二次函数图象与性质 Microsoft Word 文档

二次函数图象与性质
一、目标认知 学习目标: 学习目标:
1.通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式,并体会二次函数的意义. 2.会用描点法画出二次函数的图象,能从图象上认识二次函数的性质. 3.会根据公式确定图象的顶点、 开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导), 并能解决 简单的实际问题. 4.会用待定系数法求二次函数的解析式.

重点、难点: 重点、难点:
二次函数的图象及性质.

二、知识要点梳理: 知识要点梳理: 知识点一、二次函数的定义: 知识点一、二次函数的定义:
形如 y=ax +bx+c(a≠0,a,b,c 为常数)的函数称为二次函数(quadratic funcion) . 其中 a 为二次项系数,b 为一次项系数,c 为常数项.
2

知识点二、 知识点二、二次函数的图象及画法
二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象是对称轴平行于 y 轴(或是 y 轴本身)的抛物线.几个 不同的二次函数.如果二次项系数 a 相同,那么其图象的开口方向、形状完全相同,只是顶 点的位置不同. 1. 用描点法画图象 首先确定二次函数的开口方向、 对称轴、 顶点坐标, 然后在对称轴两侧, 以顶点为中心, 左右对称地画图.画结构图时应抓住以下几点:对称轴、顶点、与 x 轴的交点、与 y 轴的交 点. 2. 用平移法画图象 由于 a 相同的抛物线 y=ax +bx+c 的开口及形状完全相同, 故可将抛物线 y=ax 的图象平 移得到 a 值相同的其它形式的二次函数的图象.步骤为:利用配方法或公式法将二次函数化 为 y=a(x-h) +k 的形式, 确定其顶点(h, 然后做出二次函数 y=ax 的图象.将抛物线 y=ax k), 平移,使其顶点平移到(h,k).
2 2 2 2 2 2

知识点三、二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质 知识点三、 +bx+c(a≠0)的图象与性质
1.函数 (a≠0)的图象与性质 的图象与性质: 1.函数 y=ax (a≠0)的图象与性质: 函数 a 的符号 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最大(小)值
2

2

x>0 时,y 随 x 增 当 x=0 时, y=ax
2

a>0

向上

(0,0)

y轴

大而增大 x<0 时,y 随 x 增 大而减小

y 最小=0

x>0 时,y 随 x 增 当 x=0 时, y=ax
2

a<0

向下

(0,0)

y轴

大而减小 x<0 时,y 随 x 增 大而增大

y 最大=0

2 2.函数 +c(a≠0)的图象及其性质 的图象及其性质: 2.函数 y=ax +c(a≠0)的图象及其性质:

2

(1)当 a>0 时,开口方向、对称轴、增减性与 y=ax 相同,不同的是顶点坐标为(0,c), 当 x=0 时,y 最小=c (2)当 a<0 时,开口方向、对称轴、增减性与 y=ax 相同,不同的是顶点坐标为(0,c), 当 x=0 时,y 最大=c
2 3.二次函数 +bx+c(a≠0)的图象与性质 的图象与性质: 3.二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象与性质: 2 2

2

二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线.它的顶点坐标是

2



对称轴是直线

函数

二次函数 y=ax +bx+c(a,b,c 是常数,a≠0) a>0 a<0

2

图象

性质 (1)当 a>0 时,抛物线开口向上,并向上无限 (1)当 a<0 时, 抛物线开口向下, 并向下无限延

延伸,顶点

是它的最低点.

伸,顶点

是它的最高点.

(2)在对称轴直线

的左侧,抛物线自 (2)在对称轴直线

的左侧, 抛物线自左

左向右下降,在对称轴的右侧,抛物线自左向 向右上升;在对称轴右侧,抛物线自左向右下 右上升. 降.

