江西省南昌市第二中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理

南昌二中 2015—2016 学年度下学期期中考试 高二数学(理科)试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.不同直线 m,n 和不同平面 α ,β ,给出下列命题: ① ③ ,② ,④ ,

其中假命题有: ( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 2.把四个半径都是 1 的球中的三个放在桌面上,使它两两外切,然后在它们上面放上第四个球,使它与前三个都 相切,则第四个球的最高点与桌面的距离( ) 1 1 A.2+ C.1+ B. D.3
正视图 侧视图 2

3.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 8 B. 7

) D. 7
1 俯视图 2

1 3

C. 7

2 3

第 5 题图

第 6 题图

第 7 题图

4.点 ? , ? , C , D 在同一个球的球面上, ?? ? ?C ? ?C ? 3 ,若四面体 ?? CD 体积的最大值为 3 ,则 这个球的表面积为( ) A.

169 ? 16

B. 8?

C.

289 ? 16

D.

25 ? 16

5.如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成四面体 ABCD,则在四面体 ABCD 中,下列结论正确的是( ) A.平面 ABD⊥平面 ABC B.平面 ADC⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC 6.如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=AC=2, ,则 AA1 与平面 AB1C1 所成的角为( ) A. B. C. D.

7.如图,在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面是边长为 1 的正方形,若∠A1AB=∠A1AD=60°,且 A1A=3,[来源:学*科网]则 A1C 的 长为( ) A. B. C. D. 8.在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ?

2 , BC ? AA1 ? 1,点 M 为 AB1 的中点,点 P 为对角线 AC1 上的动 点,点 Q 为底面 ABCD 上的动点(点 P , Q 可以重合) ,则 MP ? PQ 的最小值为( )[来源:学科网Z-XK]

1

A.

2 2

B.

3 2

C.

3 4

D. 1

第 9 题 图 第 10 题 图 第 11 题图 9 .某几何体是由直 三棱柱与圆锥的组 合体,其直观图和三 视图如图所示,正视 图为正方形, 其中俯视图中椭圆的离心率为 ( )

2 2 1 C. D. 4 2 2 10.如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 3 ,以顶点 A 为球心,2 为半径作一个球,则图中球面与正方体
A. 2 B. 的表面相交所得到的两段弧长之和等于( A. )

2? 7? C. ? D. 3 6 11.如图,? ? ?,? ? ? ? l,A ??,B ? ?,A ,B 到 l 的距离分别是 a 和 b , AB 与 ?,? 所成的角分别是 ? 和 ? , AB 在 ?,? 内的射影长分别是 m 和 n ,若 a ? b ,则( ) A. ? ? ?,m ? n B. ? ? ?,m ? n C. ? ? ?,m ? n D. ? ? ?,m ? n 12.如图, P 是正方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 对角线 AC1 上一动点,设 AP 的长度为 x ,若 ?PBD 的面积为 f (x) , 则 f (x) 的图象大致是( ) 5? 6
B.

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.在东经 120? 圈上有甲、乙两地,它们分别在北纬 15 ? 与北纬 75 ? 圈上,地球半径为 R ,则甲、乙两地的球面 距离是 .

?ACB ? 90? , AC ? 6 , BC ? CC1 ? 2 , P 是 BC1 上一动点,则 14.如图,在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,

CP ? PA1 的最小值是___________.
15.如图,在三棱锥 A ? BCD 中, BC ? DC ? AB ? AD ? 2 , BD ? 2 ,平面 ABD ? 平面 BCD , O 为 BD 中点,点 P , Q 分别为线段 AO , BC 上的动点(不含端点) ,且 AP ? CQ ,则三棱锥 P ? QCO 体积的最大值为________.

第 14 题图 第 15 题图 第 16 题图 BC Q CC1 的动点,过 A, P, Q 的平面截该正方 16.正方体 ABCD ? A 的棱长为 1 , 为 的中点, 为线段 B C D P 1 1 1 1 体所得的截面记为 S ,则下列命题正确的是 ①当 0 ? CQ ?

