【志鸿优化设计】高考数学(人教版,文科)一轮总复习精品课件第八章解析几何 8.3 圆的方程(共25张PPT)_图文

8.3 圆的方程 -2- 1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程. 2.初步了解用代数方法处理几何问题. -3- 1.圆的定义 在平面内,到 圆. 确定一个圆最基本的要素是 2.圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中 定点 的距离等于 定长 的点的 集合 叫做 圆心 和 半径 . (a,b) 为圆心, r 为半径长. 2 2 2 特别地,当圆心在原点时,圆的方程为 x +y =r . -4- 3.圆的一般方程 对于方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0, (1)当 1 2 D2+E2-4F>0 时,表示圆心为 - 2 ,- 2 ,半径长为 D2+E2-4F=0 时,表示一个点 - 2 ,- 2 ; 2 2 2 + 2 -4F的圆; (2)当 (3)当 D +E -4F<0 时,它不表示任何图形; (4)二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是 ① A=C≠0 , ② B=0 , ③ 2 + 2 -4AF > 0 . -5- 想一想 A=B≠0 是方程 Ax2+By2+Dxy+Ex+Fy+H=0 表示圆的 什么条件? 答案:必要不充分条件. 4.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),点 M(x0,y0), (x0-a)2+(y0-b)2=r2 ; 2 2 2 (2)点在圆外: (x0-a) +(y0-b) >r ; 2 2 2 (3)点在圆内: (x0-a) +(y0-b) <r . (1)点在圆上: -6基础自测 1.方程 x2+y2+4mx-2y+5m=0 表示圆的充要条件是(D) A. <m<1 C.m<4 1 1 4 B.m>1 D.m<4或 m>1 1 解析:方程 x2+y2+4mx-2y+5m=0 表示圆的充要条件是 (4m)2+(-2)2-4×5m>0,即 m< 或 m>1. 1 4 -7- 2.圆心在 y 轴上,半径为 1 且过点(-1,2)的圆的方程为(B) A.x2+(y-3)2=1 B.x2+(y-2)2=1 C.(x-2)2+y2=1 D.(x+2)2+y2=1 解析:设圆心(0,b),半径为 r,则 r=1.∴ x2+(y-b)2=1.又圆过点(-1,2),代入得 b=2,∴ 圆的方程为 x2+(y-2)2=1. -8- 3.方程|x|-1= 1-(-1)2 所表示的曲线是(D) A.一个圆 C.半个圆 解析:由题意得 B.两个圆 D.两个半圆 (||-1)2 + (y-1)2 = 1, ||-1 ≥ 0. 2 2 ( 1 ) + ( y 1 ) = 1, 即 ≥ 1 ( + 1)2 + (y-1)2 = 1, 或 ≤ -1. 故原方程表示两个半圆. -9- 4.圆心在原点且与直线 x+y-2=0 相切的圆的方程为 解析:设圆的方程为 x2+y2=a2(a>0), 由 |-2| =a,∴ a= 1+1 x2+y2=2 . 2.∴ x2+y2=2. -10- 5.圆 C:x2+y2-2x-4y+4=0 的圆心到直线 3x+4y+4=0 的距离 d= 解析:圆 C:x2+y2-2x-4y+4=0 的圆心为 C(1,2), |3×1+4×2+4| 15 所以圆心 C 到直线的距离为 = =3. 32 +42 5 3 . -11考点一 求圆的方程 【例 1】圆心在 y 轴上且过点(3,1)的圆与 x 轴相切,则该圆的方程是(B) A.x2+y2+10y=0 B.x2+y2-10y=0 C.x2+y2+10x=0 D.x2+y2-10x=0 解析:设圆心为(0,b),半径为 R,则 R=|b|,∴ 圆的方程为 x2+(y-b)2=b2.∵ 点 (3,1)在圆上,∴ 9+(1-b)2=b2,解得 b=5.∴ 圆的方程为 x2+y2-10y=0. 方法提炼 常见的求圆的方程的方法有两种:一是利用圆的几何特征,求出圆心坐 标和半径长,写出圆的标准方程;二是利用待定系数法,它的应用关键是根据 已知条件选择标准方程还是一般方程.如果给定的条件易求圆心坐标和半径 长,则选用标准方程求解;如果所给条件与圆心、半径关系不密切或涉及圆 上多点,常选用一般方程求解. 考点一 考点二 考点三 误区警示 -12- 举一反三 1 已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为(B) A.(x+1)2+(y-1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 |-(-)| B.(x-1)2+(y+1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 |-(-)-4| , 2 解析:设圆心坐标为(a,-a),则 2 = 即|a|=|a-2|,解得 a=1, 2 故圆心坐标为(1,-1),半径 r= = 2, 2 2 2 故圆的方程为(x-1) +(y+1) =2. 考点一 考点二 考点三 误区警示 -13考点二 与圆有关的最值问题 【例 2】已知实数 x,y 满足方程 x2+y2-4x+1=0.则 y-x 的最大值为 -2+ 6 ;x2+y2 的最小值为 7-4 3 . 解析:圆的标准方程为(x-2)2+y2=3.(1)y-x 可看作是直线 y=x+b 在 y 轴 上的截距,当直线 y=x+b 与圆相切时,纵截距 b 取得最大值或最小值,此时 |2-0+| 2 = 3,解得 b=-2± 6.所以 y-x 的最大值为-2+ 6. (2)x2+y2 表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,原点 与圆心的连线上,与圆的两个交点处分别取得最大值和最小值. 又圆心到原点的距离为 (2-0)2 + (0-0)2 =2,所以 x2+y2 的最小值是(23)2=7-4 3. 考点一 考点二

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