高一数学人教B版必修1课后强化作业:2.1.4 第2课时《函数的奇偶性的应用》

第二章

2.1.4

第 2 课时

一、选择题 1.奇函数 y=f(x)(x∈R)的图象必定过点( A.(a, f(-a)) C.(-a, -f(a)) [答案] [解析] C ∵点(a,f(a))在函数 y=f(x)的图象上, ) B.(-a, f(a)) 1? D.? ?a, f?a??

又∵函数 y=f(x)是奇函数, ∴其图象关于原点对称, 故点(-a,-f(a))也在函数 y=f(x)的图象上. 2.定义在 R 上的偶函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,则( A.f(3)>f(-4)<f(-π) B.f(-π)<f(-4)<f(3) C.f(3)<f(-π)<f(-4) D.f(4)<f(-π)<f(3) [答案] [解析] C ∵f(x)在 R 上是偶函数, )

∴f(-π)=f(π),f(-4)=f(4). 而 3<π<4,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴f(3)<f(π)<f(4), 即 f(3)<f(-π)<f(-4). 3.(2013~2014 学年度湖南师大附中高一月考)已知 f(x)=x7+ax5+bx-5,且 f(-3)=5,则 f(3)=( ) B.15 D.-10 A 本题主要考查利用函数的奇偶性求函数值. 设 g(x)=x7+ax5+bx, 则 g(x)为奇函数,

A.-15 C.10 [答案] [解析]

∵f(-3)=g(-3)-5=-g(3)-5=5, ∴g(3)=-10, ∴f(3)=g(3)-5=-15,故选 A. 4.若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且 f(2)=0,则使得 f(x)<0

的 x 的取值范围是( A.(-∞,2) B.(2,+∞)

)

C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,2) [答案] [解析] D f(x)的对称轴是 y 轴,f(x)是(-∞,0]上的减函数,

则 f(x)在[0,+∞)上是增函数,且 f(-2)=f(2)=0.如图所示,使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是(-2,2),D 选项 是正确的. 5.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,则下列函数中是奇函数的是( A.y=f(|x|) C.y=x· f(x) [答案] [解析] D ∵f(x)的定义域为 R,又∵f(|-x|)=f(|x|),∴A 是偶函数;令 F(x)=f(x2),则 F(-x) B.y=f(x ) D.y=f(x)+x
2

)

=f(x2)=F(x), ∴F(x)是偶函数,即 B 是偶函数; 令 M(x)=x· f(x),则 M(-x)=-x· f(-x)=x· f(x)=M(x), ∴M(x)是偶函数,即 C 是偶函数; 令 N(x)=f(x)+x, 则 N(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-[f(x)+x]=-N(x), ∴N(x)是奇函数,即 D 是奇函数,故选 D. 1 6.函数 f(x)= -x 的图象关于( x A.y 轴对称 C.坐标原点对称 [答案] [解析] C 1 ∵f(x)= -x,函数 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), x ) B.直线 y=-x 对称 D.直线 y=x 对称

1 1 ∴f(-x)=- +x=-( -x)=-f(x), x x ∴f(x)为奇函数,∴f(x)的图象关于原点对称,故选 C. 二、填空题 7.函数 f(x)=x(ax+1)在 R 上是奇函数,则 a=________. [答案] [解析] 0 由奇函数定义知 f(-x)=-f(x),

∴-x(-ax+1)=-x(ax+1),

∴2ax2=0,x∈R 恒成立,∴a=0. 8.(2013~2014 学年度宝鸡中学高一上学期期中测试)已知 f(x)=x5+ax3+bx-8,若 f(2)= 10,则 f(2)=________. [答案] [解析] -26 ∵f(x)=x5+ax3+bx-8,

∴f(-2)=(-2)5+a(-2)3-2b-8 =-25-8a-2b-8=-(25+8a+2b)-8=10, ∴25+8a+2b=-18, ∴f(2)=25+23a+2b-8=25+8a+2b-8=-18-8=-26. 三、解答题 9.已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)+g(x)= [解析] ∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, 1 ,求函数 f(x)、g(x)的解析式. x-1

∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), 1 ∵f(x)+g(x)= x- 1 ①, 1 , - x-1

用-x 代换 x 得 f(-x)+g(-x)= 即 f(x)-g(x)= 1 ②. -x-1 1 ; x 2- 1 x . x2-1

由(①+②)÷ 2,得 f(x)=

由(①-②)÷ 2,得 g(x)=

一、选择题 1.若函数 f(x)= A. C. 1 2 x 为奇函数,则 a=( ?2x+1??x-a? 2 B. 3 D.1 A ∵f(-x)=-f(x), )

3 4

[答案] [解析] ∴

-x x =- , ?-2x+1??-x-a? ?2x+1??x-a?