1 3 1 时, S 为四边形;②当 CQ ? 时, S 为等腰梯形;③当 CQ ? 时, S 与 C1D1 的交点 R 满足 2 4 2
2

1 3 6 C1 R1 ? ;④当 ? CQ ? 1 时, S 为六边形;⑤当 CQ ? 1 时, S 的面积为 3 4 2
三、解答题(共 70 分) 17. (10 分)平面 PAD ? 平面 ABCD , ABCD 为正方形, ?PAD 是直角三角形,且 PA ? AD ? 2 , E , F , G 分 别是线段 PA, PD, CD 的中点. (1)求证: PB //平面 EFG ; (2)在线段 CD 上是否存在一点 Q ,使得点 A 到平面 EFQ 的距离 求出 DQ 的值;若不存在,请说明理由. 为

4 ,若存在, 5

18.(12 分)如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, B1C 的中点为 O ,且 AO ? 平面 BB1C1C . (Ⅰ)证明: B1C ? AB;
0 (Ⅱ)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60 , BC ? 2 , 求 B1 到平面

ABC 的距离.

19. (12 分)如图,三棱锥 P ? ABC 中, ?ABC 是正三角形, PC ? 平面 ABC , PC ? AC , E 为 AC 中点, EF ? AP ,垂足为 F . (Ⅰ)求证: AP ? FB ; (Ⅱ)求二面角 A ? FC ? B 的平面角的余弦值.

ABCD 是菱形, AC ? BD ? O , AO 20 . ( 12 分)如图,四棱柱 ABCD ? A ? 底面 ABCD , 1 1B 1C1 D 1 的底面

AB ? AA1 ? 2 .
(Ⅰ)证明:平面 ACO ? 平面 BB1D1D ; 1 (Ⅱ)若 ?BAD ? 60 ,求二面角 B ? OB1 ? C 的余弦值.
?

x2 y 2 ? =1( a ? 0, b ? 0 )和圆 C2 : x 2 ? y 2 ? b2 ,已知圆 C2 将椭圆 C1 的长轴三等 a 2 b2 分,且圆 C2 的面积为 ? .椭圆 C1 的下顶点为 E ,过坐标原 点 O 且 与 坐 标 轴 不 重 合 的 任 意 直 线 l 与 圆 C2 相 交 于 点 A、B ,直线 EA 、EB 与椭圆 C1 的另一个交点分别是点 P、 M .
21. (12 分)如图,椭圆 C1 :
3

(1)求椭圆 C1 的方程; (2) (Ⅰ)设 PM 的斜率为 t ,直线 l 斜率为 K1 ,求 (Ⅱ)求△ EPM 面积最大时直线 l 的方程.

K1 的值; t

22.已知函数 f ( x) ? x ln x ? mx2 (m为常数) . (Ⅰ)当 m ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间;

x2 ? x ? 1 对任意 x ? e , e2 恒成立,求实数 m 的取值范围; f ( x) ?1 ? 4 (Ⅲ)若 x1,x2 ? ? ,1? , x1 ? x2 ? 1 ,求证 x1 x2 ? ?x1 ? x2 ? . ?e ?
(Ⅱ)若

?

?

4

高二期中考试数学(理科)参考答案 一、选择题 二、填空题 DADCDA 13. ACDADA 14. 5 2 15.

