湖北省黄冈市黄冈中学2017届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案.doc

黄冈中学 2017 届高三(上)理科数学期中考试
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

1.在等差数列 {an } 中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=(

)

A.58

B.88

C.143 )

D.176

2.等比数列 x,3x+3,6x+6,…的第四项等于(

A.-24 D.24

B.0

C.12

3.等比数列{an}中,a1>0,则“a1<a3”是“a3<a6”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

)

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.设 a,b 是两个非零的平面向量,下列说法正确的是( ①若 a· b=0,则有|a+b|=|a-b|; ②|a· b|=|a||b|; ③若存在实数 λ,使得 a=λb,则|a+b|=|a|+|b|; ④若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 a=λb. A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

)

5.已知 ?ABC 的三内角 A 、B 、C 所对边长分别为是 a 、b 、c , 设向量 m ? ? a ? b,sin C ? ,

??

? n?
A.

?

?? ? 3a ? c,sin B ? sin A ,若 m ? n ,则角 B 的大小为(

?

) D.

5? 6

B.

? 6

C.

2? 3

? 3

6.记等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 若 | a3 |?| a11 | ,且公差 d ? 0 ,则当 S n 取最大值时,n ? ( )

A.4 或 5 或8

B.5 或 6

C.6 或 7 D . 7

7.已知一个等比数列首项为 1,项数是偶数,其奇数项之和为 85,偶数项之和为 170,则这

个数列的项数为( A.2

) B.4 C.8 D.16

8.已知向量 a 是与单位向量 b 夹角为 60° 的任意向量,则对任意的正实数 t,|ta-b|的最小值 是( A.0 ) 1 B. 2 C. 3 2 D.1

9.已知函数 f(x)=cos x,x∈(0,2π)有两个不同的零点 x1,x2,且方程 f(x)=m 有两个不同的 实根 x3,x4,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数 m 的值为( 1 A. 2 B.- 1 2 C. 3 2 D.- 3 2 )

10.设 a1, a2,…,a50 是以-1,0,1 这三个整数中取值的数列,若 a1+a2+…+a50=9 且 (a1+1)2+(a2+1)2+…+(a50+1)2=107,则 a1,a2,…,a50 当中取零的项共有( A.11 个 B.12 个 C.15 个 D.25 个 )

→ → → 11.已知点 A(1, -1), B(4, 0), C(2, 2)平面区域 D 是由所有满足AP=λAB+μAC(1≤λ≤a, 1≤μ≤b) 的点 P(x,y)组成的区域,若区域 D 的面积为 8,则 4a+b 的最小值为( A.5 B.4 2 C.9 D.5+4 2 )

→ → → → → → → → → 12.在平面内,定点 A,B,C,D 满足|DA|=|DB|=|DC|,DA· DB=DB· DC=DC· DA=-2, → → → → 动点 P,M 满足|AP|=1,PM=MC,则|BM|2 的最大值是( 43 A. 4 49 B. 4 37+6 3 C. 4 ) 37+2 33 D. 4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 9 27 13.数列-1,1,- , ,…的一个通项公式为________. 5 7 1+an 14.已知数列{an}满足 a1=2,an+1= (n∈N*),则该数列的前 2 015 项的乘积 1-an a1· a2· a3·…·a2 015=________. 15.在等比数列{an}中,an>0(n∈N*),公比 q∈(0,1),且 a1a5+2a3a5+a2a8=25,又 a3 与 a5 S1 S2 Sn 的等比中项为 2,bn=log2an,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,则当 + +…+ 最大时,n 的 1 2 n 值等于________. 1 16.在△ ABC 中,D 为 BC 边上的中点,P0 是边 AB 上的一个定点,P0B= AB,且对于 AB 上 4

→ → → → 任一点 P,恒有PB· PC≥P0B· P0C,则下列结论中正确的是________(填上所有正确命题的序 号). → → → ①当 P 与 A,B 不重合时,PB+PC与PD共线; → → →2 →2 ②PB· PC=PD -DB ; → → ③存在点 P,使|PD|<|P0D|; → → ④P0C· AB=0; ⑤AC=BC. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10 分)等比数列{an}中,已知 a1=2,a4=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 a3,a5 分别为等差数列{bn}的第 4 项和第 16 项,试求数列{bn}的通项公式及前 n 项和 Sn. 3? 18.已知向量 a=? ?sin x,4?,b=(cos x,-1). π? (1)当 a∥b 时,求 tan? ?x-4?的值; π? (2)设函数 f(x)=2(a+b)b,当 x∈? ?0,2?时,求 f(x)的值域.

