二次方程根的分布情况归纳精品2


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昆明市第十四中学数学组 李如方 E-mail: ecnulotus@126.com

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
1、一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 根的分布情况
2

设方程 a x ? b x ? c ? 0 ? a ? 0 ? 的不等两根为 x1 , x 2 且 x1 ? x 2 ,相应的二次函数为 f ? x ? ? a x ? b x ? c ? 0 ,
2
2

方程的根即为二次函数图象与 x 轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)

表一: (两根与 0 的大小比较即根的正负情况)
分 布 情 况
两个负根即两根都小于 0 两个正根即两根都大于 0 一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于 0 ? x1 ? 0 ? x 2 ?

? x1

? 0, x 2 ? 0 ?

? x1

? 0, x 2 ? 0 ?

大 致 图 象 (
a ? 0



得 出 的 结 论

? ? ?0 ? b ? ?0 ?? 2a ? ? f ?0? ? 0 ?

? ? ?0 ? b ? ?0 ?? 2a ? ? f ?0? ? 0 ?

f ?0 ? ? 0

大 致 图 象 (
a ? 0



得 出 的 结 论 综 合 结 论 ( 不 讨 论
a

? ? ?0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? f ?0? ? 0 ?

? ? ?0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? f ?0? ? 0 ?

f ?0 ? ? 0

? ? 0 ? ? b ? ? 0 ? ? 2a ? ?a ? f ?0? ? 0 ?

? ? 0 ? ? b ? ? 0 ? ? 2a ? ?a ? f ?0? ? 0 ?

a ? f ?0 ? ? 0



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表二: (两根与 k 的大小比较)
分 布 情 况

两根都小于 k 即
x1 ? k , x 2 ? k

两根都大于 k 即
x1 ? k , x 2 ? k

一个根小于 k ,一个大于 k 即
x1 ? k ? x 2

大 致 图 象 (
a ? 0

k k k



得 出 的 结 论

? ? ?0 ? b ? ? k ?? ? 2a ? f ?k ? ? 0 ?

? ? ?0 ? b ? ? k ?? ? 2a ? f ?k ? ? 0 ?

f ?k ? ? 0

大 致 图 象 (
a ? 0



得 出 的 结 论

? ? ?0 ? b ? ? k ?? 2a ? ? f ?k ? ? 0 ?

? ? ?0 ? b ? ? k ?? 2a ? ? f ?k ? ? 0 ?

f ?k ? ? 0

综 合 结 论 ( 不 讨 论
a

? ? 0 ? ? b ? ? k ? ? 2a ? ?a ? f ?k ? ? 0 ?

? ? 0 ? ? b ? ? k ? ? 2a ? ?a ? f ?k ? ? 0 ?

a ? f ?k ? ? 0



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表三: (根在区间上的分布)
分 布 情 况
两根都在 ? m , n ? 内 两根有且仅有一根在 ? m , n ? 内 一根在 ? m , n ? 内, 另一根在 ? p , q ?

(图象有两种情况,只画了一种) 内, m ? n ? p ? q

大 致 图 象 (
a ? 0



得 出 的 结 论

? ? ? 0 ? f ?m ? ? 0 ? ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ? n 2a ? ?

f ?m ? ? f ?n ? ? 0

? ? ? ? ? ? ?

f f f f

?m ? ? ?n? ? ? p? ? ?q? ?

0 0 0 0

或?

? f ? ? f ?

?m ? f ?n? ? 0 ? p? f ?q? ? 0

大 致 图 象 (
a ? 0



得 出 的 结 论

? ? ? 0 ? f ?m ? ? 0 ? ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ? n 2a ? ?

f ?m ? ? f ?n ? ? 0

? ? ? ? ? ? ?

f f f f

?m ? ? ?n? ? ? p? ? ?q? ?

0 0 0 0

或?

? f ? ? f ?

?m ? f ?n? ? 0 ? p? f ?q? ? 0

综 合 结 论 ( 不 讨 论
a

——————

f ?m ? ? f ?n ? ? 0

? f ?m ? f ?n ? ? 0 ? ? ? f ? p ? f ?q ? ? 0 ?


根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间 ? m , n ? 外,即在区间两侧 x1 ? m , x 2 ? n , (图形分别如下) 需满足的条件是

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(1) a ? 0 时, ?

? f ? ? f ?

?m ? ? ?n? ?

0 0



(2) a ? 0 时, ?

? f ? ? f ?

?m ? ? ?n? ?

0 0

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: (1)两根有且仅有一根在 ? m , n ? 内有以下特殊情况:
1?

