2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1练习:第三章2.2 抛物线的简单性质(二) 2 Wo

[A.基础达标] 1.抛物线 y=ax2+1 与直线 y=x 相切,则 a 等于(  ) 1 1 A. 8           B. 4 1 C. 2 D.1 y=ax2+1, y=x 解析:选 B.由 消去 y 整理得 ax2-x+1=0,由题意 a≠0,Δ=(-1) 1 { ) a=4. 2.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 y=2x-4 与 C 交于 A,B 两点,则 cos∠AFB=(  ) 4 3 A.5 B.5 3 4 C.-5 D.-5 y2=4x, x=1, x=4, y 2 x 4 y 2 = - , =- 解析:选 D.由 得 或 y=4. 令 B(1,-2),A(4,4),又 F(1,0), 所以由两点间距离公式,得 |BF|=2,|AF|=5,|AB|=3 5, |BF|2+|AF|2-|AB|2 2-4a=0.所以 { ) { ) { ) 所以 cos∠AFB= 4+25-45 2|BF|·|AF| 4 → → → → OA OB OA OB · 最小时, , 所在两条直线 =2 × 2 × 5=-5. 3.A,B 是抛物线 x2=y 上任意两点(非原点),当 的斜率之积 kOA·kOB=(  ) 1 1 A.2 B.-2 C. 3 D.- 3 1 2 解析:选 B.由题意可设 A(x1,x ),B(x2,x2), → → OA 1),OB=(x2,x2), =(x1,x2 → OB → OA · =x1x2+(x1x2)2 1 1 1 =(x1x2+2)2-4≥-4, 1 → OB → OA 当且仅当 x1x2=-2时 · 取得最小值. 1 此时 kOA·kOB= · =x1x2=-2. 4.设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5.若以 MF 为直径的 圆过点(0,2),则 C 的方程为(  ) A.y2=4x 或 y2=8x B.y2=2x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x D.y2=2x 或 y2=16x 解析:选 C.设 M(x0,y0),A(0,2),MF 的中点为 N. p 由 y2=2px,F(2,0), x0+ p 2 y0 所以 N 点的坐标为( 2 , 2 ). p 由抛物线的定义知,x0+2=5, p 所以 x0=5-2. p 2p(5- ) 2 . 所以 y0= |MF| 5 25 所以|AN|= 2 =2,所以|AN|2= 4 . p x0+ 2 y0 25 所以( 2 )2+( 2 -2)2= 4 . p p p 2p(5- ) (5- + )2 2 2 2 25 -2 2 4 2 即 + =4. p 2p(5- ) 2 ( ) 2 所以 -2=0. 整理得 p2-10p+16=0. 解得 p=2 或 p=8. 所以抛物线方程为 y2=4x 或 y2=16x. 1 5.已知抛物线 C 的方程为 x2=2y,过点 A(0,-1)和点 B(t,3)的直线与抛物线 C 没 有公共点,则实数 t 的取值范围是(  ) A.(-∞,-1)∪(1,+∞) 2 2 B.(-∞,- 2 )∪( 2 ,+∞) C.(-∞,-2 2)∪(2 2,+∞) D.(-∞,- 2)∪( 2,+∞) 1 解析:选 D.当 AB 的斜率不存在时,x=0,其与 x2=2y 有公共点,不满足要求;当 1 AB 的斜率存在时,可设 AB 所在直线的方程为 y=kx-1,代入 x2=2y,整理得 4 2x2-kx+1=0,Δ=(-k)2-4×2<0,得 k2<8,B(t,3)在 y=kx-1 上即 3=kt-1,( t ) 2=k2<8,即 t2>2 得 t∈(-∞,- 2)∪( 2,+∞). 6.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点,若 A、B 在准线 上的射影为 A1、B1,则∠A1FB1 等于________. 解析:如图,由抛物线定义知|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,所以∠AA1F=∠AFA1,又 ∠AA1F=∠A1FO, 所以∠AFA1=∠A1FO, 同理∠BFB1=∠B1FO, 于是∠AFA1+∠BFB1=∠A1FO+∠B1FO=∠A1FB1. 故∠A1FB1=90°. 答案:90° 7.已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F,经过 F 的直线与抛物线相交于 A,B 两点,则以 AB 为直径的圆在 x 轴上所截得的弦长的最小值是________. 解析:由题意知满足题意的 AB 所在直线的斜率存在, 故 AB 所在的直线方程可写为 y=kx+1,代入 x2=4y, 整理得 x2-4kx-4=0, x1+x2=4k,由 y=kx+1 可得 y1+y2=kx1+1+kx2+1=4k2+2,|AB|=y1+y2+p=4k2+4, 故所截弦长=2 (2k2+2)2-(2k2+1)2=2 4k2+3≥2 3,当 k=0 时弦长取最小值. 答案:2 3 8.已知定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y2=2x 上移动,M 为 AB 的中点,则 M 点到 y 轴的最短距离为________. 1 解析:如图所示,抛物线 y2=2x 的准线为 l:x=-2,过点 A、B、M 分别作 AA′、BB′、MM′垂直于 l,垂足分别为 A′、B′、M′.由抛 物线定义知|AA′|=|FA|,|BB′|=|FB|.又 M 为 AB 中点,由梯形中位线定 1 1 1 1 3 理得|MM′|=2(|AA′|+|BB′|)=2(|FA|+|FB|)≥2|AB|=2×3=2,则 M 到 y 3 1 轴的距离 d≥2-2=1(当且仅当 AB 过抛物线的焦点时取“=”),所以 dmin=1,即 M 点到 y 轴的最短距离为 1. 答案:1 9.已知抛物线 y2=12x 和点 P(5,2),直线 l 经过点 P 且与抛物线交于 A、B 两点,O 为坐

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