高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义:第一章 1.3 第二课时 诱导公式(二) Word版含答案

第二课时 诱导公式(二) 预习课本 P26~27,思考并完成以下问题 π (1) -α 的终边与 α 的终边有怎样的对称关系? 2 (2)诱导公式五、六有哪些结构特征? [新知初探] 诱导公式五和公式六 [点睛] 这两组公式实现正弦和余弦的相互转化. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)诱导公式五、六中的角 α 只能是锐角.( (2)sin(90°+α)=-cos α.( 答案:(1)× (2)× ) 1 5 ) ) 5π ? 1 2.已知 sin? ? 2 +α?=5,那么 cos α=( A.- C. 1 5 2 5 B.- D. 2 5 答案:C π ? 1 ?π ? 3.若 cos? ?2-α?=2,则 cos?2+α?=( A.- C.- 1 2 3 2 B. 1 2 3 2 ) D. 答案:A 3π ? 4.化简:sin? ? 2 +α?=________. 答案:-cos α 利用诱导公式化简 [典例] 化简: π π +α?cos? -α? sin? ?2 ? ? 2 ? cos?π+α? π ? sin?π-α?cos? ?2 +α? + . sin?π+α? π ? ?π ? [解] ∵sin? ?2+α?=cos α,cos?2-α?=sin α, cos(π+α)=-cos α,sin(π-α)=sin α, π ? cos? ?2+α?=-sin α,sin(π+α)=-sin α, ?-sin α? cos α· sin α sin α· ∴原式= + =-sin α+sin α=0. -cos α -sin α 用诱导公式进行化简的要求 (1)化简后项数尽可能的少. (2)函数的种类尽可能的少. (3)分母不含三角函数的符号. (4)能求值的一定要求值. (5)含有较高次数的三角函数式,多用因式分解、约分等. [活学活用] cos?α-π? π π α- ?cos? +α?; 化简:(1) · sin? ? 2? ?2 ? sin?π-α? π? ?3π ? (2)sin(-α-5π)cos? ?α-2?-sin? 2 +α?cos(α-2π). cos[-?π-α?] ?π ?? 解:(1)原式= · sin? ?-?2-α??(-sin α) sin α = = cos?π-α? ? π ?? ·-sin? ?2-α??(-sin α) sin α ? -cos α · (-cos α)(-sin α) sin α =-cos2α. ?π ?? (2)原式=sin(-α-π)cos? ?-?2-α??+cos α· cos[-(2π-α)] π ? =sin[-(α+π)]cos? ?2-α?+cos αcos(2π-α) =-sin(α+π)sin α+cos αcos α =sin2α+cos2α =1. 利用诱导公式证明恒等式 3π? ? π? 2sin? ?θ- 2 ?cos?θ+2 ?-1 [典例] 求证: 1-2sin2?π+θ? = tan?9π+θ?+1 . tan?π+θ?-1 3π ? ?-sin θ?-1 -2sin? ? 2 -θ?· [证明] 左边= 1-2sin2θ = ?π ?? 2sin? ?π+?2-θ??sin θ-1 1-2sin2θ π ? -2sin? ?2-θ?sin θ-1 1-2sin2θ -2cos θsin θ-1 cos2θ+sin2θ-2sin2θ ?sin θ+cos θ?2 sin θ+cos θ = . sin2θ-cos2θ sin θ-cos θ = = = tan θ+1 sin θ+cos θ 右边= = . tan θ-1 sin θ-cos θ ∴左边=右边,故原式成立. 三角恒等式的证明策略 对于恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也 可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公 式变形法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法. [活学活用] 求证: · sin(α-2π)·cos(2π-α)=sin2α. 5π ? sin? ? 2 +α? π ? cos? ?2-α? 证明:左边= · [-sin(2π-α)]cos α= π +α? sin? ?2 ? sin α sin α [-(-sin α)]cos α= · sin α· cos α=sin2α=右边,故原式成立. cos α cos α π? cos? ?α- 2? 利用诱导公式求值 cos?π-θ? cos?2π-θ? 5 [典例] 已知 = ,求 的值. ?3π-θ?-1? 8 ?π+θ?-sin?3π+θ? cos θ? sin cos ? π + θ ? sin ? ?2 ? ? ?2 ? ?2 ? [解] ∵ cos?π-θ? -cos θ = 3π cos θ ? -cos θ-1? ? ? ? cos θ? ?sin? 2 -θ?-1? = 1 5 = , 1+cos θ 8 3 ∴cos θ= . 5 ∴ cos?2π-θ? π ? ?3π ? cos?π+θ?sin? ?2+θ?-sin? 2 +θ? cos θ -cos θcos θ+cos θ 1 1 5 = = . 3 2 1-cos θ 1- 5 = = 用诱导公式化简求值的方法 (1)对于三角函数式的化简求值问题,一般遵循诱导公式先行的原则,即先用诱导公式 化简变形,达到角的统一,再进行切化弦,以保证三角函数名最少. π (2)对于 π±α 和 ± α 这两套诱导公式,切记运用前一套公式不变名,而运用后一套公式 2 必须变名. [活学活用] 1 已知 cos(75°+α)= ,求 cos(105°-α)-sin(15°-α)的值. 3 解:cos(105°-α)

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