19.如图所示, 四边形 OABP 是平行四边形, 过点 P 的直线与射线 OA, OB 分别相交于点 M, → → → → N,若OM=xOA,ON=yOB. (1)把 y 用 x 表示出来(即求 y=f(x)的解析式); (2)设数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和 Sn 满足 Sn=f(Sn-1)(n≥2 且 n∈N*),求数列{an}的通 项公式.

20.(12 分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金 2000 万 元,将其投入生产,到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相 同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金 d 万元,并将剩余资金全部投入下一年 生产.设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元.

(1)用 d 表示 a1,a2,并写出 an+1 与 an 的关系式. (2)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4000 万元,试确定企业每年上缴资金 d 的值.(用 m 表示)

2 21.设数列{an}为等差数列,且 a5=14,a7=20,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,b1= 且 3Sn=Sn 3
-1

+2(n≥2,n∈N).

(1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若 cn=an· bn,n=1,2,3,…Tn 为数列{cn}的前 n 项和,Tn<m 对 n∈N*恒成立,求 m 的 最小值.

22. 已知 f ( x) ? ax ? 行.

b ? 2 ? 2 a ( a ? 0)的图像在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 y ? 2 x ? 1 平 x

(1)求 a,b 满足的关系式; (2)若 f ( x) ? 2ln x在[1,+?) 上恒成立,求 a 的取值范围; (3)证明: 1 ?

1 1 1 1 1 nn 2n 1) ? ??? ? ln( (2n ?? 1) ?? (n ? )∈N*) ( ?n 2n 3 5 2n ? 1 2 2 2n ?? 11

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

1.在等差数列 {an } 中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=(

)

A.58

B.88

C.143

D.176

11(a1+a11) 解:在等差数列{an}中,a4+a8=a1+a11=16,所以 S11= =11× 8=88.故选 B. 2

江西)等比数列 x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( 2.(2013·

)

A.-24

B.0

C.12 D.24

解:∵x,3x+3,6x+6 是等比数列的前三项,∴(3x+3)2=x(6x+6),解得 x=-1 或-3. 当 x=-1 时,数列前三项为-1,0,0,不构成等比数列;当 x=-3 时,数列前三项为-3, -6,-12,其公比 q=2,该数列第四项为-12× 2=-24.故选 A.

3.等比数列{an}中,a1>0,则“a1<a3”是“a3<a6”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

)

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解:设数列{an}的公比为 q,则 a1<a3? a1<a1q2? 1<q2? q<-1 或 q>1.又 a3<a6? a1q2< a1q5? 1<q3? q>1.而由 q>1 可推导出 q<-1 或 q>1,即 a3<a6?a1<a3;反之,q<-1 或 q>1 q>1,即由 a1<a3 a3<a6.故选 B. 4.设 a,b 是两个非零的平面向量,下列说法正确的是( ①若 a· b=0,则有|a+b|=|a-b|; ②|a· b|=|a||b|; ③若存在实数 λ,使得 a=λb,则|a+b|=|a|+|b|; ④若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 a=λb. )

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ B ①中利用平行四边形法则,可以得到以 a,b 为邻边的平行四边形为矩形,故|a+b|=|a -b|;②直接利用数量积公式,不正确;③中只有 a,b 同向时才成立;④|a+b|=|a|-|b|, 则 a,b 反向,故正确,故选 B. 5.已知 ?ABC 的三内角 A 、B 、C 所对边长分别为是 a 、b 、c , 设向量 m ? ? a ? b,sin C ? ,

??

? n?
A.

?

?? ? 3a ? c,sin B ? sin A ,若 m ? n ,则角 B 的大小为(

?

) D.

5? 6

B.

? 6

C.

2? 3

? 3

答案:A 解析:因为 m ? n ,所以 ? a ? b ?? sin B ? sin A? ? 上式可化为 ? a ? b ?? b ? a ? ?

?? ?

?

3a ? c sin C ,根据正弦定理,

?

?

3a ? c c , 所以

?

