2-3-1等差数列的前n项和1课件(人教A版必修5)

第二章
数列

第二章
2.3 等差数列的前 n 项和

第二章
第 1 课时 等差数列的前 n 项和

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课前自主预习

温 故 知 新
对于任意数列{an},Sn=a1+a2+…+an,叫做数列{an}的前 n 项和.于是对任意数列{an}总有:Sn=Sn-1+an(n∈N*且 n≥2),因 此对于任意数列{an},如果 Sn 是其前 n 项的和,则通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是:
? ?S1 an=? ? ?

?n=1? ?n≥2且n∈N*?
Sn-Sn-1

.

[答案]

新 课 引 入
北宋时期的科学家沈括在他的著作《梦溪笔谈》一书中提出 酒店里把酒瓶层层堆积,底层排成长方形,以上逐层的长、宽各 减少一个,共堆 n 层,堆成棱台的形状,沈括给出了一个计算方 法——“隙积术”求酒瓶总数,沈括的这一研究,构成了其后二 三百年关于垛积问题研究的开端.

自 主 预 习
1.等差数列前 n 项和公式

n?a1+an? n?n-1? na1+ d 2 2 等差数列{an}的前 n 项和 Sn=________ =_____________.

破疑点: (1)等差数列前 n 项和公式的推导方法“倒序相加 法”,是解决数列求和问题的一种重要方法.主要适用于具有 a1 +an=a2+an-1=a3+an-2=…特征的数列求和. (2)若已知数列的首项 a1、末项 an 及项数 n,则用公式 Sn= n?a1+an? a1+an 来求和.这里 2 是 a1 与 an 的等差中项,应用时要注 2 意结合等差数列的性质.

n?a1+an? (3)公式 Sn= 中涉及四个量:Sn、n、a1、an;公式 Sn 2 n?n-1? =na1+ 2 d 中也涉及四个量:Sn、n、a1,d、结合等差数列 的通项公式 an=a1+(n-1)d,对于等差数列中的五个量:Sn、n、 a1、an、d,已知其中的三个可以求另外的两个量.

已知等差数列{an}. 5 3 (1)a1= ,a15=- ,Sn=-5,求 n 和 d; 6 2 (2)a1=4,S8=172,求 a8 和 d.

[解析]

5 3 (1)∵a15=6+(15-1)d=-2,

1 ∴d=-6. n?n-1? 又 Sn=na1+ 2 · d=-5, 解得 n=15,n=-4(舍). 8?a1+a8? 8?4+a8? (2)由已知,得 S8= = 2 , 2 解得 a8=39, 又∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5.

2.等差数列前 n 项和的有关性质 (1)等差数列{an}中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 也构成等差数列, 且公差为 m2d. Sn (2)若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则数列{ }是等差数列, n d 且首项为 a1,公差为 . 2 (3)若{an}与{bn}均为等差数列,且前 n 项和分别为 Sn 与 S′n, an S2n-1 则b = . S′2n-1 n

(1)等差数列{an}的前 m 项的和为 30,前 2m 项的和为 100, 则它的前 3m 项的和为( A.130 C.210 ) B.170 D.260

(2)已知{an},{bn}均为等差数列,其前 n 项和分别为 Sn、Tn, Sn 2n+3 a5 且 = ,则 =________. Tn n+3 b5
[答案] (1)C 5 (2)3

[解析]

(1) ∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成等差数列,

∴Sm+S3m-S2m=2(S2m-Sm), ∴30+S3m-100=2(100-30), ∴S3m=210. a1+a9 9?a1+a9? 2 2 a5 S9 2×9+2 5 (2)∵b = = =T = =3. b1+b9 9?b1+b9? 9+3 5 9 2 2

3.数列的项 an 与前 n 项和 Sn 的关系
? ?S1?n=1? an=? ? ?Sn-Sn-1?n≥2?

.

破疑点: (1)利用 Sn 与 an 的关系求数列通项公式的方法称为前 n 项和法,它适应于所有数列. (2)应用 an 与 Sn 的关系求 an,分三个步骤: 第一步:n=1 时,计算 a1=S1; 第二步:n≥2 时,计算 an=Sn-Sn-1; 第三步:检验 a1=S1 是否适合 an=Sn-Sn-1(n≥2).a1 适合 an =Sn-Sn-1(n≥2)时,通项公式可合并成一个式子,即 an=Sn-Sn- 否则, 通项公式应写成分段函数的形式, 即 1;
? ?S1?n=1? an=? ? ?Sn-Sn-1?n≥2?

.

试求分别满足下列条件的数列{an}的通项公式: (1)Sn=n2+n(n∈N*); (2)Sn=n2-n+1(n∈N*).

[解析]

(1)当 n=1 时,a1=S1=2;当 n≥2 时,an=Sn-

Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n. 又 a1=2 满足上式,∴an=2n(n∈N*). (2)当 n=1 时,a1=S1=1; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =n2-n+1-(n-1)2+(n-1)-1 =2n-2. 又 a1=1 不满足上式,
? ?1?n=1? ∴an=? ? ?2n-2?n≥2?

.


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