?R 3

2 48

16.①②③⑤

三、解答题 17. (1)取 AB 中点 H ,连接 EH , HG ,

E , F , G, H 分别是 PA, PD, CD, AB 中点 ? EF // AD , AD // GH ? EF // GH ? E , F , G, H , 四点共面 又 E , H 分别为 PA, AB 的中点 ? EH // PB ,而 EH ? 平面 EFG ,所以 PB // 平面 EFG 1 1 1 a ‘ (2)在线段 AB 上取 AQ ? DQ ? a ,则 S ?AEF ? ? 1? 1 ? , S ?EFQ ? S ?EFQ' ? ?1? a ? 2 2 2 2 1 1 4 1 1 1 a 4 4 2 由 VQ ? AEF ? VA? EFQ ? S ?AEF ? HE ? S ?EFQ ? ? ? ? 1 ? a ? ? ? ? a ? 即存在一点 Q , 3 3 5 3 2 3 2 5 3 4 4 使得点 A 到平面 EFQ 的距离为 ,此时 DQ ? . 3 5 18. (1) 连结 BC1 , 则 BC1 与 B1C 交于 O, ∵侧面 BB1C1C 为菱形, ∴ B1C ? BC1 , ∵ AO ? 平面 BB1C1C ,
∴ B1C ? AO 又∵ BC1 ? AO ? O ,∴ B1C ? 平面 ABO ,由于 AB ? 平面 ABO ∴ B1C ? AB (2) 设点 B1 到平面 ABC 的距离为 h, ∵侧面 BB1C1C 为菱形, ?CBB1 ? 60? , BC∴△ ? 1, CBB1 为等边三角形,∴ BC ? BB1 ? B1C ? 2 , BO ? 3 ∵ AC ? AB1 ,? OA ? B1C ? 1, AC ? 2 , ? Rt?AOB中,AB ? 2 1 14 7, ? 等腰?ABC中,S ?ABC ? ? 2 ? ? 2 2 2 ∵ VB1 ? ACB ? VA?CBB1 ? ? 面 ABC 的距离为 2 21 . 19. (Ⅰ)连结 BE ,由题意得 BE ? A C ,又∵ PC ? 平面 ABC , ∴ PC ? BE ,∴ BE ? 面 PA C ,∴ BE ? AP , 又∵ EF ? AP ,∴ AP ? 面 BEF ,∴ AP ? FB ; (Ⅱ) 如图, 以 E 为坐标原点, 分别以 EB , EC 的方向为 x 轴,y 立空间直角坐标系 E ? xyz . 由题意得 A ? 0, ?1,0? , F ? 0, ?
7
F C y

1

AO2 ? BO2 ? 2,

1 3

7 1 1 ? h ? ? ? 2 ? 3 ?1 , 2 3 2

?h ?

2 21 7

z P

∴ 点 B1 到 平

A

E

???? ????

B x

轴正方向,建

1 1? , ? , B 3, 0, 0 , C ? 0,1,0 ? , 2 2? ???? ??? ? ? 1 1? 则 BC ? ? 3,1, 0 , FB ? ? 3, , ? ? ,设平面 FBC 的法向量为 n ? ? x , y , z ? , 2 2? ? ??? ? ?? 3x ? y ? 0 ? ?n ? BC ? 0 ? 则 ? ??? ,即 ? ,令 y ? 3 ,则 x ? 1 , z ? 3 3 ,于是 n ? 1, 3,3 3 , ? 1 1 3 x ? y ? z ? 0 n ? FB ? 0 ? ? ? ? 2 2 ??? ? n? p 31 易知,平面 A FC 的法向量为 p ? EB ? ?1,0,0? , ∴ cos n, p ? , ? n p 31

? ?

?

?

?

?

?

?

31 31 20. (Ⅰ)证明:因为 AO ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,所以 A1O ? BD . 1
即二面角 A ? FC ? B 的平面角的余弦 因为 ABCD 是菱形,所以 CO ? BD .因为 AO CO . 1 1 ? CO ? O ,所以 BD ? 平面 A

因为 BD ? 平面 BB1D1D ,所以平面 BB1D1D ? 平面 ACO . 1 方向建立如图所示空间直角坐标系.

(Ⅱ)解 :因为 AO ? 平面 ABCD , CO ? BD ,以 O 为原点, OB , OC , OA1 方向为 x , y , z 轴正 1 因为 AB ? AA1 ? 2 , ?BAD ? 60 ,所以 OB ? OD ? 1 , OA ? OC ? 3 , OA1 ?
?

???

??? ?

??? ?