5? c 2 ? a 2 ? b2 3 所以 B ? . ?? ? cos B , 6 2ac 2

6.记等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 若 | a3 |?| a11 | ,且公差 d ? 0 ,则当 S n 取最大值时,n ? ( )

A.4 或 5 或8

B.5 或 6

C.6 或 7 D . 7

【答案】C 提示: a3 ? a11 ? 0 ? 2a7 ? 0

∴ a7 ? 0 ,∴S11→max

n=6 或 7

故选 C。

7.已知一个等比数列首项为 1,项数是偶数,其奇数项之和为 85,偶数项之和为 170,则这 个数列的项数为( A.2 ) B.4 C.8 D.16

170 解:设该等比数列的公比为 q,项数为 2n,则有 S 偶=q· S 奇,∴q= =2.又 S2n=S 偶+S 奇 85 a1(1-q2n) = =85+170=255,∴22n-1=255.∴2n=8.故这个数列的项数为 8.故选 C. 1-q

8.已知向量 a 是与单位向量 b 夹角为 60° 的任意向量,则对任意的正实数 t,|ta-b|的最小值 是( A.0 ) 1 B. 2 C. 3 2 D.1

C

1 2 3 3 t|a|- ? + ,所以|ta-b|的最小值是 ,故选 C.] [|ta-b|2=t2a2-t|a|+1=? 2? 4 ? 2

9.已知函数 f(x)=cos x,x∈(0,2π)有两个不同的零点 x1,x2,且方程 f(x)=m 有两个不同的 实根 x3,x4,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数 m 的值为( 1 A. 2 1 B.- 2 C. 3 2 D.- 3 2 )

D

3π π - 2 2 π 3π π [若 m>0,则公差 d= - =π,显然不成立,所以 m<0,则公差 d= = .所以 m= 2 2 3 3

π π? 3 + =- ,故选 D.] cos ? 2 3 ? ? 2 10.设 a1,a2,…,a50 是以-1,0,1 这三个整数中取值的数列,若 a1+a2+…+a50=9 且(a1 +1)2+(a2+1)2+…+(a50+1)2=107,则 a1,a2,…,a50 当中取零的项共有( A.11 个
2 2

)

B.12 个
2

C.15 个

D.25 个

A [(a1+1) +(a2+1) +…+(a50+1)

2 2 =a2 1 + a 2 + …+ a50 + 2(a1 + a2 +… + a50)+ 50 =107,

2 2 ∴a2 1+a2+…+a50=39,∴a1,a2,…,a50 中取零的项应为 50-39

=11(个),故选 A.] → 11.已知点 A(1, -1), B(4, 0), C(2, 2)平面区域 D 是由所有满足AP → → =λAB+μAC(1≤λ≤a,1≤μ≤b)的点 P(x,y)组成的区域,若区域 D 的 面积为 8,则 4a+b 的最小值为( A.5 C B.4 2 C.9 ) D.5+4 2

[如图,延长 AB 至点 N,延长 AC 至点 M,使得|AN|=a|AB|,|AM|=b|AC|,作 CH∥AN,

BF∥AM,NG∥AM,MG∥AN,则四边形 ABEC,ANGM,EHGF 均为平行四边形. 由题意知,点 P(x,y)组成的区域 D 为图中的阴影部分,即四边形 EHGF. → → → ∵AB=(3,1),AC=(1,3),BC=(-2,2), → → → ∴|AB|= 10,|AC|= 10,|BC|=2 2. 10+10-8 3 4 则 cos∠CAB= = ,sin∠CAB= . 5 2× 10× 10 5 4 ∴四边形 EHGF 的面积为(a-1) 10× (b-1) 10× =8. 5 1 1 ∴(a-1)(b-1)=1,即 + =1, a b 1 1? b 4a 故 4a+b=(4a+b)? ?a+b?=5+a+ b ≥5+2 b 4a · =9. a b

b 4a 3 当且仅当 = ,即 a= ,b=3 时,等号成立,故 4a+b 取得最小值为 9.] a b 2 → → → → → → → 12..(2016· 四川,10)在平面内,定点 A,B,C,D 满足|DA|=|DB|=|DC|,DA· DB=DB· DC= → → → → → → DC· DA=-2,动点 P,M 满足|AP|=1,PM=MC,则|BM|2 的最大值是( A. 43 4 B. 49 4 C. 37+6 3 4 )

