2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第2章 第11节 变化率与导数、导数的计算

课时作业
一、选择题 1.函数 f(x)=(x+2a)(x-a)2 的导数为 ( A.2(x2-a2) C.3(x2-a2) C B.2(x2+a2) D.3(x2+a2) )

[f′(x)=(x-a)2+(x+2a)[2(x-a)]=3(x2-a2).]

3 2.已知物体的运动方程为 s=t2+ t (t 是时间,s 是位移),则物体在时刻 t=2 时 的速度为 ( 19 A. 4 15 C. 4 3 3 13 D [∵s′=2t-t2,∴s′|t=2=4-4= 4 .] 3.(2014· 海口模拟)曲线 y=e2x 在点(0,1)处的切线方程为 ( 1 A.y=2x+1 C.y=2x-1 B.y=-2x+1 D.y=2x+1 ) 17 B. 4 13 D. 4 )

D [∵y′=(e2x)′=2e2x,k=y′|x=0=2· e2×0=2, ∴切线方程为 y-1=2(x-0), 即 y=2x+1.] 1+cos x ?π ? 4.设曲线 y= sin x 在点? ,1?处的切线与直线 x-ay+1=0 平行,则实数 a 2 ? ? 等于 ( A.-1 1 B.2 )

C.-2

D.2

-sin2x-(1+cos x)cos x -1-cos x A [∵y′= = sin2x , sin2x ∴ =-1.

1 由条件知a=-1,∴a=-1.] 5.若点 P 是曲线 y=x2-lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为 ( A.1 2 C. 2 B. 2 D. 3 )

B [设 P(x0,y0)到直线 y=x-2 的距离最小,

1 得 x0=1 或 x0=-2(舍). ∴P 点坐标(1,1). ∴P 到直线 y=x-2 距离为 d= |1-1-2| 1+1 = 2.]

6.(2014· 衡阳模拟)已知函数 f(x)=ex,则当 x1<x2 时,下列结论正确的是 ( A.ex1> C.ex2> C f(x1)-f(x2) x1-x2 B.ex1< f(x1)+f(x2) x1+x2 f(x1)+f(x2) x1+x2 )

f(x1)-f(x2) x1-x2

D.ex2<

[设 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),

则 ex2 表示曲线 f(x)=ex 在 B 点处的切线的斜率, 而 f(x1)-f(x2) 表示直线 AB 的斜率, x1-x2

由数形结合可知:ex2> 二、填空题

f(x1)-f(x2) ,故选 C.] x1-x2

7.(2014· 郑州模拟)已知函数 f(x)=ln x-f′(-1)x2+3x-4,则 f′(1)=________. 解析 1 ∵f′(x)= x -2f′(-1)x+3,

f′(-1)=-1+2f′(-1)+3, ∴f′(-1)=-2, ∴f′(1)=1+4+3=8. 答案 8

8.(理)(2013· 广东高考)若曲线 y=kx+ln x 在点(1,k)处的切线平行于 x 轴,则 k =__________. 解析 1 y′=k+ x .

因为曲线在点(1,k)处的切线平行于 x 轴,所以切线斜率为零, 由导数的几何意义得 y′|x=1=0,故 k+1=0,即 k=-1. 答案 -1

8.(文)(2013· 广东高考)若曲线 y=ax2-ln x 在(1,a)处的切线平行于 x 轴,则 a=__________. 解析 由曲线在点(1,a)处的切线平行于 x 轴得切线的斜率为 0,

1 由 y′=2ax- 及导数的几何意义得 y′|x=1=2a-1=0, x 1 解得 a=2. 答案 1 2

1 9.(2014· 太原四校联考)已知 M 是曲线 y=ln x+2x2+(1-a)x 上的一点,若曲线

π 在 M 处的切线的倾斜角是均不小于 4 的锐角,则实数 a 的取值范围是 __________. 解析 1 依题意得 y′= x+x+(1-a),其中 x>0.