? 所以 BB ? AA ? ? 0,
??? ? ??? ?
1 1

则 B ?1,0,0 ? , C 0, 3, 0 , A 0, ? 3, 0 , A 1 ? 0,0,1? ,
1

? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? 3,1? , OB ? OB + BB ? ?1,
1

AA12 ? OA2 ? 1 .

3,1 .设平面 OBB1 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,

?

因为 OB ? ?1, 0, 0? , OB1 ? 1, 3,1 ,所以 ?

???

??? ?

?

?

? ? x ? 0, 令 y ? 1 ,得 n ? 0,1, ? 3 . ? ? x ? 3 y ? z ? 0.

?

?

同理可求得平面 OCB1 的法向量为 m ? ?1,0, ?1? .所以 cos ? n, m ??

3 6 . ? 4 2 2
6 4


因为二面角 B ? OB1 ? C 的平面角为钝角,所以二面角 B ? OB1 ? C 的余弦值为 ? 21. (1)依题意 b ? 1 ,则 a ? 3b .? 椭圆方程为

(2) (Ⅰ)由题意知直线 PE , ME 的斜率存在且不为 0, PE ? ME ,不妨设直线 PE 的斜率为 k ? k ? 0 ? , 则 PE : y ? kx ? 1 .

x2 ? y 2 ? 1. 9

18k ? x? 2 ? y ? kx ? 1 ? ? 18k 9k 2 ? 1 ? ? 9k ? 1 ? x ? 0 ? 由 ? x2 得 或 , ? P ? ? ? 2 , 2 ?. 2 2 ? 9k ? 1 9k ? 1 ? ? ? y ? 1 ? y ? 9k ? 1 ? y ? ?1 ?9 2 ? 9k ? 1 ? 9k 2 ? 1 9 ? k 2 ? 2 2 2 ? ?18k 9 ? k 2 ? 1 9 k ? 1 k ? 9 ? k ?1 . 用 ? 代替 k ,得 M ? 2 , 则 , 2 t ? k ? ? PM 18k 18k k 10k ? k ?9 k ?9? ? 2 2 9k ? 1 k ? 9 2k ? x? ? ? y ? kx ? 1 ? 2k k 2 ? 1 ? ?x ? 0 k 2 ?1 K ? 1? k 2 由? 2 得? 或? ,? A ? ,则 1 ? 5 . , 2 ? ? K1 ? 2 2 2 t 2k ? 1? k k ?1 ? ? x ? y ? 1 ? y ? k ? 1 ? y ? ?1 2 ? k ?1 ?
18k ? ? 18k 2 ? 18k (Ⅱ)法一: PE ? ? ? 2 ? ?? 2 ? ? 2 ? 9k ? 1 ? ? 9k ? 1 ?
2 2

9k ? 1

1? k

2

; EM ?

18

1 9 2 ?1 k
3

1 k

1?

1 18 ? 1? k 2 , k2 9 ? k2

?1 ? 162 ? ?k? 162 k 1 ? k 162 k ? k ? ? ? ? 1 18k 18 k ? ? ? S?EPM ? 1? k 2 ? 1? k 2 ? ? 4 ? 2 2 2 9 2 9k 2 ? 1 9 ? k2 ?9 ? k ??1 ? 9k ? 9k ? 82k ? 9 9k 2 ? 2 ? 82 k 1 1 8 162u 162 162 27 设 k ? ? u , 则 S ?EPM ? ,当且仅当 ? k ? u ? 时取等 ? ? ? 2 64 k k 3 8 82 ? 9 ? u ? 2 ? 9u ? 64 2 9u ? u u
2

1? ? 1? 28 1 2 7 ? 号. ? k ? ? ? ? k ? ? ? 4 ? . ,? k ? ? ? k? ? k? 9 k 3 ? k 2 ?1 7 x ,所以所求的直线 l 的方程为 y ? ? 则直线 AB : y ? x. 2k 3