37+2 33 D. 4 B → → → 由题意,|DA|=|DB|=|DC|,所以 D 到 A,B,C 三点的距离相

等,D 是△ ABC 的外心; → → → → → → → → → → → → → → → DA · DB = DB · DC = DC · DA = -2? DA · DB - DB · DC = DB · ( DA - DC ) = DB · CA = 0, 所 以 DB⊥AC, 同理可得,DA⊥BC,DC⊥AB,从而 D 是△ ABC 的垂心, → → → → ∴△ABC 的外心与垂心重合, 因此△ ABC 是正三角形, 且 D 是△ ABC 的中心.DA· DB=|DA||DB 1? → → → |cos∠ADB=|DA||DB|×? ?-2?=-2?|DA|=2, 所以正三角形 ABC 的边长为 2 3; 我们以 A 为原点建立直角坐标系,B,C,D 三点坐标分别为 B(3,- 3),C(3, 3),D(2,0), → → → 由|AP|=1,设 P 点的坐标为(cos θ,sin θ),其中 θ∈[0,2π),而PM=MC,即 M 是 PC 的中 点, 可以写出 M 的坐标为 M?

?3+cos θ 3+sin θ? ? 2 ? 2 , ?

π? 2 3 3+sin θ 2 37+12sin? ?θ-6? 37+12 49 → 2 ?cos θ-3? ? ? 则|BM| = ≤ = , ? = 4 4 4 ? 2 ? +? 2 ? ? 2 49 当 θ= π 时,| |2 取得最大值 .故选 B. 3 4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 9 27 13.数列-1,1,- , ,…的一个通项公式为________. 5 7 3n 1 3n 1 1 3 -1=- ,1= ,∴该数列的一个通项公式为(-1)n· .故填(-1)n· . 1 3 2n-1 2n-1
- -

1+an 14.已知数列{an}满足 a1=2,an+1= (n∈N*),则该数列的前 2 015 项的乘积 1-an

a1· a2· a3·…·a2 015=________. 3 [由题意可得,a2= 1+a1 1+a2 1+a3 1 1+a4 1 =-3,a3= =- ,a4= = ,a5= =2=a1,所 2 1-a1 1-a2 1-a3 3 1-a4

以{an}是以 4 为周期的数列,而 2015=4× 503+3,a1a2a3a4=1,则前 2 015 项的乘积为 1503· a1· a2· a3=3.] 15.在等比数列{an}中,an>0(n∈N*),公比 q∈(0,1),且 a1a5+2a3a5+a2a8=25,又 a3 与 a5 S1 S2 Sn 的等比中项为 2,bn=log2an,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,则当 + +…+ 最大时,n 的 1 2 n 值等于________.
2 8 或 9 解析:∵a1a5+2a3a5+a2a8=25,∴a2 3+2a3a5+a5=25,又 an>0,∴a3+a5=5,又

1 ?1?n-1=25-n, q∈(0,1),∴a3>a5,又 a3· a5=4,∴a3=4,a5=1,∴q= ,a1=16,an=16× ?2? 2 bn=log2an=5-n,bn+1-bn=-1,∴{bn}是以 b1=4 为首项,-1 为公差的等差数列,∴Sn n(9-n) Sn 9-n Sn Sn Sn = ,∴ = ,∴当 n≤8 时 >0;当 n=9 时, =0;当 n>9 时, <0,∴当 n=8 2 n 2 n n n S1 S2 S3 Sn 或 9 时, + + +…+ 最大. 1 2 3 n 1 16.在△ ABC 中,D 为 BC 边上的中点,P0 是边 AB 上的一个定点,P0B= AB,且对于 AB 上 4 → → → → 任一点 P,恒有PB· PC≥P0B· P0C,则下列结论中正确的是________(填上所有正确命题的序 号). → → → ①当 P 与 A,B 不重合时,PB+PC与PD共线; → → →2 →2 ②PB· PC=PD -DB ; → → ③存在点 P,使|PD|<|P0D|; → → ④P0C· AB=0; ⑤AC=BC. → → → → → → → → ①②⑤ [因为 D 为 BC 边的中点, 所以PB+PC=2PD, 所以①正确; PB· PC=(PD+DB)· (PD → → → → → → → → → → → +DC)=PD2-DB2,所以②正确;同理可得P0B· P0C=P0D2-DB2,由已知PB· PC≥P0B· P0C恒 → → → → 成立,得PD2≥P0D2,即|PD|≥|P0D|恒成立,所以故③错误;注意到 P0,D 是定点,所以 P0D → → 是点 D 与直线上各点距离的最小值,所以 P0D⊥AB,故P0D· AB=0,设 AB 中点为 O,则 CO∥P0D,所以④错误;再由 D 为 BC 的中点,易得 CO 为底边 AB 的中线,故△ ABC 是等