若 f ?m ? ? 0 或 f ?n? ? 0 , 则此时 f ? m ? ? f ? n ? ? 0 不成立, 但对于这种情况是知道了方程有一根为 m 或 n ,
2

可以求出另外一根, 然后可以根据另一根在区间 ? m , n ? 内, 从而可以求出参数的值。 如方程 m x ? ? m ? 2 ? x ? 2 ? 0 在区间 ? 1, 3 ? 上有一根,因为 f ? 1 ? ? 0 ,所以 m x ? ? m ? 2 ? x ? 2 ? ? x ? 1 ? ? m x ? 2 ? ,另一根为
2

2 m

,由1 ?

2 m

? 3


2?

2 3

? m ? 2 即为所求;

方程有且只有一根,且这个根在区间 ? m , n ? 内,即 ? ? 0 ,此时由 ? ? 0 可以求出参数的值,然后再将参数

的值带入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区 间内,如若不在,舍去相应的参数。如方程
x ? 4 m x ? 2 m ? 6 ? 0 有 且 一 根 在 区 间 ? ? 3 , 0? 内 , 求 m 的 取 值 范 围 。 分 析 : ① 由 f
2

? ? 3 ? ? f ? 0? ?
3 2

0即

?1 4 m ? 1 5 ? ? m ? 3 ? ?

0 得出 ?3 ? m ? ?

15 14

;②由 ? ? 0 即 16m ? 4 ? 2m ? 6 ? ? 0 得出 m ? ?1 或 m ?
2

,当

m ? ? 1 时,根 x ? ? 2 ? ? ? 3, 0 ? ,即 m ? ? 1 满足题意;当 m ?

3 2

时,根 x ? 3 ? ? ? 3, 0 ? ,故 m ?

3 2

不满足题意;

综上分析,得出 ? 3 ? m ? ?

15 14

或 m ? ?1

根的分布练习题
例 1、已知二次方程 ? 2 m ? 1 ? x ? 2 m x ? ? m ? 1 ? ? 0 有一正根和一负根,求实数 m 的取值范围。
2

解:由 ? 2 m ? 1 ? ? f ? 0 ? ? 0 即

,从而得 ? ? 2 m ? 1? ? m ? 1 ? 0 ?

1 2

? m ? 1 即为所求的范围。

昆明市第十四中学数学组 李如方 E-mail: ecnulotus@126.com 例 2、已知方程 2 x ? ? m ? 1 ? x ? m ? 0 有两个不等正实根,求实数 m 的取值范围。
2

解:由
? ? 0 ? ? ? ? ? m ? 1? ? 0 ?? 2 ?2 ? f ?0? ? 0 ? ?
0 ? m ? 3?2

?

?? m ? 1? ? 8 m ? 0 ? ? m ? ?1 ? ? m ? 0 ?
2

? m ? 3 ? 2 2或 m ? 3 ? 2 ? ? m ? 0 ? ?

2

?

2 或 m ? 3 ? 2 2 即为所求的范围。

例 3、已知二次函数 y ? ? m ? 2 ? x ? ? 2 m ? 4 ? x ? ? 3 m ? 3 ? 与 x 轴有两个交点,一个大于 1,一个小于 1,求实
2

数 m 的取值范围。 解:由 ? m ? 2 ? ? f ? 1 ? ? 0 即 ? m ? 2 ? ?? 2 m ? 1 ? ? 0 ?
?2 ? m ? 1 2

即为所求的范围。

例 4、已知二次方程 m x ? ? 2 m ? 3 ? x ? 4 ? 0 只有一个正根且这个根小于 1,求实数 m 的取值范围。
2

解:由题意有方程在区间 ? 0,1 ? 上只有一个正根,则 f ? 0 ? ? f ? 1 ? ? 0 ? 求范围。

4 ?? 3 m ? 1 ? ? 0

?

m ? ?

1 3

即为所

(注: 本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在 ? 0,1 ? 内, ? ? 0 计算检验, 由 均不复合题意, 计算量稍大)

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2、二次函数在闭区间 ?m , n ? 上的最大、最小值问题探讨
设 f ? x ? ? ax
2

? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ?
b 2a

,则二次函数在闭区间 ?m , n ? 上的最大、最小值有如下的分布情况:
m ? ? b 2a ? n 即? b 2a ? ?m , n ? ? b 2a ? m ? n

m ? n ? ?

图 象

最 大 、 最 小 值

f ? x ? max ? f ? m ? f ? x ? min ? f ? n ?

f ? x ? max ? max

? f ? n ?, f ? m ??

f ? x ? max ? f ? n ? f ? x ? min ? f ? m ?

b ? ? f ? x ? min ? f ? ? ? ? 2a ?

对于开口向下的情况,讨论类似。其实无论开口向上还是向下,都只有以下两种结论: (1)若 ?
? ? ? ? b ? b ? ? ? ? ?m , n ? ,则 f ? x ? max ? max ? f ? m ?, f ? ? ? , f ? n ?? , f ? x ? min ? min ? f ? m ?, f ? ? ? , f ? n ?? ; 2a ? 2a ? ? 2a ? ? ? ? ?

b

(2)若 ?

b 2a

? ?m , n ? ,则 f ? x ? max ? max

? f ? m ?, f ? n ?? , f ? x ? min

? min

? f ? m ?, f ? n ??

