最新高考数学(理)考点通关训练第五章不等式、推理与证明、算法初步与复数 39及答案


考点测试 39 学归纳法 一、基础小题 1 1.在应用学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n-3)条时,第一步检验第 2 一个值 n0 等于( A.1 C.3 答案 解析 C 边最少的凸 n 边形是三角形. 1-an+1 ,a≠1,n∈N*”,在验证 n 1-a ) B.2 D.0 2.用学归纳法证明“1+a+a2+…+an= =1 时,左边是( A.1 C.1+a+a2 答案 解析 B ) B.1+a D.1+a+a2+a3 当 n=1 时,代入原式有左边=1+a.故选 B. 3.对于不等式 n2+n≤n+1(n∈N*),某学生的证明过程如下: (1)当 n=1 时, 12+1≤1+1,不等式成立. (2)假设 n=k(k∈N*)时,不等式成立,即 k2+k<k+1,则 n=k+1 时, k+ k+ 2 + k+ = k2+3k+2 < k2+3k+ + k+ = 2 =(k+1)+1. ∴当 n=k+1 时,不等式成立. 上述证法( ) A.过程全都正确 B.n=1 检验不正确 C.归纳假设不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推不正确 答案 解析 D n=1 的验证及归纳假设都正确,但从 n=k 到 n=k+1 的推中没有使 用归纳假设,而通过不等式的放缩法直接证明,不符合学归纳法的证题要求,故 应选 D. 1 1 1 4.利用学归纳法证明不等式 1+ + +…+ n <f(n)(n≥2,n∈N*)的过 2 3 2 -1 程,由 n=k 到 n=k+1 时,左边增加了( A.1 项 C.2k-1 项 答案 解析 D 1 1 1 ? 1 1 1+ + +…+ k+1 -?1+ + +…+ 2 3 2 -1 ? 2 3 ) B.k 项 D.2k 项 1 ? 1 1 1 ?= k+ k +…+ k+1 ,共增加了 2k 项. 2 -1? 2 2 +1 2 -1 k 5.某个命题与自然 n 有关,若 n=k(k∈N*)时命题成立,那么可推得当 n= k+1 时该命题也成立,现已知 n=5 时,该命题不成立,那么可以推得( A.n=6 时该命题不成立 C.n=4 时该命题不成立 答案 解析 C B.n=6 时该命题成立 D.n=4 时该命题成立 ) 假设 n=4 时该命题成立,由题意可得 n=5 时,该命题成立,而 n= 5 时,该命题不成立,所以 n=4 时,该命题不成立,而 n=5,该命题不成立, 不能推得 n=6 该命题是否成立,故选 C. 1 1 1 127 6. 用学归纳法证明 1+ + +…+ n-1> (n∈N*)成立,其初始值至少应取 2 4 2 64 ( ) A.7 C.9 答案 B 1 2n 1 1 1 1 左边=1+ + +…+ n-1= =2- n-1, 2 4 2 1 2 1- 2 1- B.8 D.10 解析 代入验证可知 n 的最小值是 8. 故选 B. 7.下列代式(其中 k∈N*)能被 9 整除的是( A.6+6·7k C.2(2+7k+1) 答案 解析 D (1)当 k=1 时,显然只有 3(2+7k)能被 9 整除. ) B.2+7k-1 D.3(2+7k) (2)假设当 k=n(n∈N*)时,命题成立,即 3(2+7n)能被 9 整除, 那么 3(2+7n+1)=21(2+7n)-36, 这就是说,k=n+1 时命题也成立. 由(1)(2)可知,命题对任何 k∈N*都成立.故选 D. 8.设 f(n)= A. C. 1 2n+1 1

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