2

2

9 ? k 2 k 2 ?1 ? 18k ? k 2 ?1 4 y ? x? . , 即 ? x ? ? ? 2 2 10k 5 k ? 9 10k ? k ?9? 4 ? y ? tx ? ? 4 72 81 ? 5 2 2 tx ? ? 0. 可设直线 PM : y ? tx ? .由 ? 2 消去 y 得 ?1 ? 9t ? x ? 5 5 25 x 2 ? ? y ?1 ? ?9 9 2 9 100 t ? 4 5 . , E 到直线 PM 的距离 d ? ? PM ? 1 ? t 2 x1 ? x2 ? 1 ? t 2 ? 2 5 1 ? 9t 1? t2
法二:直线 PM 的方程: y ?

100t 2 ? 4 81 25t 2 ? 1 ? 1 ? 9t 2 25 1 ? 9t 2 81 m 81 81 27 2 设 25t ? 1 ? m ? 1,则 S ?EPM ? . ? ? ? 2 m ? 1 9m ? 16 25 8 16 1? 9 2 9m ? m 25 m 22. (Ⅰ)当 m ? 0 时, f ( x) ? x ln x , x ? 0 ,得 f ?( x) ? ln x ? 1 . ? S?EPM 1?9? ? ? ? 2?5?
1 1 ,即 f(x)在( ,+∞)上单调递增; e e 1 1 由 ln x ? 1 ? 0 ,解得 0 ? x ? ,即 f(x)在(0, )上单调递减. e e 1 1 ∴ 综上, f ? x ? 的单调递增区间为( ,+∞) ,单调递减区间为(0, ) . e e x ?1 1 1 x2 ? x ( Ⅱ ) 已 知 x ?[ e , ,即 ?1 变 形 为 e2 ] , 于 是 ?1 , 从 而 ? f ( x) ln x ? mx ln x ? mx x ? 1 ln x ln x ? x ? 1 ln x ? x ? 1 ? ln x ?0, 0? l n x ?m x ? x? 1 整理得 , . 令 g ? x? ? ,则 g ?( x) ? ? m? x x x x2 3 e ?1. 即 g ? x? 在[ e , e2 ] 上是减函数, ∴ g ( x )max= g ( e )= 2e ln x 1 ? ln x 2 令 h ? x? ? , 则 h?( x) ? , 当 e ? x ? e 时,h?( x) ? 0 , 即此时 h (x) 单调递增; 当 e ? x ? e 时, 2 x x h?( x) ? 0 ,即此时 h(x)单调递减,
由 ln x ? 1 ? 0 ,解得 x ?

2

3 e 2 2 2 ?1 ? m? 2 . , ∴ h ( x )min= 2 . ∴ 2 2e 2 e e e e 1 (Ⅲ)由(Ⅰ)知当 m ? 0 时, f ( x) ? x ln x 在 ( , ? ?) 上是增函数. e
而 h ( e )=

1

? h ( e 2 )=

1 ? x1 ? x1 ? x 2 ? 1 , ∴ f ? x1 ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ? ln ? x1 ? x2 ? ? f ? x1 ? ? x1 ln x1 , e x1 ? x2 x ?x ln(x1 ? x2 ) ,同理 ln x2 ? 1 2 ln( x1 ? x2 ) . 即 ln x1 ? x1 x1



所以 ln x1 ? ln x2 ? (

x x x x x1 ? x2 x1 ? x2 ? ) ln(x1 ? x2 ) ? (2 ? 1 ? 2 ) ln( x1 ? x2 ) ,又因为 2 ? 1 ? 2 ? 4 ,当 x2 x1 x2 x1 x2 x1
1 , 1) , x1 ? x2 ? 1 , ln( x1 ? x 2 ) ? 0 , e


且仅当 x1 ? x2 时,取等号.又 x1 , x2 ? ( ∴ (2 ?

x1 x2 ? ) ln( x1 ? x2 ) ? 4 ,∴ ln x1 ? ln x 2 ? 4 ln( x1 ? x 2 ) , x2 x1

x1 x2 ? ? x1 ? x2 ?

4.


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