2 知识点四、 知识点四、抛物线 y=ax +bx+c 中 a、b、c 的作用

2

a,b,c 的代数式 作用 a 1. 决定抛物线的开口方向; 2. 决定增减性 决定抛物线与 y 轴交点的位置, 交 点坐标为(0,c) 决定对称轴的位置, 对称轴是直线

字母的符号 a>0 a<0 c>0

图象的特征 开口向上 开口向下 交点在 x 轴上方 抛物线过原点 交点在 x 轴下方 对称轴在 y 轴左侧 对称轴在 y 轴右侧 抛物线与 x 轴有两个交点 顶点在 x 轴上 抛物线与 x 轴无公共点

c

c=0 c<0 ab>0 ab<0 b -4ac>0
2

b -4ac

2

决定抛物线与 x 轴公共点的个数

b -4ac=0 b -4ac<0
2

2

三、规律方法指导 1.求二次函数解析式的方法 1.求二次函数解析式的方法
一般来说,二次函数的解析式常见有以下几种形式. (1)一般式: (1)一般式: 一般式 y=ax +bx+c(a,b,c 为常数,a≠0) (2)顶点式: (2)顶点式: 顶点式 y=a(x-h) +k(a,h,k 为常数,a≠0) 要确定二次函数解析式, 就是要确定解析式中的待定系数(常数), 由于每一种形式中都 含有三个待定系数,所以用待定系数法求二次函数的解析式,需要已知三个独立条件. 然后列出三元一 当已知抛物线上任意三点时, 通常设函数解析式为一般式 y=ax +bx+c, 次方程组求解.
2 2 2

当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时,通常设函数解析式为顶点式 y=a(x-h) +k 求解. (3)交点式: (3)交点式: 交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中 x1、x2 为抛物线与 x 轴交点的横坐标.
2

2.确定二次函数最值的方法 2.确定二次函数最值的方法
确定二次函数 的最大值或最小值,首先先看自变量的取值范围.

再分别求出二次函数在顶点处的函数值和在端点处的函数值, 比较这些函数值, 其中最大的 是函数的最大值,最小的是函数的最小值. ①若自变量 的取值范围是全体实数,函数 值,如图所示. 有最大值或最小

图(1)中,抛物线开口向上,有最低点,则当

时,函数有最小值是



图(2)中,抛物线开口向下,有最高点,则当

时,函数有最大值是

.

②若自变量 的取值范围不是全体实数,函数 最小值,如图所示.

有最大值或

图(1)中, 当

时, 函数有最大值

; 当

时, 函数有最小值



图(2)中, 当 图(3)中,当

时, 函数有最大值 时,函数有最大值

; 当 ;当

时, 函数有最小值 时,函数有最小值 ;



图(4)中, 当

时, 函数有最大值

; 当

时, 函数有最小值



图(5)中, 当

时, 函数有最大值

; 当

时, 函数有最小值

.

经典例题透析 类型一、 类型一、二次函数的概念及意义
1.下列函数中,哪些是二次函数? (1) ; (2) ;

(3)



(4)

. 是以 x 为自变量的二次函

【变式】m 取哪些值时,函数 变式】 数?

2.写出下列各函数关系,并判断它们分别是什么类型的函数? (1)写出正方体的表面积 S(cm )与正方体棱长 a(cm)之间的函数关系; (2)写出圆的面积 y(cm )与它的周长 x(cm)之间的函数关系; (3)某种储蓄的年利率是 1.98%,存入 10000 元本金,若不计利息税,求本息和 y(元) 与所存年数 x 之间的函数关系; (4)菱形的两条对角线的和为 26cm,求菱形的面积 S(cm )与一对角线长 x(cm)之间的函 数关系. 【变式】正方形铁片边长为 15cm,在四个角上各剪去一个边长为 x(cm)的小正方形,用 变式】 余下的部分做成一个无盖的盒子. (1)求盒子的表面积 S(cm )与小正方形边长 x(cm)之间的函数关系式; (2)当小正方形边长为 3cm 时,求盒子的表面积.
2 类型二、 类型二、二次函数 y=ax +bx+c 的图象和性质
2 第一类: 第一类:二次函数 y=ax 的图象和性质 2 2 2 2 2

2

3.已知 (1)求 k 的值; (2)求顶点坐标和对称轴.

是二次函数,且当

时,y 随 x 的增大而增大.

4.已知正方形的周长为 Ccm,面积为 Scm . (1)求 S 和 C 之间的函数关系式,并画出图象; (2)根据图象,求出 S=1cm 时,正方形的周长; (3)根据图象,求出 C 取何值时,S≥4cm .
2 2

2

2 第二类: 第二类:y=ax +k 的图象和性质

2

5.一条抛物线的开口方向和对称轴都与 线经过点(1,1),求这条抛物线的函数关系式.