π 由曲线在 M 处的切线的倾斜角是均不小于 4 的锐角得,对于任意正数 x,均 1 1 有x+x+(1-a)≥1,即 a≤x+x. 1 当 x>0 时,x+x≥2 1 1 · x = 2 ,当且仅当 x x =x,

即 x=1 时取等号,因此实数 a 的取值范围是(-∞,2]. 答案 (-∞,2]

三、解答题 10.设函数 f(x)=x3+ax2-9x-1,当曲线 y=f(x)斜率最小的切线与直线 12x+y =6 平行时,求 a 的值. 解析 a2 ? a?2 f′(x)=3x2+2ax-9=3?x+3? -9- 3 , ? ?

a a2 即当 x=-3时,函数 f′(x)取得最小值-9- 3 , 因斜率最小的切线与 12x+y=6 平行, a2 即该切线的斜率为-12,所以-9- 3 =-12, 即 a2=9,即 a=± 3. b 11.设函数 f(x)=ax-x ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三 角形面积为定值,并求此定值. 解析 7 (1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y=4x-3,

1 当 x=2 时,y=2. b 又 f′(x)=a+x2, b 1 ? ?2a-2=2, ? ?a=1, 3 则? 解得? 故 f(x)=x- x . b 7 ? ?b=3. ? ?a+4=4, (2)证明:设 P(x0,y0)为曲线上任一点, 3? 3 ? 由 y′=1+x2知曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=?1+x2?·(x-x0), ? 0? 3? ? 3? ? 即 y-?x0-x ?=?1+x2?(x-x0). ? ? 0? 0? 6? 6 ? 令 x=0 得 y=-x ,从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为?0,-x ?. ? 0? 0 令 y=x 得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0). 1? 6 ? 所以点 P(x0, y0)处的切线与直线 x=0, y=x 所围成的三角形面积为2?-x ?|2x0| ? 0? =6. 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0, y=x 所围成的三角形的面积为 定值,此定值为 6. a 12.(2014· 九江模拟)已知 a∈R,函数 f(x)= x+ln x-1,g(x)=(ln x-1)ex+x(其 中 e 为自然对数的底数). (1)判断函数 f(x)在(0,e]上的单调性; (2)是否存在实数 x0∈(0,+∞),使曲线 y=g(x)在点 x=x0 处的切线与 y 轴垂 直?若存在,求出 x0 的值,若不存在,请说明理由. 解析 a (1)∵f(x)= x+ln x-1,x∈(0,+∞),

a 1 x-a ∴f′(x)=-x2+x = x2 .

①若 a≤0,则 f′(x)>0,f(x)在(0,e]上单调递增; ②若 0<a<e,当 x∈(0,a)时,f′(x)<0,函数 f(x)在区间(0,a)上单调递减, 当 x∈(a,e]时,f′(x)>0,函数 f(x)在区间(a,e]上单调递增; ③若 a≥e,则 f′(x)≤0,函数 f(x)在区间(0,e]上单调递减. (2)∵g(x)=(ln x-1)ex+x,x∈(0,+∞), ∴g′(x)=(ln x-1)′ex+(ln x-1)(ex)′+1 ex ?1 ? = x +(ln x-1)ex+1=?x+ln x-1?ex+1, ? ? 1 由(1)易知,当 a=1 时,f(x)= x+ln x-1 在(0,+∞)上的最小值 f(x)min=f(1)=0, 1 即 x0∈(0,+∞)时,x +ln x0-1≥0.
0

?1 ? 又 ex0>0,∴g′(x0)=?x +ln x0-1?ex0+1≥1>0. ? 0 ? 曲线 y=g(x)在点 x=x0 处的切线与 y 轴垂直等价于方程 g′(x0)=0 有实数解. 而 g′(x0)>0, 即方程 g′(x0)=0 无实数解.故不存在.


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