腰三角形,有 AC=BC,所以⑤正确.综上可知,①②⑤正确.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10 分)等比数列{an}中,已知 a1=2,a4=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 a3,a5 分别为等差数列{bn}的第 4 项和第 16 项,试求数列{bn}的通项公式及前 n 项和 Sn. 解:(1)设{an}的公比为 q, 由已知得 16=2q3,解得 q=2.所以 an=2n. (2)由(1)得 a3=8,a5=32,则 b4=8,b16=32.
?b1+3d=8, ? 设{bn}的公差为 d,则有? ?b1+15d=32, ?

?b1=2, ? 解得? ?d=2. ?

∴bn=b1+(n-1)d=2+(n-1)× 2=2n, 且数列{bn}的前 n 项和 n(n-1) n(n-1) Sn=nb1+ d=2n+ × 2=n2+n. 2 2 3? 18.已知向量 a=? ?sin x,4?,b=(cos x,-1). π? (1)当 a∥b 时,求 tan? ?x-4?的值; π? (2)设函数 f(x)=2(a+b)b,当 x∈? ?0,2?时,求 f(x)的值域.

3 - -1 4 π tan x - 1 3 3 ? 解 (1)∵a∥b,∴ cos x+sin x=0,∴tan x=- ,∴tan? =-7. ?x-4?=1+tan x= 4 4 3 1- 4 π? 3 π 5π ? π? π (2)f(x)=2(a+b)· b= 2sin? ?2x+4?+2,∵x∈?0,2?,4≤2x+4≤ 4 , 所以- π? 2 1 3 ?1 3 ? ≤sin? ?2x+4?≤1.∴2≤f(x)≤2+ 2,即函数 f(x)的值域为?2,2+ 2?. 2

19.如图所示, 四边形 OABP 是平行四边形, 过点 P 的直线与射线 OA, OB 分别相交于点 M, → → → → N,若OM=xOA,ON=yOB. (1)把 y 用 x 表示出来(即求 y=f(x)的解析式); (2)设数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和 Sn 满足 Sn=f(Sn-1)(n≥2 且 n∈N*),求数列{an}的通项 公式. → → → → 8.解 (1)∵OP=AB=OB-OA, → → → → → ∴MP=OP-OM=-(1+x)OA+OB, → → → → → → → ∵NM=OM-ON=xOA-yOB,NM∥MP, ∴x-y(1+x)=0,∴y= x (x>0). x+1 x (x>0). 1+x

即函数 y=f(x)的解析式为 f(x)= (2)当 n≥2 时,由 Sn=f(Sn-1)=

Sn-1 1 1 得 - =1, Sn-1+1 Sn Sn-1

?1? 1 1 又 S1=a1=1,所以数列?S ?是首项和公差都为 1 的等差数列,则 =n,即 Sn= . Sn n ? n?

1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= , n-n2 1,n=1, ? ? n=1 时,a1=1 不满足上式,故 an=? 1 2,n≥2. ? ?n-n

20.(12 分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金 2000 万 元,将其投入生产,到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相 同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金 d 万元,并将剩余资金全部投入下一年 生产.设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元.

(1)用 d 表示 a1,a2,并写出 an+1 与 an 的关系式. (2)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4000 万元,试确定企业每年上缴资金 d 的值.(用 m 表示)

解:(1)由题意得 a1=2000(1+50%)-d=3000-d, 3 5 a2=a1(1+50%)-d= a1-d=4500- d, 2 2 3 an+1=an(1+50%)-d= an-d. 2 3 (2)由(1)知 an= an-1-d(n≥2), 2 3 3 即 an-2d= (an-1-2d),∴{an-2d}是以 3000-3d 为首项, 为公比的等比数列, 2 2 n-1 ?3? 则 an=(3000-3d)· +2d. ?2? 3?m-1 由题意 am=? ?2? (3000-3d)+2d=4000,解得

??3?m-2?×1000 m m+1 ??2? ? 1000(3 -2 ) d= = . 3m-2m ?3?m-1 ?2?
m m 1000(3 -2 故该企业每年上缴资金 d 的值为 3m-2m
+1

)

时,经过 m(m≥3)年企业的剩余资金为 4000

万元. 2 21.设数列{an}为等差数列,且 a5=14,a7=20,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,b1= 且 3 3Sn=Sn-1+2(n≥2,n∈N). (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若 cn=an· bn,n=1,2,3,…Tn 为数列{cn}的前 n 项和,Tn<m 对 n∈N*恒成立,求 m 的 最小值.