相同,顶点纵坐标是-2,且抛物

第三类:y=a(x第三类:y=a(x-h) 的图象和性质 6.不画出图象,你能说明抛物线 与 之间的关系吗?

2

第四类:y=a(x-h) +k 的图象和性质 第四类:y=a(x7.把抛物线 线 ,求 b,c 的值.
2

2

向上平移 2 个单位,再向左平移 4 个单位,得到抛物

2 第五类: 第五类:二次函数 y=ax +bx+c 的图象和性质

8.通过配方,确定抛物线 画图. 9.已知抛物线

的开口方向、对称轴和顶点坐标,再描点

的顶点在坐标轴上,求 的值.

类型三: 类型三:二次函数的最值

10.求下列函数的最大值或最小值. (1) ; (2) .

11.某商场试销一种成本为 60 元/件的 T 恤,规定试销期间单价不低于成本单价,又获 利不得高 40%,经试销发现,销售量 且 时, (1)求出一次函数 ; 时, (件)与销售单价 (元/件)符合一次函数 ; ,

的解析式;

(2)若该商场获得利润为 元,试写出利润 与销售单价 之间的关系式,销售单价定 为多少时,商场可获得最大利润,最大利润是多少?

类型四: 类型四:用待定系数法确定二次函数的解析式
12.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式. (1)已知二次函数的图象经过点 A(0,-1),B(1,0),C(-1,2); (2)已知抛物线的顶点为(1,-3),且与 y 轴交于点(0,1); (3)已知抛物线与 x 轴交于点 M(-3,0),(5,0),且与 y 轴交于点(0,-3); (4)已知抛物线的顶点为(3,-2),且与 x 轴两交点间的距离为 4. 13.有一个抛物线形的拱形隧道,隧道的最大高度为 6m,跨度为 8m,把

它放在如图所示的平面直角坐标系中. (1)求这条抛物线所对应的函数关系式; (2)若要在隧道壁上点 P (如图)安装一盏照明灯, 灯离地面高 4.5 m.求灯与点 B 的距离.

学习成果测评 基础达标
一、选择题 1.如图所示,二次函数 y=-x2 的图象的规范画法是( )

2.下列各点在二次函数 y=x2 的图象上的有( ) ①A(0,0); ②B(-1,1); ③C(1,-1); ④D(-2,2);



; ⑥





; ⑧H(0.8,-6.4)

A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 3.若某函数图象的最低点为原点(0,0),则这个函数是(

)

A.

B.y=-x2

C.y=x2

D.y=-x

4.在抛物线 y=x2 上有两点

,则 m+n 的值为(

)

A.0

B.

C.

D.

5.观察函数 y=x2 的图象,则下列判断中正确的是( ) A.若 a、b 互为相反数,则 x=a 与 x=b 的函数值相同 B.对于同一个自变量 x,有两个函数值与它对应 C.对任意一个实数 y,有两个 x 和它对应 D.对作意实数 x,都有 y>0 6.将抛物线 y=3x2 如何平移,可得到抛物线 y=3(x-2)2-1( ) A.向左平移 2 个单位,再向上平移 1 个单位 B.向左平移 2 个单位,再向下平移 1 上单位 C.向右平移 2 个单位,再向上平移 1 个单位 D.向右平移 2 个单位,再向下平移 1 个单位 7.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则下列结论正确的是( A.a>0,b>0,c>0

)

B.a<0,b<0,c>0 C.a<0,b>0,c<0 D.a<0,b>0,c>0 8.如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的图象,点 P(a+b,ac)是坐标平面内的点,则点 P 在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

9.下列抛物线,对称轴所在直线是

的是(

)

A.

