【北师大版】上犹中学09-10学年上学期高二年级第二次月考数学试题(理科)

上犹中学 2009~2010 学年度第一学期高二年级第二次月考试题
理 科 数 学
命题人:上犹中学 2009-12-24 刘道生
A
2

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

B
2

C

D )

1 1.命题“ ?x0 ? R, sin x0 ? ”的否定是 ( 2 1 , A ?x ? R s i nx ? 2 1 , C ?x0 ? R s i nx ? 2
2.下列函数中,满足 f ( x) ? f ?( x) 的函数是 A. f ( x) ? 1 ? x 3. 下列命题正确的是 A. (cos x)? ? sin x C. (cos 2 x)? ? ? sin 2 x B. f ( x) ? x ( )

) B

7. 已知直线 y ? kx ? 1 和椭圆 x ? 2 y ? 1 有公共点, k 的取值范围是 ( 则

1 ?x ? R, s i nx ? 2 1 2

D 不存在 x ? R, sin x ? ( C. f ( x) ? 0

2 2 或 k> 2 2 2 2 C.k≤或 k≥ 2 2
A.k<-

B.D.-

2 2 <k< 2 2 2 2 ≤k≤ 2 2

) D. f ( x) ? 1

8.已知函数 f ( x)的定义域为?2,??) ,且 f (4) ? f (?2) ? 1 , f ?( x)为f ( x) 的导 [

a?0 ? ? b?0 函数,函数 y ? f ?(x) 的图象如右图所示. 则平面区域 ? ? f ( 2a ? b) ? 1 ?
所围成的面积是( A.8 B.5 ) C.4 D.2 )


开始 输入 a,b,c 是 a>b a= b 是

B. (sin x)? ? cos x D. (sin 2 x)? ? cos 2 x

4. 已知 ? , ? 表示两个不同的平面, m 为平面 ? 内的一条直线,则“ ? ? ? ”是“ m ? ? ” 的 ( ) A.充分不必要条件 C.充要条件

9.如右图给出了一个算法框图,该算法框图的功能是( A.求三个数中最大的数 B.求三个数中最小的数 C.按从小到大排列 D.按从大到小排列

a>c
否 a= c

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 ( 5.双曲线 4 9
9 A. y ? ? x 4 3 B. y ? ? x 2

10. 在等差数列 ?an ? 中, a1 ? ?2008 ,其前 n 项的和为 Sn .

输出 a

2 C. y ? ? x 3

4 D. y ? ? x 9

S 2007 S2005 ? ? 2 ,则 S2008 ? ( ) 2007 2005 (A) ?2007 (B) ?2008 (C) 2007


结束

(D) 2008

6.为缓解南方部分地区电力用煤紧张的局面,某运输公司提出四种运输方案,据预测,这四种 方案均能在规定时间 T 完成预期的运输任务 Q0 ,各种方案的运煤总量 Q 与时间 t 的函数关 系如下图所示.在这四种方案中,运煤效率(单位时间的运煤量)逐步提高的是( ........ )

11.如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形, 俯视图是半径为 1 的半圆,侧视图为直角三角形, 则该几何体的体积是( ) 正视图 侧视图

4 3 ? A. 3

1 B. ? 2

3 ? C. 3

3 ? D. 6
俯视图

1

12. 已知非空集合 A、B 满足 A ? B,给出以下四个命题: ①若任取 x∈A,则 x∈B 是必然事件 ②若 x ? A,则 x∈B 是不可能事件 ③若任取 x∈B,则 x∈A 是随机事件 ④若 x ? B,则 x ? A 是必然事件 其中正确的个数是( ) A、1 B、2 C、3 D、4 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.答案填在题中横线上.w 13.如图:平行六面体 ABCD ? A B1C1D1 中,设向量 A B1 ? a , 1 1

?

19.(本小题满分 12 分)已知 p :x < -2,或 x > 10; q : 1 ? m ≤x≤ 1 ? m 2 ;若 ? p 是 q 的充分而不必要条件,求实数 m 的取值范围。 20. (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx的极小值为? 8, 其导函数 ? f ' ( x) y 的图像经过点 (?2,0), ( ,0), 如图所示, (Ⅰ)求 f (x) 的解析式;

????

?

????? ? ???? ? ? ?? ???? A1 D1 ? b , A1 A ? c ,用 a, b, c 表示 AC ? 1

2 3

14. 设 f ( x) ? ax ? 4 ,若 f ?(1) ? 2 ,则 a 等于 15.已知抛物线 C : y 2 ? 2 px ( p ? 0) 上一点 A(4, m) 到其焦点的距离为 则 p 的值是______ 16. 以下四个命题中,其中真命题的序号为 ①函数 y ? 2 的导数为 2 ;
x
x

17 , 4

(Ⅱ)若对任意的 x ? [?3,3]都有f ( x) ? m ? 14m 恒成立,
2

(写出所有真命题的序号) .

