高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二1绝对值三角不等式同步配套课件新人教A版选修4_5_图文

理解教 材新知 二 第 一 讲 绝 对 值 不 等 式 1. 绝对 值三 角不 等式 把握热 点考向 应用创 新演练 考点一 考点二 二 绝对值不等式 1.绝对值三角不等式 绝对值三角不等式 (1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅 当 ab≥0 时,等号成立. 几何解释:用向量a,b分别替换a,b. ①当a与b不共线时,有|a+b|<|a|+|b|,其几何意义为: 三角形 的两边之和大于第三边 . ②若a,b共线,当a与b 同向 时,|a+b|=|a|+|b|,当a与b 反向 时,|a+b|<|a|+|b|. 由于定理1与三角形之间的这种联系,故称此不等式为绝对值三 角不等式. ③定理1的推广:如果a,b是实数,则||a|-|b||≤|a± b|≤|a|+|b|. (2)定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|. 当且仅当 (a-b)(b-c)≥0 时,等号成立. 几何解释:在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C, 当点B在点A,C之间时,|a-c| = |a-b|+|b-c|. 当点B不在点A,C之间时:①点B在A或C上时,|a-c| = |a- b|+|b-c|; ②点B不在A,C上时,|a-c| < |a-b|+|b-c|. 应用:利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值. 含绝对值不等式的判断与证明 [例1] s s s 已知|A-a|< ,|B-b|< ,|C-c|< . 3 3 3 求证:|(A+B+C)-(a+b+c)|<s. [思路点拨] 原式 变形 ――→ 重新 分组 定理 ――→ 转化为|A-a|+ ―→ 得出结论 |B-b|+|C-c| [证明] -c)| |(A+B+C)-(a+b+c)|=|(A-a)+(B-b)+(C ≤|(A-a)+(B-b)|+|C-c|≤|A-a|+|B-b|+|C-c|. s s s 因为|A-a|< ,|B-b|< ,|C-c|< , 3 3 3 s s s 所以|A-a|+|B-b|+|C-c|< + + =s. 3 3 3 含绝对值不等式的证明题主要分两类:一类是比较简单 的不等式,往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常 见的不等式证明,或利用绝对值三角不等式||a|-|b|||a± b|≤|a| +|b|,通过适当的添、拆项证明;另一类是综合性较强的函 数型含绝对值的不等式,往往可考虑利用一般情况成立,则 特殊情况也成立的思想,或利用一元二次方程的根的分布等 方法来证明. 1.已知|x|<a,|y|<b,则下列不等式中一定成立的是( A.|x+y|<a+b C.|x|+|y|≤a+b B.|x-y|<a-b D.|x|-|y|≤a-b ) 解析:|x+y|≤|x|+|y|<a+b. 答案:A ε ε 2.设ε>0,|x-a|< ,|y-a|< . 4 6 求证:|2x+3y-2a-3b|<ε. 证明:|2x+3y-2a-3b|=|2(x-a)+3(y-b)|≤ |2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b| ε ε <2× +3× =ε. 4 6 绝对值三角不等式的应用 [例2] (1)求函数y=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值. (2)如果关于x的不等式|x-3|+|x-4|<a的解集为空集, 求参数a的取值范围. [思路点拨] 求解. [解] 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可 (1)法一:||x-3|-|x+1|| ≤|(x-3)-(x+1)|=4, ∴-4≤|x-3|-|x+1|≤4. ∴ymax=4,ymin=-4. 法二:把函数看作分段函数. ?4,x<-1, ? y=|x-3|-|x+1|=?2-2x,-1≤x≤3, ? ?-4,x>3. ∴-4≤y≤4. ∴ymax=4,ymin=-4. (2)只要a不大于|x-3|+|x-4|的最小值,则|x-3|+|x-4|<a的解 集为空集,而|x-3|+|x-4|=|x-3|+|4-x|≥|x-3+4-x|=1, 当且仅当(x-3)(4-x)≥0,即3≤x≤4时等号成立. ∴当3≤x≤4时,|x-3|+|x-4|取得最小值1. ∴a的取值范围为(-∞,1]. (1)利用绝对值不等式求函数最值,要注意利用绝对 值的性质进行转化,构造绝对值不等式的形式. (2)求最值时要注意等号成立的条件,它也是解题的 关键. 3.若a,b∈R,且|a|≤3,|b|≤2则|a+b|的最大值是 ________,最小值是________. 解析:|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|, ∴1=3-2≤|a+b|≤3+2=5. 答案:5 1 4.求函数f(x)=|x-1|+|x+1|的最小值. 解:∵|x-1|+|x+1|=|1-x|+|x+1|≥ |1-x+x+1|=2, 当且仅当(1-x)(1+x)≥0, 即-1≤x≤1时取等号. ∴当-1≤x≤1时,函数f(x)=|x-1|+|x+1| 取得最小值2. 5.若对任意实数,不等式|x+1|-|x-2|>a恒成立,求a的取 值范围. 解:a<|x+1|-|x-2|对任意实数恒成立, ∴a<[|x+1|-|x-2|]min. ∵||x+1|-|x-2||≤|(x+1)-(x-2)|=3, ∴-3≤|x+1|-|x-2|≤3. ∴(|x+1|-|x-2|)min=-3. ∴a<-3.即a的取值范围为(-∞,-3). 1.对于|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,下列结论正确的是 A.当a,b异号时,左边等号成立 B.当a,b同号时,右边等号成立 C.当a+b=0时,两边等号均成立 ( ) D.当a+b>0时,右边等号成立;当a+b<0时,左边等号成立 解析:当a,b异号且|a|>|b|时左边等号才成立A不正确; 显然B正确;当a+b=0时,右边等号不成立,C

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