B.y=x2+2x

C.y=x2+x+2

D.y=x2-x-2

10.用配方法将函数 y=x2-4x+5 写成 y=a(x-h)2+k 的形式为( ) B.y=(x-2)2+1 C.y=(x+2)2-1 D.y=(x-2)2-1 A.y=(x+2)2+1 2 11.二次函数 y=x -2x+4 的顶点坐标,对称轴分别是( ) A.(1,3),x=1 B.(-1,3),x=1 C.(-1,3),x=-1 D.(1,3),x=-1 2 12.抛物线 y=x -3x+2 不经过第_____象限. A.一 B.二 C.三 D.四 2 13.抛物线 y=-x +2kx+2 与 x 轴交点的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.以上答案都不对 2 14.抛物线 y=x +6x+8 与 y 轴交点坐标是( ) A.(0,8) B.(0,-8) C.(0,6) D.(-2,0),(-4,0) 2 15.二次函数 y=x +2x-5 取最小值时,自变量 x 的值是( ) A.2 B.-2 C.1 D.-1 2 16.已知二次函数 y=-x +bx+c 的图象顶点是(1,-3),则 b 和 c 的值是( ) A.b=2,c=4 B.b=2,c=-4 C.b=-2,c=4 D.b=-2,c=-4 17.已知抛物线过(0,4),(1,-1),(2,-4)三点,那么它的对称轴是直线( ) A.x=1 B.x=-1 C.x=-3 D.x=3 2 18.已知抛物线 y=x -2bx+4 的顶点在 x 轴上,则 b 的值是( ) A.1 B.2 C.-2 D.±2 2 19.已知函数 y=ax +bx+c 的图象如图.所示,则此抛物线的解析式为( ) A.y=-x2+2x+3 B.y=x2-2x-3 C.y=-x2-2x+3 D.y=-x2-2x-3 20.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A.a>0,b<0,c>0 B.a<0,b<0,c>0 C.a<0,b>0,c<0 D.a<0,b>0,c>0 二、填空题

21.二次函数 y=-x2 有最_______值,它的图象是一条______线,开口向______,对称轴 是______,顶点坐标是_______,该点是图象的最______点,在对称轴左侧,y 随 x 的增大 而______,当 x=_____时,y=-5. 22.若点 A(2,m)在抛物线 y=x2 上,则点 A 关于 y 轴对称点的坐标是_____. 23.函数 y=-x2 的图象与直线 y=kx-8 的交点为(1,b),则 k=____,b=_____. 24.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则 ac____0.(填大于,小于或等于)

25.若函数 y=-x2+4x+k 的最大值等于 3,则 k 的值等于_____. 三、解答题 26.若抛物线 y=2x2 上有一点 ,在抛物线 y=-2x2 上有一点(b,-4)(b>0),试问

这两点关于 x 轴对称吗? 27.有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面 AB 的宽为 20m,如果水位上升 3m 时,水 面 CD 的宽是 10m.

(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式. (2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙,已知甲地距此桥 280km(桥长忽略不计),货车正以每小时 40km 的速度开往乙 ,当行驶 1 小时时,忽然接到 紧急通知:前方连降暴雨,造成水位每小时 0.25m 的速度持续上涨(货车接到通知时水位在 CD 处,当水位达到桥拱最高点 O 时,禁止车辆通行),试问:如果货车按原来速度行驶, 能否安全通过此桥?若能,请说明理由.若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过 每小时多少千米?

28.已知 (1)写出抛物线的顶点坐标、对称轴、最小值; (2)求出抛物线与 x 轴、y 轴交点坐标; (3)作出函数图象, 并观察图象, 为何值时, x y>0; 为何值时, x y=0, 为何值时, x y<0?

能力提升
一、选择题 1.函数 y=2x2,y=3-2x2,y=2x2+1 的______相同. A.形状 B.顶点 C.最小值 D.增减性 2.已知 a<-1,点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数 y=x2 的图象上,则( B.y1<y3<y2 C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3 A.y1<y2<y3

)

3.直线 y=-2 与抛物线 y=x2 的交点有( ) A.2 个 B.1 个 C.0 个 D.无法判断 2 4.函数 y=ax 与 y=-ax+b 在同一坐标系的图象可能是( )

5.如图所示,从 y=x2 的图象可以看出,当-2≤x≤1 时,函数值 y 的取值范围是( A.-4≤y≤1 B.1≤y≤4 C.0≤y≤4 D.-1≤y≤4

)