1 ∴(2a-1)x=0,∴a= . 2

2. (2013~2014 学年度湖南长沙一中高一期中测试)若偶函数 f(x)在(-∞, -1]上是增函数, 则下列关系式中成立的是( 3 A.f(- )<f(-1)<f(2) 2 3 B.f(-1)<f(- )<f(2) 2 3 C.f(2)<f(-1)<f(- ) 2 3 D.f(2)<f(- )<f(-1) 2 [答案] [解析] D 本题主要考查利用函数奇偶性和单调性比较函数值的大小.因为 f(x)为偶函数,所 )

3 3 以 f(2)=f(-2),又-2<- <-1,且函数 f(x)在(-∞,-1]上是增函数,所以 f(-2)<f(- )<f(- 2 2 3 1),即 f(2)<f(- )<f(-1),故选 D. 2 3.已知函数 y=f(x)是偶函数,其图象与 x 轴有四个交点,则方程 f(x)=0 的所有实根之和 是( ) A.4 C.1 [答案] [解析] D ∵偶函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称, B .2 D.0

∴f(x)与 x 轴的四个交点也关于 y 轴对称. 因此,若一根为 x1,则它关于 y 轴对称的根为-x1; 若另一根为 x2,则它关于 y 轴对称的根为-x2. ∴f(x)=0 的四根之和为 x1+(-x1)+x2+(-x2)=0. 4.设 f(x)是定义在 R 上单调递减的奇函数,若 x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,则( A.f(x1)+f(x2)+f(x3)<0 B.f(x1)+f(x2)+f(x3)>0 C.f(x1)+f(x2)+f(x3)=0 D.f(x1)+f(x2)>f(x3) [答案] [解析] A ∵f(x)是定义在 R 上单调递减的奇函数, )

又∵x1+x2>0,∴x2+x3>0,x3+x1>0, ∴x1>-x2,x2>-x3,x3>-x1, 即 f(x1)<f(-x2)=-f(x2), f(x2)<f(-x3)=-f(x3), f(x3)<f(-x1)=-f(x1),

∴f(x1)+f(x2)+f(x3)<-f(x2)-f(x3)-f(x1), ∴2[f(x1)+f(x2)+f(x3)]<0, ∴f(x1)+f(x2)+f(x3)<0. 二、填空题 5.设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5].若当 x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式 f(x)<0 的解是______________.

[答案] [解析]

(-2,0)∪(2,5] 由于 f(x)是奇函数,∴图象关于原点成中心对称,画出 f(x)在定义域范围内的图象

如图所示,易得 f(x)<0 的解集是(-2,0)∪(2,5].

6.已知函数 f(x)和 g(x)均为奇函数,h(x)=af(x)+bg(x)+2 在区间(0,+∞)上有最大值 5, 那么 h(x)在(-∞,0)上的最小值为________. [答案] [解析] -1 由题意,知 af(x)+bg(x),在(0,+∞)上有最大值 3,由奇函数图象关于坐标原点

对称,知 af(x)+bg(x)在(-∞,0)上有最小值-3,故 af(x)+bg(x)+2 在(-∞,0)上有最小值- 1. 三、解答题 3? 7. 若 f(x)是偶函数, 其定义域为(-∞, +∞), 且在[0, +∞)上是单调减函数, 试比较 f? ?-2? 5? 2 与 f? ?a +2a+2?的大小关系. [解析] 5 3 3 ∵a2+2a+ =(a+1)2+ ≥ , 2 2 2

3 3 又∵函数 f(x)是偶函数,∴f(- )=f( ), 2 2 又∵f(x)在[0,+∞)上单调递减, 3 5 ∴f( )≥f(a2+2a+ ). 2 2 3 5 即 f(- )≥f(a2+2a+ ). 2 2

8.已知函数 f(x)是偶函数,当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,求满足 f(x-1)<0 的 x 的取值范 围.

[解析]

设 x<0,则-x>0,∴f(-x)=-x-1,

∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x), 即 f(x)=-x-1(x<0),
?x-1 ?x≥0? ? ∴f(x)=? . ?-x-1 ?x<0? ? ?x-2 ? ∴f(x-1)=? ?-x ?

?x≥1? ?x<1?

.

当 x≥1 时,由 f(x-1)=x-2<0,得 x<2,∴1≤x<2; 当 x<1 时,由 f(x-1)=-x<0,得 x>0,∴0<x<1, 综上可知,满足 f(x-1)<0 的 x 的取值范围为 {x|0<x<2}. 9.定义在(-1,1)上的函数 f(x)满足: ①对于任意 x,y∈(-1,1)都有 f(x)+f(y)=f( x+y ); 1+xy

1 ②f(x)在(-1,1)是单调递增函数,且 f( )=1. 2 (1)求 f(0); (2)证明 f(x)为奇函数; (3)解不等式 f(2x-1)<1. [解析] (1)令 x=y=0,则

f(0)+f(0)=f(0),∴f(0)=0. (2)令 y=-x,则 f(x)+f(-x)=f(0)=0, 即 f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数. 1 (3)∵f(x)在(-1,1)上是单调递增函数,f( )=1, 2

?-1<2x-1<1 ? 1 ∴f(2x-1)<1=f( )可化为? 1 2 ?2x-1<2 ?
3 解得 0<x< . 4



3 ∴不等式 f(2x-1)<1 的解集为{x|0<x< }. 4


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