另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离开 x 轴越远,则对应的函数值越大;反过来,当二次函数开 口向下时,自变量的取值离开 x 轴越远,则对应的函数值越小。

二次函数在闭区间上的最值练习
二次函数在闭区间上求最值,讨论的情况无非就是从三个方面入手:开口方向、对称轴以及闭区间,以下三 个例题各代表一种情况。 例 1、函数 f ? x ? ? a x ? 2 a x ? 2 ? b ? a ? 0 ? 在 ? 2, 3 ? 上有最大值 5 和最小值 2,求 a , b 的值。
2

解:对称轴 x 0 ? 1 ? ? 2 , 3 ? ,故函数 f ? x ? 在区间 ? 2, 3 ? 上单调。 (1)当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在区间 ? 2, 3 ? 上是增函数,故 ?
? f ? ? f ?

? x ? m ax ? x ? m in

? f ?3? ? f

?2?

?

?3a ? b ? 2 ? 5 ? ? ? 2?b ? 2 ? b?2 ? 5 ? ? ?3a ? b ? 2 ? 2

?a ?1 ; ? ?b ? 0 ?a ? ?1 ? ? b ? 3

(2)当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在区间 ? 2, 3 ? 上是减函数,故 ?

? f ? ? f ?

? x ? m ax ? x ? m in

? f ? f

?2? ?3?

?

昆明市第十四中学数学组 李如方 E-mail: ecnulotus@126.com 例 2、求函数 f ? x ? ? x ? 2 a x ? 1, x ? ?1, 3 ? 的最小值。
2

解:对称轴 x 0 ? a (1)当 a ? 1 时, y m in ? f ? 1 ? ? 2 ? 2 a ; (2)当 1 ? a ? 3 时, y m in ? f ? a ? ? 1 ? a ;
2

(3)当 a ? 3 时, y m in ? f ? 3 ? ? 1 0 ? 6 a

改:1.本题若修改为求函数的最大值,过程又如何? 解: (1)当 a ? 2 时, f ? x ? m ax ? f ? 3 ? ? 1 0 ? 6 a ; (2)当 a ? 2 时, f ? x ? m ax ? f ? 1 ? ? 2 ? 2 a 。 2.本题若修改为求函数的最值,讨论又该怎样进行? 解: (1)当 a ? 1 时, f ? x ? m ax ? f ? 3 ? ? 1 0 ? 6 a , f ? x ? m in ? f ? 1 ? ? 2 ? 2 a ; (2)当 1 ? a ? 2 时, f ? x ? m ax ? f ? 3 ? ? 1 0 ? 6 a , f ? x ? m in ? f ? a ? ? 1 ? a ;
2

(3)当 2 ? a ? 3 时, f ? x ? m ax ? f ? 1 ? ? 2 ? 2 a , f ? x ? m in ? f ? a ? ? 1 ? a ;
2

(4)当 a ? 3 时, f ? x ? m ax ? f ? 1 ? ? 2 ? 2 a , f ? x ? m in ? f ? 3 ? ? 1 0 ? 6 a 。
2 例 3、求函数 y ? x ? 4 x ? 3 在区间 ? t , t ? 1 ? 上的最小值。

解:对称轴 x 0 ? 2 (1)当 2 ? t 即 t ? 2 时, y m in ? f ? t ? ? t ? 4 t ? 3 ;
2

(2)当 t ? 2 ? t ? 1 即 1 ? t ? 2 时, y m in ? f ? 2 ? ? ? 1 ; (3)当 2 ? t ? 1 即 t ? 1 时, y m in ? f ? t ? 1 ? ? t ? 2 t
2

例 4、讨论函数 f ? x ? ? x ? x ? a ? 1 的最小值。
2

2 ? x ? x ? a ? 1, x ? a 解: f ? x ? ? x ? x ? a ? 1 ? ? 2 ,这个函数是一个分段函数,由于上下两段上的对称轴分别为 ? x ? x ? a ? 1, x ? a 2

直线 x ? ?

1 2

,x ?

1 2

,当 a ? ?

1 2

,?

1 2

? a ?

1 2

,a ?

1 2

时原函数的图象分别如下(1)(2)(3) , ,

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因此, (1)当 a ? ?
1 2

1 2

时, f ? x ? m in ? f ? ?
?
1 2

?

1? 3 ?? ?a; 2? 4
2

(2)当 ?

? a ? 1 2

时, f ? x ? m in ? f ? a ? ? a ? 1 ;
?1? 3 ?? ?a ?2? 4

(3)当 a ?

时, f ? x ? m in ? f ?

以上内容是自己研究整理,有什么错误的地方,欢迎各位指正,不胜感激!


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