2015-2016学年高中数学 1.2.2排列(二)课件 新人教A版选修2-3_图文

1.2.2





( 二)

题型1 数字排列问题
例 1 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字可以组成多少个无重复的满足下列条件的数字? (1)六位奇数; (2)个位数字不是 5 的六位数; (3)不大于 4 310 的四位偶数.
分析:奇、偶数问题是选特殊位置:对个位进行限制,又因为“0”的存在,首位也是特 殊位置,因此“0”、首位和末位要同时考虑.正面情况较复杂时,可用间接法求解. 解析:(1)法一[从特殊位置入手(直接法)] 1 分三步完成.第一步:先填个位,有 A1 3种填法;第二步:再填十万位,有 A4种填法; 第三步:填其他位,有 A4 4种填法. 1 4 故共有 A1 3·A4·A4=288 个六位奇数. 法二[从特殊元素入手(直接法)] 1 0 不在两端有 A1 4种排法,从 1,3,5 中任选一个排在个位有 A3种排法,其他各位上用 1 1 4 剩下的元素作全排列有 A4 4种排法,故共有 A4·A3·A4=288 个六位奇数.

栏 目 链 接

法三(间接法) 5 6 个数字的全排列有 A6 6个,0,2,4 在个位上的排列数为 3A5个,1,3,5 在个位上,0 在十万位上的排列数有 3A4 4个,故对应的六位奇数的排列数为 5 4 A6 6-3A5-3A4=288(个). (2)法一(间接法) 0 在十万位和 5 在个位的排列都是不符合题意的六位数,这两类排列中都含有 0 在十万 位和 5 在个位的情况. 栏 故符合题意的六位数共有 目 6 5 4 链 A6-2A5+A4=504(个). 接 法二[直接法(个位不排 5 时,排 0 不排 0 分类计算)] 个位不排 5,有 A1 5种排法,但十万位数字的排法因个位上排 0 与不排 0 而有所不同, 因此需分两类. 第一类:当个位排 0 时,有 A5 5个. 1 4 第二类:当个位不排 0 时,有 A1 4·A4·A4个. 1 1 4 故符合题意的六位数共有 A5 5+A4·A4·A4=504(个).

(3)直接法. 1 2 ①当千位上排 1,3 时,有 A1 2·A3·A4个. 2 ②当千位上排 2 时,有 A1 2·A4个. 栏 1 1 ③当千位上排 4 时,形如 40××,42××的各有 A3 个,形如 41××的有 A1 2·A3个, 目 形如 43××的只有 4 310 和 4 302 这两个数,故共有 链 1 2 1 2 1 1 1 接 A1 2·A3·A4+A2·A4+2A3+A2·A3+2=110(个). 规律方法:(1)第一问中第一步若先填十万位,则个位上数字的填法与十万位上所填数 字是奇数还是偶数有关,故需分类,因此最好先填个位.(2)第二问中易忽视 0 不能排首位 5 而得 A1 5·A5=600 个的错误结论.

?变式训练 1.用 1,2,3,4,5,6 组成六位数(没有重复数字),要求任何相邻两个数字的奇偶性 不同,且 1,2 相邻,这样的六位数的个数是________.

解析:可分为三步来完成这件事: 第一步,先将 3,5 进行排列,并有 A2 2种排法; 第二步,再将 4,6 插空排列,共有 2A2 2种排法; 第三步,将 1,2 放入 3,5,4,6 形成的空中,共有 A1 5种排法. 2 1 由分步乘法计数原理得,共有 A2 22A2A5=40(种)不同的排法. 答案:40

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题型2 排列节目问题
例 2 某次文艺晚会上共演出 8 个节目,其中 2 个唱歌、3 个舞蹈、3 个曲艺节目,求 分别满足下列条件的节目编排方法有多少种? (1)一个唱歌节目开头,另一个放在最后压台; (2)2 个唱歌节目互不相邻; 栏 (3)2 个唱歌节目相邻且 3 个舞蹈节目不相邻. 目 链 6 2 6 接 解析:(1)先排唱歌节目有 A2 2种排法,再排其他节目有 A6种排法,所以共有 A2·A6=1 440(种)排法. (2)先排 3 个舞蹈节目和 3 个曲艺节目有 A6 6种排法,再从其中 7 个空(包括两端)中选 2 6 2 个排唱歌节目,有 A2 7种插入方法,所以共有 A6·A7=30 240(种)排法. (3)把 2 个相邻的唱歌节目看作一个元素,与 3 个 曲艺节目排列共 A4 4种排法,再将 3 2 个舞蹈节目插入,共有 A3 5种插入方法,最后将 2 个唱歌节目互换位置,有 A2种排法,故所 3 2 求排法共有 A4 4·A5·A2=2 880(种)排法.

规律方法:(1)某些元素要求不相邻时,可以先安排其他元素,再将这些不相邻元素插 入空位,这种方法称为“插空法”,即“不相邻元素插空法”. (2)对于某些元素“相邻”的排列问题,一般采用“捆绑法” ,即先把相邻的若干个元素 “捆绑”为一个大元素与其余元素全排列,然后再松绑,将这若干个元素内部全排列.

?变式训练 2.某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果 将这两个新节目插入原节目单中, 若: ①两个新节目不相邻, 那么不同插法的种数为______; ②两个新节目可以相邻,也可以不相邻,那么不同插法的种数为______.