求实数 m 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的首项 a1 ?

②函数 y ? log3 x 的导数是

③若 f ?( x0 ) ? 0 ,则 x 0 是 f ( x) 的极大值点或极小值点; ④设函数 f ( x ) 在 (??, ??) 内可导,且恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x ) 在 R 上单调递增.

1 ; x ln 3

3 3an 2, , an ?1 ? , n ? 1, ? . 5 2an ? 1

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)证明:对任意的 x ? 0 , an ≥

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)设 x ? 1 与 x ? ?2 是函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? 2 x 的两个极值点. (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)求 f ( x ) 在[-3,2]上的最值. 18. (本小题满分 12 分)如图,直三棱柱 ABC ? A B1C1 中, 1

1 1 ?2 ? 2, ? ? x ? , n ? 1, ? ; 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?

22(本题满分 14 分)设椭圆 C1 :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆上短轴端点 2 a b 3

到焦点距离为 3 ,左右焦点分别为 F1 , F2 . (1)求椭圆 C1 的方程; (2) 直线 l1 过点 F 且垂直于椭圆的长轴, 动直线 l2 垂直于直线 l1 ,垂足为点 P ,线段 PF2 的垂直 1 平分线交 l2 于点 M ,求点 M 的轨迹 C2 的方程; (3)设 C2 与 x 轴交于点 Q ,不同的两点 R , S 在 C2 上,且满足 QR ? RS ? 0 ,求 | QS | 的取值范 围.

AB ? 1 , AC ? AA1 ? 3 , ?ABC ? 60? .
(1)证明: AB ? AC ; 1 (2)求二面角 A1 ? BC ? A 的余弦值大小

??? ??? ? ?

??? ?

2

第二次月考(理科数学)参考答案
题号 答案 1 A 2 C 3 B 14. 2; 4 B 5 B 15. 6 A 7 C 8 C 16. ② ????1 分 9 B 10 B 11 D 12 C

(2)解 如图,可取 m ? AA ? (0,0,1) 为平面 ABC 的法向量,设平面 A BC 的法向量为 1 1 n ? ( x, y, z ) ,则 BC ? n=0, AC ? n=0,又 BC ? (?1, 3,0) , 1

????

??? ?

????

??? ?

? ? ? 13. a ? b ? c ;

1 ; 2

17.解: (1) f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 2 由极值点的必要条件可知: f ?(1) ? f ?(2) ? 0 , 即 12a ? 4b ? 2 ? 0 ,且 3a ? 2b ? 2 ? 0 , 解方程组可得 a ?

?? x ? 3 y ? 0, ? ? x ? 3 y, y ? z ? ? 3 y ? 3z ? 0, ?

不妨取 y ? 1 ,则 n ? ( 3,1,1) .?????9 分

cos ? m, n ??
????3 分 ????4 分

m?n 3 ? 0 ? 1? 0 ? 1?1 5 . ? ? | m || n | 5 1? 5
5 .????????????????12 分 5

1 1 ,b ? , 3 2

所以二面角 A1 ? BC ? A 所成角的余弦为 19.解 :? P : x ? ??或x ? 10

1 1 f ( x) ? x3 ? x 2 ? 2 x , 3 2

q :1 ? m ? x ??? m2

????5 分

??p : ?2 ? x ? 10 ?????????3 分
? ?p ? q
2 ??1?m??10 1? m2 ?

(2)当 x ? (??, ?2) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增; 当 x ? (?2,1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减; 当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增. 故在 x ? 1 处函数 f ( x ) 取得极小值 ? ????8 分

解得

m?3

??10 分

又? m ? 3时 q ? ?p

?m ? 3

7 10 ,在 x ? ?2 处函数取得极大值 ??11 分 6 3

?m 的取值范围是 ?3, ?? ?????????12 分 ?
20.解: (1)? f ' ( x) ? 3ax ? 2bx ? c, 且y ? f ' ( x)的图像经过点 (?2,0), ( ,0),
2

f ( ?3) ?

3 2 , f ? 2? ? 2 3 10 7 ,在 x ? 1 处函数取得最小值为 ? ????12 分 3 6

2 3

所以,在 x ? ?2 处函数取得最大值

18.解(1)? 三棱柱 ABC ? A B1C1 为直三棱柱,? AA1 ? AC , AA1 ? AB . 1

2 2b ? ?2? ? ? ? ?b ? 2a ? 3 3a ?? ?? ?c ? ?4a ?? 2 ? 2 ? c ? 3 3a ?

???(2 分)

? 在 ?ABC 中, AB ? 1, AC ? 3, ABC ? 60 ,由正弦定理得 ?ACB ? 30 .
? ?

