2017-2018年北京市海淀区高一第二学期期中数学试卷及答案

海淀区高一年级第二学期期中练习

数学

2018.4

学校

班级

姓名

成绩

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

1. sin 18? cos 12? ? cos 18? sin 12? ?

()

A. 1 2

B. ? 1 2

C. 3 2

2. 在△ABC 中,已知 a ? 3 , b ? 4 , sin B ? 2 ,则 sin A = 3

A. 3 4

B. 1 6

C. 1 2

3. 函数 f (x) ? sin x cos x 的最大值为

D. ? 3 2 ()
D.1 ()

A.1

B. 1 2

C. 2

D. 3 2

4. 某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为正方形,那么该几何体的体积为 ( )

A.3

B.6

C. 6 2

D.12

3

11

11

正(主)视图 侧(左)视图

俯视图
5. 如图,飞机飞行的航线 AB 和地面目标 C 在同一铅直平面内,在 A 处测得目标 C 的俯角为 30? , 飞行 10 千米到达 B 处,测得目标 C 的俯角为 75? ,这时 B 处与地面目标 C 的距离为( )

A.5 千米

B. 5 2 千米 C. 4 千米

D. 4 2 千米

A 30?

B 75?

1

C

6. 如图 1,直线 EF 将矩形纸 ABCD 分为两个直角梯形 ABFE 和 CDEF ,将梯形 CDEF

沿边 EF 翻折,如图 2,在翻折的过程中(平面 ABFE 和平面 CDEF 不重合)下面说法正

确的是

()

A.存在某一位置,使得 CD // 平面 ABFE B.存在某一位置,使得 DE ? 平面 ABFE

C.在翻折的过程中, BF // 平面 ADE 恒成立 D.在翻折的过程中, BF ? 平面 CDEF 恒成立

E A
B

D
C F

D

C E

A

F

B

图1

图2

7. 在 ?ABC 中, A ? B ? C ,则下列结论中不.正.确.的是

A. sin A ? sin C

B.cos A ? cos C

C.tan A ? tan B

() D.cos B ? cos C

8. 在 ?ABC 中,若 AC ? 2 , ?B ? 60? , ?A ? 45? , 点 D 为 AB 边上的动点,则下列

结论中不.正.确.的是

()

A.存在点 D 使得 ?BCD 为等边三角形

B.存在点 D 使得 cos ?CDA ? 1 3

C.存在点 D 使得 BD : DC ? 2 : 3

D.存在点 D 使得 CD ? 1

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.

9. 求值: cos2 15? ? sin2 15?=

.

10.

? 已知 tan

? 3,则 tan?

的值为

.

2

11. 已知正四棱柱底面边长为 1,高为 2,则其外接球的表面积为

.

12. 在△ABC 中,已知 A ? 60?,a ? 7 ,b ? 3 ,则 c ?

.

13.若? ,? 均为锐角,且满足 cos? ? 4 ,cos(? ? ?) ? 3 ,则 sin ?

5

5

的值是

.

14. 如图,棱长为 6 的正方体 ABCD?A1B1C1D1绕其体对角线 BD1逆

时针旋转? (? ? 0),若旋转后三棱锥 D1 ?DC1A1与其自身重合,

则? 的最小值是

;三棱锥 D1 ?DC1A1在此旋转过程

中所成几何体的体积为

.
2

三、解答题:本大题共 4 小题,每小题 11 分,共 44 分. 解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤.
15.已知函数 f (x) ? 2 sin x(cos x ? sin x) ?1.

(Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期;

(Ⅱ)求

f

(x)

在区间

????

π 8

,

3π 8

? ??

上的最大值.

16. 如图,在△ ABC 中,点 D 在边 AB 上, BD ? 2 AD , ?ACD ? 45? , ?BCD ? 90? . (Ⅰ)求证: BC ? 2AC ; (Ⅱ)若 AB ? 5 ,求 BC 的长.

17. 如图,四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的底面 ABCD 是平行四边形, AC ? CB ,
侧面 B1BCC1 ? 底面 ABCD , E, F 分别是 AB, C1D 的中点. (Ⅰ)求证: EF / / 平面 B1BCC1 ; (Ⅱ)求证: EF ? AC ; (Ⅲ)在线段 EF 上是否存在点 G ,使得 AC ? 平面 C1D1G ?并说明理由.

18.正四棱锥 S ? ABCD 的展开图如右图所示,侧棱 SA 长为 1,记 ?ASB ? ? ,其表面积
3

记为 f (? ) ,体积记为 g(? ) .

(Ⅰ)求 f (? ) 的解析式,并直接写出? 的取值范围;

(Ⅱ)求 g (? ) ,并将其化简为 f (? )

a cos2 ? ? b cos? 1+ sin ?

?c

的形式,其中 a,b,c 为常数;

(Ⅲ)试判断 g (? ) 是否存在最大值,最小值?(写出结论即可) f (? )

S

A ( S)
B

D
( S) C

( S)

4

5

6

7

8


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