浅谈数形结合思想在高考解题中的应用


浅谈数形结合思想在高考解题中的应用 5号
海口市琼山中学 叶永海 摘要:数形结合思想是数学解题中常用的思想方法。数形结合思想包含“以形助 数”和“以数辅形”两个方面,可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化, 能够变抽象思维为形象思维。 关键词:数形结合 高考 数形结合思想是数学解题中常用的思想方法。数形结合思想包含“以形助 数”和“以数辅形”两个方面,可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化, 能够变抽象思维为形象思维。 华罗庚先生说过: “数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好, 隔裂分家万事休” 。数形结合就是根据数学问题的条件与结论之间的内在联系, 既分析其代数意义,又揭示其几何直观,使数量关系的精确刻划与空间形式的 直观形象巧妙、和谐地结合在一起。如果把抽象的数学知识与具体的图形结合 起来,挖掘和利用概念中的直观成分,充分利用这种结合,寻找解题思路,将 无形的解题思路形象化,能有效降低教学难度,使问题化难为易、化繁为简,有 助于把握数学问题的本质。 在高考的考试说明也明确的指出“淡化特殊技巧,强调思想方法” 。纵观多 年来的高考试题,数形结合思想方法也是重点考查内容之一,巧妙运用数形结合 的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的效果。下面根据自己 这几年来的教学经验,结合高考题中的实例谈谈自己对巧用数形结合思想在高 考解题的一些认识。 一、数形结合解决集合问题:常常借助于数轴、Venn 图来解决集合的运算, 使问题得以简化,运算快捷明了。 (2010 辽宁理数)已知 A,B 均为集合 U={1,3,5,7,9} 的子集,且 A∩B={3}, CU (B∩A)={9},则 A=( A .{1,3} B. {3,7,9} C. {3,5,9} ) D. {3,9}

解析:根据题目所提供的条件,用 Venn 图(如右图) 。 由图可知 A={3,9}
1

【点评】本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的 轻松的解决。

运算,但通

过直接运算不易得出结果,利用用数形结合思想,以形代数,把抽象化直观, 二、利用数形结合解决函数问题:借助于图象研究函数的性质是一种常用 的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与 方法。 (2009 年海南)设 f (x) ? min ?2x , x ? 2,10 ? x? ( x ? 0),则 f ? x ? 的最大值为( A .4 B. 5 C. 6 D. 7 )

解析:构造函数 y=2x,y=x+2,y=10-x,并画 出函数图象(如右图) ,观察图象可知, ① ② ③ 当 0≤x≤2 时,函数 f(x)=2x 上存在最小值 当 2≤x≤4 时,函数 f(x)=x+2 上存在最小值, 当 x>4 时,函数 f(x)=10-x 上存在最小值, 【点评】 借助函数图象, 不仅很好地理解题意, 而轻而易举地得出了 f ? x ? 的 最大值,这是“以形助数” ,否则,需要用解不等式组的方式求得 f ? x ? 的分段表 达式,并求出每段上的最大值。从中选出最大值,那将是很繁琐的,环节很多, 出错率高. 三、利用数形结合解决方程的根问题:处理问题时,将方程的根问题看作 两个函数图象的交点问题. (2002 年江西)方程 lg x ? sin x 的实数根的个数 解析: 构造两个函数 y ? lg x 和 y ? sin x , 并在同个一坐标系里画出函数图象。 从图(下图)中的到 3 个交点,也就是说此方程有 3 个实数根.

综上所述,f(x)的最大值在 x=4 时取得为 6,故选 C..

y

?

2?

3?

x

2

【点评】此方程是一个超越方程,用代数方法求解该方程是很困难的用数 形结合,方程的解就是函数图象的交点的横坐标,因此这两个函数的图象交点 的个数即为方程解的个数,突出了对转化思想和数形结合思想的考查. 四、利用数形结合解决三角函数问题:有关三角函数单调区间的确定或比 较三角函数值的大小等问题,一般借助于单位圆或三角函数图象来处理,数形 结合思想是处理三角函数问题的重要方法.
? (2010 江苏卷) 定义在区间 ? 0 , ? 上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图 ? ?
? 2?

像的交点为 P,过点 P 作 PP1⊥x 轴于点 P1,直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2, 则线段 P1P2 的长为___________。 解析:如图,由题意得: 6 cosx ? 5 tan x 即 6 cos x ?
5 sin x ,6 cos2 x ? 5 sin x cos x

6(1 ? sin2 x) ? 5sinx,

6 sin2 x ? 5sinx ? 6 ? 0
2 3

得 sin x ? ,
6

2 3 y

结合图象分析得: sinx ? P1 P2 ? .

y ? 5 tan x
P

y ? 6 cos x y ? sin x

1

P2 P1

?

?
2

? 2

?

