【成才之路】2015-2016学年高中数学 3.2独立性检验的基本思想及其初步应用课时作业 新人教A版选修2-3

【成才之路】 2015-2016 学年高中数学 3.2 独立性检验的基本思想及 其初步应用课时作业 新人教 A 版选修 2-3

一、选择题 1. 在 2×2 列联表中, 两个比值________相差越大, 两个分类变量之间的关系越强( A. C. )

a c 与 a+b c+d a c 与 a+d b+c

B. D.

a c 与 c+d a+b a c 与 b+d a+c

[答案] A [解析]

a c 与 相差越大, 说明 ad 与 bc 相差越大, 两个分类变量之间的关系越强. a+b c+d
)

2.判断两个分类变量是彼此相关还是相互独立的常用方法中,最为精确的是( A.三维柱形图 C.等高条形图 [答案] D B.二维条形图 D.独立性检验

[解析] 前三种方法只能直观地看出两个分类变量 x 与 y 是否相关, 但看不出相关的程 度.独立性检验通过计算得出相关的可能性,较为准确. 3.(2014·洛阳市高二期中)若用独立性检验的方法,我们得到能有 99%的把握认为变 量 X 与 Y 有关系,则( A.K ≥2.706 C.K <2.706 [答案] B 4.假设有两个分类变量 X 与 Y,它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其 2×2 列 联表为:
2 2

) B.K ≥6.635 D.K <6.635
2 2

y1 x1 x2
总计

y2 b d b+d

总计

a c a+c

a+b c+d a+b+c+d
)

以下各组数据中,对于同一样本能说明 X 与 Y 有关系的可能性最大的一组为( A.a=5,b=4,c=3,d=2 C.a=2,b=3,c=4,d=5 [答案] D B.a=5,b=3,c=4,d=2 D.a=2,b=3,c=5,d=4

1

[解析] 比较|

a

a+b c+d



c

|.

5 3 2 选项 A 中,| - |= ; 9 5 45 5 4 1 选项 B 中,| - |= ; 8 6 24 2 4 2 选项 C 中,| - |= ; 5 9 45 2 5 7 选项 D 中,| - |= .故选 D. 5 9 45 5.某卫生机构对 366 人进行健康体检,其中某项检测指标阳性家族史者糖尿病发病的 有 16 人,不发病的有 93 人;阴性家族史者糖尿病发病的有 17 人,不发病的有 240 人,有 ________________的把握认为糖尿病患者与遗传有关系.( A.99.9% C.99% [答案] D [解析] 可以先作出如下列联表(单位:人): 糖尿病患者与遗传列联表 糖尿病发病 阳性家族史 阴性家族史 总计
2

)

B.99.5% D.97.5%

糖尿病不发病 93 240 333

总计 109 257 366

16 17 33

根据列联表中的数据,得到 K 的观测值为

k=

366×?16×240-17×93? ≈6.067>5.024. 109×257×33×333

2

故我们有 97.5%的把握认为糖尿病患者与遗传有关系. 6.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是(
2 2

)

①若 K 的观测值满足 K ≥6.635,我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病; ②从独立性检验可知有 99%的把握认为吸烟与患病有 关系时,我们说某人吸烟,那么他有 99%的可能患有肺病;③从统计量中得知有 95%的把握 认为吸烟与患肺病有关系,是指有 5%的可能性使得推断出现错误 A.① C.③ [答案] C [解析] ①推断在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病,说法错误,排除 A、B,③正 确.排除 D,选 C.
2

B.①③ D.②

二、填空题 7.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下 表: 专业性别 男 女 非统计专业 13 7 统计专业 10 20

为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,得到

K2=

50×?13×20-10×7? ≈4.844, 23×27×20×30
2

2

因为 K ≥3.841,所以判定主修统计专业与性别有关系,那么这种判断出错的可能性为 ________. [答案] 5% [解析] ∵k>3.841,所以有 95%的把握认为主修统计专业与性别有关,出错的可能性 为 5%. 8.吃零食是中学生中普遍存在的现象.吃零食对学生身体发育有诸多不利影响,影响 学生的健康成长.下表给出性别与吃零食的列联表 男 喜欢吃零食 不喜欢吃零食 合计 5 40 45 女 12 28 40 总计 17 68 85

试回答吃零食与性别有关系吗?(答有或没有)____________. [答案] 有

n?ad-bc? [解析] k= ?a+b??c+d??a+c??b+d?
= 85?140-480? 9826000 = ≈4.700>3.841. 17×68×45×40 2080800
2

2

故约有 95%的把握认为“吃零食与性别”有关. 9.调查者通过随机询问 72 名男女中学生喜欢文科还是理科,得到如下列联表(单位: 名): 性别与喜欢文科还是理科列联表 喜欢文科 男生 女生 总计 8 20 28 喜欢理科 28 16 44 总计 36 36 72