1 解 (1) 数列{an}为等差数列,公差 d= (a7-a5)=3,易得 a1=2,所以 an=3n-1.由 3Sn= 2 Sn-1+2,得 3Sn=Sn-bn+2,即 bn=2-2Sn, 2 2 b2 1 所以 b2=2-2(b1+b2),又 b1= ,所以 b2= , = , 3 9 b1 3 由 3Sn=Sn-1+2,当 n≥3 时,得 3Sn-1=Sn-2+2, bn 1 两式相减得:3(Sn-Sn-1)=Sn-1-Sn-2,即 3bn=bn-1,所以 = (n≥3). bn-1 3 b2 1 2 1 1 又 = ,所以{bn}是以 b1= 为首项, 为公比的等比数列,于是 bn=2· n. b1 3 3 3 3 1 (2)cn=an· bn=2(3n-1)· n. 3 1 1 1 1 2· +5· 2+8· 3+…+(3n-1)· n? ∴Tn=2? 3 3 3? ? 3 1 1 1 1 1 +…+(3n-4)· n+(3n-1)· n+1? T =2?2· 2+5· 33 3 3 ? 3 n ? 3 1 1 1 1 1 2 +3· 2+3· 3+…+3· n-(3n-1)· n+1? 两式相减得 Tn=2?3· 3 3 3 3 ? 3 ? 3 7 7 1 n 所以 Tn= - · n- n-1 2 23 3 7 7 1 n 7 7 7 从而 Tn= - · n- n-1< ,∵Tn<m 对 n∈N*恒成立,∴m≥ ,∴m 的最小值是 . 2 23 3 2 2 2

22. 已知 f ( x) ? ax ? 行.

b ? 2 ? 2 a ( a ? 0)的图像在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 y ? 2 x ? 1 平 x

(1)求 a,b 满足的关系式; (2)若 f ( x) ? 2ln x在[1,+?) 上恒成立,求 a 的取值范围;

1 1 1 1 1 nn 2n 1) ? ??? ? ln( (2n ?? 1) ?? (n ? )∈N*) ( ?n 2n 3 5 2n ? 1 2 2 2n ?? 11 b 解: (Ⅰ) f ?( x) ? a ? 2 ,根据题意 f ?(1) ? a ? b ? 2 ,即 b ? a ? 2 . x a?2 ? 2 ? 2a , (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? ax ? x a?2 ? 2 ? 2a ? 2 ln x , x ??1, ??? 令 g ( x) ? f ( x) ? 2 ln x ? ax ? x 2?a a( x ? 1)(x ? ) a?2 2 a ? 则 g (1) ? 0 , g ?( x) ? a ? = x x2 x2 2?a ?1 , ①当 0 ? a ? 1 时, a
(3)证明: 1 ?

若1? x ?

2?a ,则 g ' ( x ) ? 0 , g ( x) 在 [1, ??) 减函数,所以 g ( x) ? g (1) ? 0 ,即 a

f ( x) ? 2 ln x在 [1, ??) 上恒不成立.
② a ? 1 时,

2?a ? 1 ,当 x ? 1 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 在 [1, ??) 增函数,又 g (1) ? 0 , a

所以 f ( x) ? 2ln x . 综上所述,所求 a 的取值范围是 [1, ??) . (Ⅲ) 由 (Ⅱ) 知当 a ? 1 时,f ( x) ? 2 ln x 在 ?1, ?? ? 上恒成立. 取a ? 1得 x ? 令x ? 即1 ?

1 ? 2 ln x x

2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 ? 1, n ? N * 得 ? ? 2 ln , 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

2 2 2n ? 1 ? (1 ? ) ? 2 ln 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 ,

所以

1 1 2n ? 1 1 1 1 ? ln ? ( ? ) 2n ? 1 2 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 3 5 1 1 n ? ln(2n ? 1) ? 2n ? 1 2 2n ? 1

上式中 n=1, 2, 3, …, n, 然后 n 个不等式相加得 1 ? ? ? … ?


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