2017-2018学年湘教版数学选修2-2配套课件:5-3复数的四则运算含答案

高中数学· 选修2-2· 湘教版 5.3 复数的四则运算 [学习目标] 1.掌握复数代数形式的四则运算. 2.会在复数范围内解方程. [知识链接] 如何在复数范围内解方程x2=-1? 答 设x=a+bi(a,b∈R)是方程x2=-1的复数根. 2 2 ? a - b =-1, ? 2 2 2 则(a+bi) =-1?(a -b )+2abi=-1?? ? ?2ab=0, ? ?a=0, 解得? ? ?b=1 ? ?a=0, 或? ? ?b=-1. 故方程x2=-1的两个复数根为± i. [预习导引] 复数的四则运算 一般地,对任意两个复数a+bi,c+di(a, b,c,d∈R),有 (a+c) + d)i (c + di) (1) 加 法 : (a + b i)(b+ + (; a-c)+(b-d)i = (2) 减 法 : (a + bi) - (c + di) = ; (3) 乘 法 : (ac (- a bd)+ + (ad+ b bc i)( )i c + di) = . 即两个复数 a + bi , c + di(a , b , c , d∈R) 的 加、减、乘运算,可以先看作以 i为字母的实 实部和虚部 系数多项式的相应运算来进行,再将 i2 =-1 代入,将 分别合并,就得到最后 的结果. (4)除法:当c+di≠0时, a+bi ?a+bi??c-di? (a+bi)÷ (c+di)= = c+di ?c+di??c-di? ac+bd -ad+bc = 2 2+ 2 2 i. c +d c +d 即两个复数相除的本质—— 分母实数化 . 要点一 复数的加减运算 例1 计算(1)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]; (2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R). 解 (1)5i-[(3+4i)-(-1+3i)] =5i-(4+i)=-4+4i. (2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+[b- (-3b)-3]i =-a+(4b-3)i. 规律方法 (1)类比实数运算,若有括号,先 计算括号内的,若没有括号,可从左到右依 次进行. (2)算式中出现字母,首先要确定其是否为实 数,再确定复数的实部和虚部,最后实部、 虚部分别相加减. 跟踪演练 1 (1) 若 z - (1 + i) = 1 + i ,则 z = ________. (2) 计 算 (1 + 2i) + (3 - 4i) - (5 + 6i) = ________. 答案 (1)2+2i (2)-1-8i 解析 (1)∵z-(1+i)=1+i, ∴z=(1+i)+(1+i)=2+2i. (2)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i) =(1+3-5)+(2-4-6)i=-1-8i. 要点二 复数的乘除运算 例2 (1)设复数z1=1+i,z2=x+2i,若z1z2∈R,则实数x等于 ( A.-2 B.-1 C .1 D.2 ) (2)复数(1+2i)÷ (3-i9)的值是________. 1 7 答案 (1)A (2) + i 10 10 解析 (1)z1z2=(1+i)(x+2i)=x+2i+xi+2i2 =(x-2)+(x+2)i.因为z1z2∈R, ∴x+2=0,∴x=-2. 1+2i 1+2i 1+2i (2)原式= = = 3-i9 3-i8· i 3-i ?1+2i??3+i? 3+i+6i+2i2 1+7i 1 7 = = = 10 =10+10i. 10 ?3-i??3+i? 规律方法 (1)复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须 在所得的结果中把i2换成-1,并把实部与虚部分别合并.两 个复数的乘积是一个确定的复数. (2)在进行复数的除法时,通常先把(a+bi)÷ (c+di)(a,b,c,d a+bi ∈R,c+di≠0)写成 的形式,再把分子与分母同乘以分母 c+di 的共轭复数c-di,化简,即得结果.这与作根式除法时的变 形是很类似的(分母有理化),复数相除是使分母“实数化”. 跟踪演练 2 计 算 (4 - i5)(6 + 2i7) + (7 + i11)(4 -3i). 解 原式=2(4-i)(3-i)+(7-i)(4-3i) =2(12-4i-3i+i2)+(28-21i-4i+3i2) =2(11-7i)+(25-25i) =47-39i. 要点三 在复数范围内求解实系数一元二次 方程问题 例3 求满足下列条件的复数z: (1)z2=-7-24i; (2)(3-i)z=4+2i. 解 (1)设z=x+yi(x,y∈R),依题意得: 2 2 ? x - y =-7, ? 2 2 x -y +2xyi=-7-24i,? ? ?2xy=-24, ? ?x=3, 解得? ? ?y=-4 ? ?x=-3, 或? ? ?y=4, 则 z=3-4i或z=-3+4i. (2)设z=x+yi(x,y∈R),依题意得: ? ?3x+y=4, 3x+y+(-x+3y)i=4+2i,? ? ?-x+3y=2, ? ?x=1, 解得? ? ?y=1, 则z=1+i. 规律方法 求复数方程的实系数问题应特别 注意利用复数相等的充要条件. 跟踪演练3 求3+4i的平方根. 解 设3+4i的平方根是复数z=x+yi(x,y∈R),即z2=3+ 4i, ∴(x+yi)2=3+4i, x2-y2+2xyi=3+4i, 2 2 ? ?x -y =3, 依据复数相等的充要条件可得? ? ?2xy=4, ? ?x=2, 解得? ? ?y=1 ? ?x=-2 或? ? ?y=-1. ∴z=2+i或z=-2-i, 即3+4i的平方根是2+i或-2-i. 再见

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