中学生的性别和喜欢文科还是理科________关系.(填“有”或“没有”)
3

[答案] 有 [ 解析 ] 通过计算 K 的观测值 k =
2

72×?16×8-28×20? ≈8.42>7.879.故我们有 36×36×44×28

2

99.5%的把握认为中学生的性别和喜欢文科还是理科有关系. 三、解答题 10. (2015·潍坊市五县高二期中)为调查某社区居民的业余生活状况, 研究这一社区居 民在 20?00-22?00 时间段的休闲方式与性别的关系, 随机调查了该社区 80 人, 得到下面 的数据表: 休闲方式 性别 男 女 合计 看电视 10 10 20 看书 50 10 60 合计 60 20 80

(1)根据以上数据, 能否有 99%的把握认为“在 20?00-22?00 时间段居民的休闲方式 与性别有关系”? (2)将此样本的频率作为总体的概率估计值,随机调查 3 名在该社区的男性,设调查的 3 人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量 X.求 X 的数学期望和方差. 附:

P(K2≥k) k
2

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

K2=

n?ad-bc? . ?a+b??c+d??a+c??b+d?

[解析] (1)根据样本提供的 2×2 列联表得 80×?10×10-10×50? K= ≈8.889>6.635; 60×20×20×60
2 2

所以有 99%的把握认为“在 20?00-22?00 时间段居民的休闲方式与性别有关”. 5 5 5 5 5 5 (2)由题意得,X~B(3, ),所以 E(X)=3× = ,D(X)=3× ×(1- )= . 6 6 2 6 6 12

一、选择题 11.下列说法: ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变; ^ ②设有一条直线的回归方程为y=3-5x, 变量 x 增加一个单位时, y 平均增加 5 个单位; ^ ^ ^ - - ③线性回归直线y=bx+a必过点( x , y );
4

④在一个 2×2 列联表中,由计算得 K =13.079,则有 99%的把握确认这两个变量间有 关系.其中错误的个数是( A.0 C.2 本题可以参考独立性检验临界值表: ) B.1 D.3

2

P(K2≥k0) k0 P(K2≥k0) k0
[答案] B

0.50 0.455 0.05 3.841

0.40 0.708 0.025 5.024

0.25 1.323 0.010 6.635

0.15 2.072 0.005 7.879

0.10 2.706 0.001 10.828

[解析] 一组数据都加上或减去同一个常数,数据的平均数有变化,方差不变(方差是 反映数据的波动程度的量),①正确;回归方程中 x 的系数具备直线斜率的功能,对于回归 ^ 方程y=3-5x,当 x 增加一个单位时,y 平均减少 5 个单位,②错误;由线性回归方程的定 ^ ^ ^ - - 2 义知,线性回归直线y=bx+a必过点( x , y ),③正确;因为 K =13.079>10.828,故有 99% 的把握确认这两个变量有关系,④正确,故选 B. 12.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 男 爱好 不爱好 总计 40 20 60 女 20 30 50 总计 60 50 110

n?ad-bc?2 由K= 算得, ?a+b??c+d??a+c??b+d?
2

K2=

110×?40×30-20×20? ≈7.8. 60×50×60×50

2

附表:

P(K2≥k) k
参照附表,得到的正确结论是(

0.050 3.841 )

0.010 6.635

0.001 10.828

A.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” D.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” [答案] A
5

[解析] 根据独立性检验的定义,由 K ≈7.8>6.635 可知,有 99%以上把握认为“爱好 该项运动与性别有关”. 13.某调查机构调查教师工作压力大小的情况,部分数据如表: 喜欢教师职业 认为工作压力大 认为工作压力不大 总计 53 12 65 不喜欢教师职业 34 1 35 总计 87 13 100 )

2

则推断“工作压力大与不喜欢教师职业有关系”, 这种推断犯错误的概率不超过( A.0.01 C.0.10 [答案] B B.0.05 D.0.005

n?ad-bc? 2 [解析] K = ?a+b??a+c??c+d??d+b?
100?53×1-12×34? = 87×13×65×35 ≈4.9>3.841, 因此,在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,认为工作压力大与不喜欢教师职业有关 系. 14.(2014·江西理,6)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变 量之间的关系,随机抽查 52 名中学生,得到统计数据如表 1 至表 4,则与性别有关联的可 能性最大的变量是( ) 表1 成绩 性别 男 女 总计 不及格 6 10 16 表2 及格 14 22 36 总计 20 32 52
2