2?

x

【点评】本题通过代数方法是无法解决,可利用数形结合思想, 以形助数, 画出三角函数的图象,观察图象,发现 P1 P2 ? sin x 。 五、利用数形结合解决线性规划问题:线性规划问题是在约束条件下求目 标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用.
3

?2 x ? y ? 3, ? x ? 2 y ? 3, (2010 上海文数)满足线性约束条件 ? 的目标函数 z ? x ? y 的最大值是 ? ? x ? 0, ?y ? 0 ?



) B.
3 . 2

A .1.

C.2.

D.3.

解析:根据线性约束条件作出平面区域( 如上图) 把目标函数 z ? x ? y 转化为直线 y ? ?x ? z ,将最值问题转化为截距问题,根据图 象可知,当直线过点 B(1,1)时,z 有最大值,最大值为 2 【点评】本题如果通过代数方法,由于满足不等式组的解有无数多个,根本 无法确定最值,利用数形结合思想.以形助数, 使问题化难为易、化繁为简.线性 规划是借助平面区域表示直线,不等式等代数表达式,将目标函数的最值问题 转化为直线的截距,斜率和两点间距离等问题,最终借助图形的性质解决问题. 六、利用数形结合解决解析几何问题:解析几何的基本思想就是数形结合, 在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关 系的研究中. (2010 湖北理数)若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 3 ? 4x ? x2 有公共点,则 b 的取值范 围是( ) B. ?1 ? 2 2,1 ? 2 2 ? ? ? C. ?1 ? 2 2,3? ? ? D. ?1 ? 2,3? ? ?

A. ??1,1 ? 2 2 ? ? ?

解析:曲线方程可化简为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 4(1 ? y ? 3) ,即表示圆心为(2,3) 半径为 2 的半圆, 依据数形结合, 当直线 y ? x ? b 与此半圆相切时须满足圆心 (2, 3)到直线 y ? x ? b 距离等于 2,解得 b ? 1 ? 2
b ? 1 ? 2 2 (舍) ,当直线过(0,3)时,解得

2或b ? 1? 2 2 ,因为是下半圆故可得

b=3,故 1 ? 2

2 ? b ? 3, 所以

C 正确.

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【点评】对于直线与圆锥曲线的相交及相关问题,可借助图形来解决问题, 是常用的方法,可处理一些位置关系的问题等。 七、利用数形结合解决立体几何问题:用向量的方法将几何中的点、线、 面的性质及其相互关系进行研究,建立恰当的坐标系,便于计算,位置关系明 确,以计算代替分析,起到简化的作用,就是将抽象的几何问题转化纯粹的代 数运算。 (2010 辽宁理数)已知三棱锥 P-ABC 中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC=?AB, N 为 AB 上一点,AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点. (Ⅰ)证明:CM⊥SN; (Ⅱ)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小. 证明:设 PA=1,以 A 为原点,射线 AB,AC,AP 分别为 x,y,z 轴正向建立空间直角坐标系如下图。

则P (0,0,1) C ,(0,1,0) B ,(2,0,0) M ,(1,0, ) N ,( ,0,0) S ,(1, ,0) . (Ⅰ) CM ? (1, ?1, ), SN ? (? , ? ,0) , 因为 CM ? SN ? ? ? ? 0 ? 0 , 所以 CM⊥SN (Ⅱ) NC ? (? ,1,0) , 设 a=(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量,
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1 2

1 2

1 2

???? ?

? 1 ??? 2

1 2

1 2

???? ??? ? ?

1 2

1 2

????

1 2

1 ? ? x ? y ? 2 z ? 0, 则? 令x ? 2,得a=(2,1,-2). ? ?? 1 x ? y ? 0. ? 2 ? 1 ?1 ? ??? ? 2 ? 2 因为 cos a, SN ? 2 2 3? 2

所以 SN 与片面 CMN 所成角为 45°。 【点评】向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见,体现 了数形结合思想,目的是将空间几何元素的位置关系转化为数量关系,将形式逻 辑证明转化为数值计算,以数辅形,有直观性,可操作性强,解决问题的方法具 有普遍性,大大降低立体几何对空间想象能力要求的难度,但计算必须慎之又 慎。 从以上的内容及分析,数形结合思想是中学数学中的重要思想之一,而且 是一种常用的数学方法。其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来, 使抽象思维和形象思维结合,通过对图象的认识数形的转化,使问题化难为易, 化抽象为具体,易于从整体上定性地分析问题。 作为一线的教师,我们在每个模块的备课中,应思前想后整体地把握教学 设计。引导学生领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法,使学生提高思 维水平,真正懂得数学的价值,建立科学的数学观念,从而为发展数学、运用 数学提供重要保证。 参考文献: 蔡东兴 《数形结合思想方法的应用》 高中数学教与学 2010.6 2009.02 汤继源 《例析数形结合思想在高考解题中的应用》 教育与教师 2010.10 任志鸿 《十年高考分类解析与应试策略数学》

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