最新高考数学(理)考点通关训练第五章不等式、推理与证明、算法初步与复数 39及答案

考点测试 39 学归纳法 一、基础小题 1 1.在应用学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n-3)条时,第一步检验第 2 一个值 n0 等于( A.1 C.3 答案 解析 C 边最少的凸 n 边形是三角形. 1-an+1 ,a≠1,n∈N*”,在验证 n 1-a ) B.2 D.0 2.用学归纳法证明“1+a+a2+…+an= =1 时,左边是( A.1 C.1+a+a2 答案 解析 B ) B.1+a D.1+a+a2+a3 当 n=1 时,代入原式有左边=1+a.故选 B. 3.对于不等式 n2+n≤n+1(n∈N*),某学生的证明过程如下: (1)当 n=1 时, 12+1≤1+1,不等式成立. (2)假设 n=k(k∈N*)时,不等式成立,即 k2+k<k+1,则 n=k+1 时, k+ k+ 2 + k+ = k2+3k+2 < k2+3k+ + k+ = 2 =(k+1)+1. ∴当 n=k+1 时,不等式成立. 上述证法( ) A.过程全都正确 B.n=1 检验不正确 C.归纳假设不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推不正确 答案 解析 D n=1 的验证及归纳假设都正确,但从 n=k 到 n=k+1 的推中没有使 用归纳假设,而通过不等式的放缩法直接证明,不符合学归纳法的证题要求,故 应选 D. 1 1 1 4.利用学归纳法证明不等式 1+ + +…+ n <f(n)(n≥2,n∈N*)的过 2 3 2 -1 程,由 n=k 到 n=k+1 时,左边增加了( A.1 项 C.2k-1 项 答案 解析 D 1 1 1 ? 1 1 1+ + +…+ k+1 -?1+ + +…+ 2 3 2 -1 ? 2 3 ) B.k 项 D.2k 项 1 ? 1 1 1 ?= k+ k +…+ k+1 ,共增加了 2k 项. 2 -1? 2 2 +1 2 -1 k 5.某个命题与自然 n 有关,若 n=k(k∈N*)时命题成立,那么可推得当 n= k+1 时该命题也成立,现已知 n=5 时,该命题不成立,那么可以推得( A.n=6 时该命题不成立 C.n=4 时该命题不成立 答案 解析 C B.n=6 时该命题成立 D.n=4 时该命题成立 ) 假设 n=4 时该命题成立,由题意可得 n=5 时,该命题成立,而 n= 5 时,该命题不成立,所以 n=4 时,该命题不成立,而 n=5,该命题不成立, 不能推得 n=6 该命题是否成立,故选 C. 1 1 1 127 6. 用学归纳法证明 1+ + +…+ n-1> (n∈N*)成立,其初始值至少应取 2 4 2 64 ( ) A.7 C.9 答案 B 1 2n 1 1 1 1 左边=1+ + +…+ n-1= =2- n-1, 2 4 2 1 2 1- 2 1- B.8 D.10 解析 代入验证可知 n 的最小值是 8. 故选 B. 7.下列代式(其中 k∈N*)能被 9 整除的是( A.6+6·7k C.2(2+7k+1) 答案 解析 D (1)当 k=1 时,显然只有 3(2+7k)能被 9 整除. ) B.2+7k-1 D.3(2+7k) (2)假设当 k=n(n∈N*)时,命题成立,即 3(2+7n)能被 9 整除, 那么 3(2+7n+1)=21(2+7n)-36, 这就是说,k=n+1 时命题也成立. 由(1)(2)可知,命题对任何 k∈N*都成立.故选 D. 8.设 f(n)= A. C. 1 2n+1 1 1 + 2n+1 2n+2 D 1 1 1 + +…+ ,n∈N+,那么 f(n+1)-f(n)=( n+1 n+2 n+n B. D. 1 2n+2 1 1 - 2n+1 2n+2 ) 答案 解析 f(n + 1) - f(n)= 1 n+ +1 + 1 n+ +2 +…+ 1 n+ +n + n+ 1 . 2n+2 1 + n+ - 1 n+1 n+2 - 1 -…- 1 n+n 2n+1 2n+2 n+1 2n+1 = 1 + 1 - 1 = 1 - 9.用学归纳法证明“当 n 为正奇时,xn+yn 能被 x+y 整除”的第二步是 ( ) A.假使 n=2k+1 时正确,再推 n=2k+3 正确(k∈N+) B.假使 n=2k-1 时正确,再推 n=2k+1 正确(k∈N+) C.假使 n=k 时正确,再推 n=k+1 正确(k∈N+) D.假使 n≤k(k≥1)时正确,再推 n=k+2 时正确(k∈N+) 答案 解析 B 因为 n 为正奇, 根据学归纳法证题的步骤,第二步应先假设第 k 个正 奇也成立,本题即假设 n=2k-1 正确,再推第 k+1 个正奇,即 n=2k+1 正确. 10.已知 1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c 对一切 n∈N* 都成立,则 a、b、c 的值为( 1 1 A.a= ,b=c= 2 4 C.a=0,b=c= 答案 解析 A ∵ 等 式 对 一 切 n ∈ N* 均 成 立 , ∴ n = 1,2,3 时 等 式 成 立 , 即 1 4 ) B.a=b=c= 1 4 D.不存在这样的 a、b、c ?1= a-b +c, ?1+2×3=3 a-b ?1+2×3+3×3 =3 2 2 3 +c, a-b +c, 1 1 解得 a= ,b=c= . 2 4 ?3a-3b+c=1, 整得?18a-9b+c=7, ?81a-27b+c=34, 1 11.在列{an}中,a1= 且 Sn=n(2n-1)an,通过计算 a2,a3,a4,猜想 an 的 3 表达式是________. 答案 解析 1 3 an= 1 n- n+ 1 1 1 ,a3= ,a4= . 15 35 63 因为 Sn=n(2n-1)

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