6.在函数

的图象中,是中心对称图形,且对称

中心是原点的图象共有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 7.如果直线 y=x-1 与抛物线 y=x2+5x+a2 相交,那么它们的交点必在第____象限. A.一 B.二 C.三 D.四 2 8.已知二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示,下列结论:①a+b+c>0;②a-b+c>0;③ abc<0;④2a-b=0,其中正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 9.已知二次函数 y=kx2-7x-7 的图象和 x 轴有交点,则 k 的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

10.下列四个函数:①y=2x;②

;③y=3-2x;④y=2x2+x(x≥0),其中,在自变量

x 的允许取值范围内,y 随 x 增大而增大的函数的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 11.已知函数 y=ax+b 的图象经过第一、 三象限, 二、 那么 y=ax2+bx+1 的图象大致为(

)

12.函数 y=ax2+a 与

在同一坐示系的图象可能是(

)

13.关于二次函数 y=ax2+bx+c 的图象有下列命题: (1)当 c=0 时,函数的图象过原点; (2)当 c>0 且函数的图象开口向下时,方程 ax2+bx+c=0 必有两个不等实根;

(3)函数图象最高点的纵坐标是

;

(4)当 b=0 时,函数的图象关于 y 轴对称. 其中正确命题的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2 14.函数 y=mx +x-2m(m 是常数)的图象与 x 轴的交点有( A.0 个 B.1 个 C2个 D.1 个或 2 个

)

15.不等式 ax+b>0 的解集为

,则抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴所在

位置是( ) A.y 轴 B.y 轴的右侧 C.y 轴的左侧 D.无法确定 2 16.已知抛物线 y=x -bx(b≠0)的顶点为 C,与 x 轴的两个交点分别为 A,B,且△ABC 为等腰直角三角形,则△ABC 的面积为( )

A.2

B.
2

C.

D.1

17.二次函数 y=x -8x+15 的图象与 x 轴相交于 L、M 两点,N 点在该函数图象上运动, 能使△LMN 的面积等于 2 的点 N 共有( ) A.0 个 B.1 外 C.2 个 D.3 个 18.下列各图是在同一直角坐标系内, 二次函数 y=ax2+(a+c)x+c 与一次函数 y=ax+c 的大 致图象,有且只有一个是正确的,正确的是( )

二、填空题 19.已知抛物线 y=x2 上有一点 A,A 点的横坐标是-1,过点 A 作 AB∥x 轴,交抛物线于 另一点 B,则△AOB 的面积为_______.

20.如图, 两条抛物线分别是二次函数 C2 是____的图象.

的图象, C1 是_____的图象, 则

21.抛物线如图所示,则其解析式为_________________,若另一条抛物线与该抛物线关 于 x 轴对称,则其解析式为_________________.

22.若抛物线

与直线 y=x+m 只有一个公共点, m 的值为_____. 则

23.已知抛物线 y=x2+bx+c 与 y 轴交于点 A,与 x 轴的正半轴交于 B、 C 两点,且 BC=2,S△ABC=3,那么 b=_____. 24.开口向上的抛物线 y=a(x+2)(x-8)与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交 于 C 点,若 ∠ACB=90°,则 a 的值是_____. 三、解答题 25.已知:抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(0,-5),B(1,-3),C(-1,-11)三点,求 它的顶点坐标及对称轴. 26.已知抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点 O′(4,-3),且经过点 A(1,0),求此抛 物线的解析式. 27.已知:如图,抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 B(1,0)、C(-3,0)点,且过 A(3,-6)点. (1)求 a、b、c 的值. (2)设此抛物线的顶点为 M,对称轴与线段 AC 交于 N 点,连结 CM、BM、BN,试求 四边形 BMCN 的面积 S. 28. 如图,二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交于 A、B 两点,其中 A 点坐 标为 (-1,0),点 C(0,5),D(1,8)在抛物线上,M 为抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式; (2)求△MCB 的面积.

综合探究
1.已知:抛物线 y=-x2+4x+5 (1)试求此抛物线关于 x 轴对称的抛物线的解析式; (2)试求此抛物线关于 y 轴对称的抛物线的解析式; (3)试求此抛物线关于原点对称的抛物线的解析式; (4)试求此抛物线关于其顶点 M 成中心对称的抛物线的解析式.


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