ? ? 1000(n ? 1) ? ? ? ? ? 即? ?10000 ? ? 2 ? 1 ? ? 1000n ? 10000 ? ? 2 ? 1 ? ? 1000(n ? 1) ? ? ? ? ? 2n ? 2n ?1 ? ? ? ?
得?

?n ? 2 , ?n ? 4

故 n ? 3 ,此时 s ? 350

即该厂家应生产 350 千克产品,做 3 千元的广告,能获利最大。 20 解: (1)两圆的圆心坐标分别为 C1 (1,0), 和 C2 (?1, 0) ∵ | PC1 | ? | PC2 |? 2 2 ?| C1C2 |? 2 ∴根据椭圆的定义可知,动点 P 的轨迹为以原点为中心, C1 (1,0), 和 C2 (?1, 0) 为焦点,长 轴长为 2a ? 2 2 的椭圆, a ? ∴椭圆的方程为

2, c ? 1, b ? a2 ? c2 ? 2 ? 1 ? 1

x2 x2 ? y 2 ? 1,即动点 P 的轨迹 M 的方程为 ? y 2 ? 1 2 2

(2)(i)当直线 l 的斜率不存在时,易知点 A(2, 0) 在椭圆 M 的外部,直线 l 与椭圆 M 无 交点,所以直线 l 不存在。 (ii)设直线 l 斜率存在,设为 k ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2)

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 2 2 由方程组 ? 2 得 (2k ? 1) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 ① ? y ? k ( x ? 2) ?
依题意 ? ? ?8(2k ?1) ? 0 解得 ?
2

2 2 ?k? 2 2

当?

2 2 时,设交点 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,CD 的中点为 N ( x0 , y0 ) , ?k? 2 2
x ? x2 4k 2 8k 2 ? ? 8k 2 ? ? ? 2 ,则 x0 ? 1 , x2 ? 2 2k ? 1 4k 2 ? 2 4k 2 ? 2

方程①的解为 x1 ?

∴ y0 ? k ( x0 ? 2) ? k ?

? 4k 2 ? ?2k ? 2? ? 2 2 ? 2k ? 1 ? 2k ? 1

要使 | C1C |?| C1D | ,必须 C1 N ? l ,即 k ? kC1N ? ?1

?2k ?1 1 2k 2 ? 1 ∴k? ? ?1 ,即 k 2 ? k ? ? 0 ② 2 2 4k ?0 2 2k ? 1 1 1 2 ∵ ?1 ? 1 ? 4 ? ? ?1 ? 0 或,∴ k ? k ? ? 0 无解 2 2
所以不存在直线 l ,使得 | C1C |?| C1D | 综上所述,不存在直线 l,使得 | C1C |?| C1D | 21 解:(1)因为 e x ? 0 ,所以不等式 f ( x) ? 0 即为 ax 2 ? x ? 0 ,

1 又因为 a ? 0 ,所以不等式可化为 x( x ? ) ? 0 , a ? 1 ? 所以不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ? ? , 0 ? . ? a ?
(2)当 a ? 0 时, 方程即为 xe x ? x ? 2 ,由于 e x ? 0 , 所以 x ? 0 不是方程的解, 所以原方程等价于 e x ? 令 h( x) ? e x ?

2 ?1 ? 0 , x

2 2 ? 1 ,因为 h?( x) ? ex ? 2 ? 0 对于 x ? ? ??,0? ? ? 0, ?? ? 恒成立, x x

所以 h( x) 在 ? ??,0 ? 和 ? 0, ?? ? 内是单调增函数,

1 又 h(1) ? e ? 3 ? 0 , h(2) ? e2 ? 2 ? 0 , h(?3) ? e?3 ? ? 0 , h(?2) ? e?2 ? 0 , 3
2 ? 所以方程 f ( x) ? x ? 2 有且只有两个实数根,且分别在区间 ?1,? 和 ? ?3, 2? 上,

所以整数 t 的所有值为 ??3,1? . (3) f ?( x) ? (2ax ? 1)e x ? (ax2 ? x)e x ? [ax2 ? (2a ? 1) x ? 1]e x ,

1] ①当 a ? 0 时, f ?( x) ? ( x ? 1)e x , f ?( x) ≥ 0 在 [ ?1, 上恒成立,当且仅当 x ? ?1 时取等

号,故 a ? 0 符合要求; ②当 a ? 0 时,令 g ( x) ? ax2 ? (2a ? 1) x ? 1 , 因为 ? ? (2a ? 1)2 ? 4a ? 4a2 ? 1 ? 0 , 所以 g ( x) ? 0 有两个不相等的实数根 x1 , x 2 ,不妨设 x1 ? x2 , 因此 f ( x) 有极大值又有极小值. 若 a ? 0 ,因为 g (?1) ? g (0) ? ?a ? 0 ,
1) 所以 f ( x) 在 ( ?1, 内有极值点,

故 f ( x) 在 ? ?1, 上不单调. 1? 若 a ? 0 ,可知 x1 ? 0 ? x2 ,
1] 因为 g ( x) 的图象开口向下,要使 f ( x) 在 [ ?1, 上单调,

? g (1) ≥ 0, ?3a ? 2 ≥ 0, 因为 g (0) ? 1 ? 0 ,必须满足 ? 即? ? g (?1) ≥ 0. ??a ≥ 0.

2 所以 ? ≤ a ? 0 . 3
? 2 ? 综上可知, a 的取值范围是 ? ? , 0 ? . ? 3 ?


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