解析:①因为两个新节目不相邻,且 5 个节目已排成节目单,所以,新增加的两个新节 目只需插入到原 5 个节目之间的空隙(包括两端的两个空位)共 6 个位置上,所以,不同的插 法有 A2 6=30 种. ②分两类: 第一类是两个新节目不相邻, 有 A2 第二类是两个新节目相邻, 6=30 种方法; 有 6A2 2=12 种,所以,共有不同插法有 30+12=42 种. 答案:30 种 42 种

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题型3 排队问题
例 3 3 名男生、4 名女生按照不同的要求排队,求不同的排队方案的方法种数. (1)选 5 名同学排成一行; (2)全体站成一排,其中甲只能在中间或两端; (3)全体站成一排,其中甲、乙必须在两端; (4)全体站成一排,其中甲不在最左端,乙不在最右端; (5)全体站成一排,男、女各站在一起; (6)全体站成一排,男生必须排在一起; (7)全体站成一排,男生不能排在一起; (8)全体站成一排,男、女生各不相邻; (9)全体站成一排,甲、乙中间必须有 2 人; (10)全体站成一排,甲必须在乙的右边; (11)全体站成一排,甲、乙、丙三人自左向右顺序不变; (12)排成前后两排,前排 3 人,后排 4 人.

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分析:先分析清楚是无限制条件的排列问题,还是有限制条件的排列问题.若是无限制 条件的排列问题,直接利用排列数公式计算;若是有限制条件的排列问题,则要搞清楚限制 条件是对元素还是对位置要求的,再选择是用直接法还是间接法计算. 解析:(1)无限制条件的排列问题,只要从 7 名同学中任选 5 名排列,即可得共有 N= A5 7=7×6×5×4×3=2 520(种). 1 (2)(直接分步法)先考虑甲, 有 A1 再考虑其余 6 人全排, 故 N=A3 · A6 3种方案, 6=2 160(种). 栏 2 2 5 (3)(直接分步法)先安排甲、乙,有 A2种方案,再安排其余 5 人全排,故 N=A2·A5= 目 链 240(种). 接 (4)法一(直接分类法) 按甲是否在最右端分两类. 第一类:甲在最右端时,有 N1=A6 6, 1 5 第二类:甲不在最右端时,甲有 A1 5个位置可选,而乙只有 A5个位置,而其余全排 A5, 1 5 6 1 1 5 ∴N2=A1 5·A5·A5,故 N=N1+N2=A6+A5·A5·A5=3 720(种).

法二(间接法) 6 无限制条件的排列数共有 A7 7,而甲(或乙)在左端(或右端)的排法有 A6,且甲在左端同时 乙在右端的排法有 A5 5, 7 5 故 N=A7 -2A6 6+A5=3 720(种). 3 (5)(相邻问题用捆绑法)男生必须站在一起,是男生的全排列,有 A3 种排法;女生必须 站在一起, 是女生的全排列, 有 A4 全体男生、 女生各视为一个元素, 有 A2 由 4种排法; 2种排法. 4 2 分步计数原理知,共有 A3 3·A4·A2=288(种). (6)(捆绑法)把所有男生视为一个元素,与 4 名女生组成 5 个元素全排,故 5 N=A3 3·A5=720(种). 4 (7)(不相邻问题用插空法)先排女生共 A4 种排法,男生在 4 个女生隔成的五个空隙中安 排,有 A3 5种排法,故 3 N=A4 4·A5=1 440(种). (8)对比(7),让女生插空: 4 N=A3 3·A4=144(种). (9)(捆绑法)任取 2 人与甲、乙组成一个整体,与余下 3 个元素全排,故 2 4 N=(A2 A4 =960(种). 5·A2)·

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(10)甲与乙之间的左右关系各占一半,故 A7 7 N= 2=2 520(种). A2 1 A7 7 (11)甲、 乙、 丙自左向右顺序保持不变, 即为所有甲、 乙、 丙排列的 3, ∴N= 3=840(种). A3 A3
3 (12)直接分步完成,共有 A7 ·A4 4=5 040(种). 规律方法:(1)对于有限制条件的排列问题,先考虑安排好特殊元素(或位置),再安排一栏 目 般的元素(或位置),即先特殊后一般,此方法一般是直接分步法;或按特殊元素当选情况(或链 特殊位置由哪个元素占)分类,再安排一般的元素(或位置),即先分类后分步,此方法一般是接 直接分类法;也可以先不考虑特殊元素(或位置),而列出所有元素的全排列数,从中再减去 不满足特殊元素(或位置)要求的排列数,即先全体后排除,此方法一般是间接法(排除法). (2)特别地,关于某些元素“相邻”、“不相邻”或“定序”的问题,应遵循“先整体, 后局部”的原则. 元素相邻问题, 一般用“捆绑法”; 不相邻问题, 一般用“插空法”; “定

An n 序”问题,一般用排除法:N= m. Am

?变式训练 3.(2013· 陕西宝鸡中学高二期末)记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照,要 求排成一排,2 位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有(B) A.1440 种 B.960 种 C.720 种 D.480 种 解析:先将 5 名志愿者排好,有 A5 5种排法,2 位老人只能排在 5 名志愿者之间的 4 个 空隙中,先将 2 位老人排好,有 A2 2种排法,再把它作为一个元素插入空隙中,有 4 种插法. 5 ∴共有不同排法,4A2 2A5=960 种.

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