参赛课件椭圆及其标准方程 ppt1


课题:椭圆及其标准方程

1

(一)
认识椭圆

生活中 的椭圆

2

三维教学目标 1.知识与技能目标:
掌握椭圆的定义及其标准方程。掌握含有两个根式的等式化简,培养学 生的运算求解能力。 2.过程与方法目标:

经历从具体情景中抽象出椭圆的过程,经历用坐标法求解椭圆的标准方 程的过程,研究用椭圆的定义,待定系数法求椭圆的标准方程,研究建 系的方法及对称思想在求曲线方程中的应用。 3.情感态度价值观目标:
①发挥学生在学习中的主体地位,引导学生试验、观察、思考、归纳, 促进形成研究氛围。 ②通过小组合作实验,轻松的课堂环境,增强学习数学的兴趣和信心。
3

学习重点、难点: 重点: 椭圆的定义和椭圆的标准方程;会用 定义法、待定系数法求椭圆标准方程。 难点: 椭圆标准方程的推导与化简;用椭圆 的定义求椭圆的方程。

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(二)动手试验
? ? ? (1)取一条一定长的细绳 (2)把它的两端用图钉固定在纸板上 (3)当绳长大于两图钉之间的距离时,用铅 笔尖把绳子拉直,使笔尖在纸板上慢慢移动, 画出一个图形

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反思:
结合实验以及“圆的定义”,思考讨论一下应该 如何定义椭圆?
M

F1

F2
6

(三)概念透析
1、椭圆的定义
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数 (大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆。 这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点 M 两焦点之间的距离叫做焦距。
F1 F2

如果设轨迹上任一点M到两定点F1、F2的距离和为 常数2a,两定点之间的距离为2c,则椭圆定义还可 以用集合语言表示为: 7 P={ M| |MF1 |+|MF2|=2a(2a>2c)}.

绳长= F1F2

8

绳长< F1F2

9

注:定长 2a ? F1F2 定长 2a ? F1F2

所成曲线是椭圆 所成曲线是线段

定长 2a ? F1F2

无法构成图形

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2.椭圆方程的建立
求曲线方程的步骤:

步骤一:建立直角坐标系,
步骤二:设动点坐标 步骤三:列方程 步骤四:化简方程
F1
O

Y

M
X

F2

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(四)方程推导
解:取过焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂 直平分线为y轴,建立平面直角坐标系(如图). y M 设M(x, y)是椭圆上任意一 点,椭圆的焦距2c(c>0),M 与F1和F2的距离的和等于正 F1 O F2 常数2a (2a>2c) ,则F1、F2的坐 标分别是(?c,0)、(c,0) .

x

由椭圆的定义,
代入坐标 | MF1 |? ( x ? c) 2 ? y 2 , | MF2 |? ( x ? c) 2 ? y 2
得方程 ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? 2a

(想一想:下面怎样化简?)

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y



x y ? 2 ?1 2 2 a a ?c

2

2

b

a

o

c

x

观察左图, 你能从中找出表示 c 、 a 的线段吗? a2-c2 有什么几何意义?

令 | OP |? a ? c ? b
2 2

则方程可化为

x y ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) a2 b
13

2

2

2、椭圆的标准方程:
焦点在x轴:
x2 y 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 2 a b
F
1

y
M

o
y
F2

F

2

x

F1(-c,0)、F2(c,0) 焦点在y轴:
y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
2 2

M

o
F1

x

F1(0,-c )、F2(0,c)
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(五)尝试应用
1、下列方程哪些表示的是椭圆,如果是,判断它的焦点
在哪个坐标轴上?
x2 y2 (1) ? ?1 25 16
2 2

(2)9 x ? 25y ? 225

(3) ? 3x 2 ? 2 y 2 ? ?1
x2 y2 ( 4) ? ? 1(其中m不等于0 ) 2 2 m m ?1

注意:

分母哪个大,焦点就在哪个坐标轴上, 反之亦然。
15

2、求出适合下列条件的椭圆的标准方程

已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一 点P到两焦点距离的和等于10; x
y2 ? ?1 25 9
y2 x2 ? ?1 25 9
2

变式一:将上题焦点改为(0,-4)、(0,4), 结果如何?

变式二:将上题改为两个焦点的距离为8,椭圆上一点P到两 焦点的距离和等于10,结果如何?
x2 y2 ? ?1 当焦点在X轴时,方程为: 25 9

y2 x2 当焦点在Y轴时,方程为: ? ?1 25 9

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(六)典例分析
例1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程 两个焦点的坐标是( 0 ,-2)和( 0 ,2),并且经
过点P
? 3 5? ?? , ? ? 2 2?
y

P
F2

解: (法一) 因为椭圆的焦点在y轴上,
y2 x2 设它的标准方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) a b

x
F1

∵ c=2,且

c2=

a2

-

b2 ∴

4=

a2 -

b2



又∵椭圆经过点P

( 5 ) 2 (? 3 ) 2 2 ∴ 2 ? ?1 ② a2 b2
2

? 3 5? ?? , ? ? 2 2?

y2 x2 ? ?1 ∴椭圆的标准方程为 10 6
2
17

联立①②可求得: a ? 10, b ? 6

(法二) 因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的 标准方程为 y 2 x 2
a
2

?

b

2

?1

(a ? b ? 0)

由椭圆的定义知,
3 2 5 2a ? (? ) ? ( ? 2) 2 ? 2 2 3 1 ? 10 ? 10 2 2 ? 2 10 , ?  a ? 10  . 又c ? 2, ?  b 2 ? a 2 ? c 2 ? 10 ? 4 ? 6. 3 2 5 (? ) ? ( ? 2) 2 2 2

y2 x2 所以所求椭圆的标准方程为 ? ? 1. 10 6

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课堂练习
1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)a=4,b=3,焦点在x轴; (2)a=5,c=2,焦点在y轴上. 2.椭圆
y2 x2 ? ? 1 的焦距是 16 9

,焦点坐标为



若CD为过左焦点F1 的弦,则 ?F2 CD的周长为

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八、课后反思与体验
1、本节课我学到了哪些知识,是用什么方法学会的? 2、我还有什么知识没有掌握,是什么原因导致的? 3、我从老师和同学那儿学到了哪些好的学习方法? 4、通过上述的回顾评价一下自己本节课的表现。

九、作业:课本49页习题第1题、第2题、
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