2

视力 性别 男 女 总计

好 4 12 16

差 16 20 36

总计 20 32 52

6

表3

表4

智商 性别 男 女 总计

偏高 8 8 16

正常 12 24 36

总计 20 32 52

阅读量 性别 男 女 总计

丰富 14 2 16

不丰富 6 30 36

总计 20 32 52

A.成绩 C.智商 [答案] D

B.视力 D.阅读量

52×?6×22-10×14? 13 2 [解析] A 中,K = = ; 20×32×16×36 1440 52×?4×20-12×16? 637 2 B 中,K = = ; 20×32×16×36 360 52×?8×24-8×12? 13 C 中,K = = ; 20×32×16×36 10
2 2 2

2

52×?14×30-2×6? 3757 2 D 中,K = = . 20×32×16×36 160 因此阅读量与性别相关的可能性最大,所以选 D. 二、解答题 15. 打鼾不仅影响别人休息, 而且可能与患某种疾病有关. 下表是一次调查所得的数据, 试问:每一晚都打鼾与患心脏病有关吗? 患心脏病 每一晚都打鼾 不打鼾 合计 30 24 54 未患心脏病 224 1355 1579 合计 254 1379 1633

2

[解析] 假设每一晚都打鼾与患心脏病无关系,则有 a=30,b=224,c=24,d=1355,

a+b=254,c+d=1379,a+c=54,b+d=1579,n=1633.
7

n?ad-bc? 2 ∴K = ?a+b??c+d??a+c??b+d?
= 1633×?30×1355-224×24? =68.033. 254×1379×54×1579
2

2

∵68.033>10.828. ∴有 99%的把握说每一晚都打鼾与患心脏病有关. 16.(2015·唐山一中高二期末)某中学一名数学老师对全班 50 名学生某次考试成绩分 男女生进行了统计, 其中 120 分(含 120 分)以上为优秀, 绘制了如下的两个频率分布直方图:

(1)根据以上两个直方图完成下面的 2×2 列联表: 成绩 性别 男生 女生 总计 (2)根据(1)中表格的数据计算, 你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系? 优秀 不优秀 合计

k0 P(K ≥k0)
2

2.072 0.15

2.706 0.10

3.841 0.05

5.024 0.025

6.635 0.010

7.879 0.005

10.828 0.001

(3)若从成绩在[130,140]的学生中任取 2 人,求取到的 2 人中至少有 1 名女生的概率. [解析] (1) 成绩 性别 男生 女生 总计 (2)由(1)中表格的数据知, 优秀 13 7 20 不优秀 10 20 30 合计 23 27 50

K2=
2

50×?13×20-7×10? ≈4.844. 20×30×27×23

2

∵K ≈4.844>3.841,∴有 95%的把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系. (3)成绩在[130,140]的学生中男生有 50×0.008×10=4 人, 女生有 50×0.004×10=2 人,

8

从 6 名学生中任取 2 人,共有 C6=15 种选法,

2

若选取的都是男生,共有 C4=6 种选法; C4 3 故所求事件的概率 P=1- 2= . C6 5 17.(2015·东北三校二模)微信是现代生活进行信息交流的重要工具,对某城市年龄在 1 20 岁至 60 岁的微信用户进行有关调查发现,有 的用户平均每天使用微信时间不超过 1 小 3 时,其他人都在 1 小时以上;若将这些微信用户按年龄分成青年人(20 岁至 40 岁)和中年人 3 (40 岁至 60 岁)两个阶段,那么其中 是青年人;若规定:平均每天使用微信时间在 1 小时 4 2 以上为经常使用微信,经常使用微信的用户中有 是青年人. 3 (1)现对该市微信用户进行“经常使用微信与年龄关系”的调查,采用随机抽样的方法 选取容量为 180 的一个样本, 假设该样本有关数据与调查结果完全相同, 列出 2×2 列联表. 青年人 经常使用微信 不经常使用微信 合计 (2)由列表中的数据,是否有 99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”? (3)从该城市微信用户中任取 3 人,其中经常使用微信的中年人人数为 X,求出 X 的期 望. 中年人 合计
2

2

n?ad-bc? 2 附:K = . ?a+b??c+d??a+c??b+d? P(K2≥k) k
0.100 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.001 10.828

2

[解析] (1)由已知可得下面的 2×2 列联表: 青年人 经常使用微信 不经常使用微信 合计 (2)将列联表中数据代入公式可得: 80 55 135 中年人 40 5 45 合计 120 60 180

K2=

180?80×5-40×55? ≈13.333>10.828, 135×45×120×60

2

所以有 99.9%的把握认为经常使用微信与年龄有关.

9

40 2 (3)从该市微信用户中任取一人,取到经常使用微信的中年人的概率为 = , 180 9 2 2 ? 2? 依题意:X~B?3, ?,所以:E(X)=3× = . 9 9 3 ? ?

10


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