高一数学必修一教学设计 3.2.1 第2课时对数的运算及换底公式

第 2 课时 明目标、知重点 对数的运算及换底公式 1.加深对数的概念.2.理解对数运算性质的推导过程,掌握对数的运算性 质、换底公式.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值. 1.对数的运算性质 如果 a>0,且 a≠1,M>0,N>0,那么: (1)loga(M· N)=logaM+logaN; M (2)loga =logaM-logaN; N (3)logaMn=nlogaM(n∈R). 2.对数换底公式 logcb logab= (a>0,且 a≠1,b>0,c>0,且 c≠1); logca 特别地:logab· logba=1(a>0,且 a≠1,b>0,且 b≠1). [情境导学] 我们已经知道,实数有加、减、乘、除、乘方、开方运算,集合有交、并、补运算,指数也 有三种运算,那么,对数有怎样的运算? 探究点一 对数运算性质 思考 1 指数的运算法则有哪些? 答 am· an=am n;am÷ an=am n;(am)n=amn; + - m n an = a m . 思考 2 指数式与对数式的互化公式是怎样的? 答 指数式与对数式的互化公式为:ab=N? logaN=b. 思考 3 根据对数的定义及对数与指数的关系,你能解答下列问题吗? (1)设 loga2=m,loga3=n,求 am n; + (2)设 logaM=m,logaN=n,试利用 m、n 表示 loga(MN). 解 (1)由 loga2=m,得 am=2,由 loga3=n,得 an=3, 所以 am+n=am· an=2× 3=6. (2)由 logaM=m,得 am=M,由 logaN=n,得 an=N. 所以 am· an=am+n=M× N,把指数式化为对数式得: loga(M· N)=m+n. 小结 在思考 3 中的第(2)题中,我们得到 loga(M· N)=m+n,又由 logaM=m,logaN=n,进 行 m,n 的代换后就得到对数的一条运算性质,即 loga(M· N)=logaM+logaN. 思考 4 同样地,由 am÷ an=am -n M 和(am)n=amn,也得到对数运算的其他性质:loga =logaM N -logaN;logaMn=nlogaM(a>0,且 a≠1,M>0,N>0,n∈R).你能不能推导出呢? M - 答 令 M=am,N=an,则 =am÷ an=am n, N M ∴m-n=loga .又由 M=am,N=an, N ∴m=logaM,n=logaN, M 即:logaM-logaN=m-n=loga ; N 当 n≠0 时,令 logaM=p,由对数定义可以得 M=ap, ∴Mn=(ap)n=anp, ∴logaMn=np,将 logaM=p 代入, 即证得 logaMn=nlogaM. 当 n=0 时,显然成立.∴logaMn=nlogaM. 小结 上述证明是运用转化的思想,先通过假设,将对数式化成指数式,并利用幂的运算性 质进行恒等变形, 然后再根据对数定义将指数式化成对数式. 对数运算性质可以用简易语言 表达:“积的对数=对数的和”,“商的对数=对数的差”,“正数的 n 次方的对数=正数的对 数的 n 倍”.有时逆用运算性质,如 lg 5+lg 2=lg 10=1. 例 1 求下列各式的值: (1)log2(23× 45);(2)log5125. 解 (1)log2(23× 45)=log223+log245 =3+5log24=3+5× 2=13. (2)log5125=log553=3log55=3. 反思与感悟 这类问题一般有两种处理方法:一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的 运算法则将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值; 另一种方法是将式中的对数的和、 差、 积、 商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、 商、 幂、方根,然后化简求值. 要特别注意 loga(MN)≠logaM· logaN,loga(M± N)≠logaM± logaN. 跟踪训练 1 用 logax,logay,logaz 表示下列各式: xy x2 y (1)loga ;(2)loga . z 3 z xy 解 (1)loga =loga(xy)-logaz=logax+logay-logaz; z x2 y 3 (2)loga =loga(x2 y)-loga z 3 z 1 1 3 =logax2+loga y-loga z=2logax+ logay- logaz. 2 3 探究点二 换底公式 log25 思考 1 假设 =x,则 log25=xlog23,即 log25=log23x,从而有 3x=5,进一步可得到什 log23 么结论? 答 把 3x=5 化为对数式为:log35=x, log25 log25 又因 x= ,所以得出 log35= 的结论. log23 log23 思考 2 怎样用常用对数表示 log35? lg 5 答 设 t=log35,则 3t=5.两边取常用对数,得 lg 3t=lg 5,即 t lg 3=lg 5,所以 t= ,故 lg 3 lg 5 log35= . lg 3 logcN 小结 一般地,logaN= ,其中 a>0,a≠1,N>0,c>0,c≠1.这个公式称为对数换底公式, logca 用语言可表示为:一个对数可以用同底数的两个对数的商来表示. 例 2 已知 log23=a,log37=b,用 a,b 表示 log4256. 1 解 ∵log23=a,则 =log32,又∵log37=b, a ab+3 log356 log37+3log32 ∴log4256= = = . log342 log37+log32+1 ab+a+1 反思与感悟 在利用换底公式进行化简求值时, 一般情况是根据题中所给的对数式的具体特 点选择恰当的底数进行换底, 如果所给的对数式中的底数和真数互不相同,

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