? f ( x) ? ax3 ? 2ax2 ? 4ax,
由图象可知函数 y ? f ( x)在(?? ,?2)上单调递减 , 在(?2, ) 上单调递增,

??BAC ? 90? ,即 AB ? AC .
如图,建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0), B(1,0,0) , C(0, 3,0), A (0,0, 3) , 1

2 3

??? ? ???? ??? ???? ? ? AB ? ?1, 0, 0 ? , A1C ? 0, 3, ? 3 .? AB ? AC ? 1? 0 ? 0 ? 3 ? 0 ? (? 3) ? 0 , 1

?

?

在 ( ,?? ) 上单调递减,

2 3

???(3 分)

由f ( x)极小值 ? f (?2) ? a(?2) 3 ? 2a(?2) 2 ? 4a(?2) ? ?8, 解得a ? ?1?(5 分)
? f ( x) ? ? x 3 ? 2 x 2 ? 4 x
3

? AB ? AC .??????????????????????6 分 1

????(6 分)

(2)要使对 x ? [?3,3]都有f ( x) ? m 2 ? 14m 恒成立, 只需 f ( x) min ? m 2 ? 14m即可. ????(7 分)

设 f ( x) ?

1 1 ?2 ? ? ? x? , 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?

????????7 分

2 2 由(1)可知 函数y ? f ( x)在[?3, ?2)上单调递减, 在( ?2, )上单调递增, 在( ,3] 3 3
上单调递减 且f (?2) ? ?8, f (3) ? ?33 ? 2 ? 32 ? 4 ? 3 ? ?33 ? ?8

?2 ? ?(1 ? x)2 ? ? n ? x ? ? 2(1 ? x) 1 ?3 ? ? ? 则 f ?( x) ? ? 2 2 (1 ? x) (1 ? x)
? x ? 0 ,? 当 x ?
?当 x ?

?2 ? 2? n ? x ? ?3 ? ????9 分 2 (1 ? x)

? f ( x) min ? f (3) ? ?33
? 33 ? m ? 14m ? 3 ? m ? 11
2

????(11 分)

2 2 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? n 时, f ?( x) ? 0 , n 3 3

2 时, f ( x ) 取得最大值 3n

? 2 f? n ?3

}. 故所求的实数 m 的取值范围为 {m | 3 ? m ? 11
21. 解: (Ⅰ)? an ?1 ?

1 ? ? an . ?? ? 1? 2 3n

????11 分

???(12 分)

? 原不等式成立.
22. 解:(1)由 e ?

????12 分

3an 1 2 1 ,? , ? ? 2an ? 1 an?1 3 3a n
??????2 分

x2 y 2 3 2 2 ? ? 1 .??4 分 得 2a ? 3b ,又 a ? 3 ,? 椭圆 C1 的方程为: 3 2 3

?

? 1 1? 1 ? 1 ? ? ? 1? , an ?1 3 ? an ?

(2)由 MP ?MF 2 得动点 M 的轨迹是以 l1 : x ? ?1 为准线, F2 为焦点的抛物线,∴点 M 的轨 迹 C2 的方程为 y 2 ? 4 x . (3) Q(0,0), 设 R( ??????????????8 分



? 1 ? 2 1 1 2 ? 1 ? ,? ? ? 1 ? 是以 为首项, 为公比的等比数列. ??4 分 3 3 a1 3 ? an ?
???????6 分

??? ? ??? ? y12 y2 y2 y 2 ? y12 , y1 ), S ( 2 , y2 ) , ? QR ? ( 1 , y1 ), RS ? ( 2 , y2 ? y1 ) 4 4 4 4
2 y12 ( y2 ? y12 ) ? y1 ( y2 ? y1 ) ? 0 ,? y1 ? y2 16

3n 1 2 1 2 . ? ? 1 ? ? n?1 ? n ,? an ? n 3 ?2 an 3 3 3 3n ? 0, (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? n 3 ?2

由 QR ? RS ? 0 ,得

??? ??? ? ?

? 化简得 y2 ? ? y1 ?
2 ? y2 ? y12 ?

1 1 ?2 1 1 ?2 ? ? ? ? x? ? ? ? 1 ?1 ? x ? 2 ? n 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ? ? 1 ? x (1 ? x) ? 3

16 , y1

????????????????10 分

?

1 1 ? 1 ? x (1 ? x) 2

?1 ? 1 1 2 ? ? ? (1 ? x) ? ? ? ? 2 an (1 ? x) 1 ? x ? an ?
2

256 , ? 32 ? 2 256 ? 32 ? 64 (当且仅当 y1 ? ?4 时等号成立) y12

1? 1 ? ?? ? ? an ? ? an ≤ an , ? 原不等式成立.??????12 分 an ? 1 ? x ?
(Ⅱ)解法二

??? ? y2 1 2 2 ?| QS |? ( 2 )2 ? y2 ? ( y2 ? 8)2 ? 64 4 4
又? y2 ? 64 ,? 当 y2 ? 64 ,即 y2 ? ?8 时 | QS |min ? 8 5 ,
2 2

??? ?

??? ? ? QS | 的取值范围是 [8 5, ??) |
4

??????????14 分


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