中山市2011届高三数学模拟试题(理科,龙山中学)

中山市高三数学综合题(理科) 龙山中学 杨小军

一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目的要求的.) 1 ? 2i ? i ,则 z ? ( 1. 设复数 z 满足 z A. ? 2 ? i B. ? 2 ? i 2.设 0<x<1,则 a=2 x ,b=1+x, c= A.a 3.已知方程 ax ? by
2 2

) C. 2 ? i
1

D. 2 ? i ) D.不能确定

1? x

中最大的一个是( C.c

B.b

? ab 和 ax ? by ? c ? 0 ( 其中 ab ? 0 , a ? b , c ? 0 ,它们所表示的曲线

可能是(



A.

B.

C. )

D.

4.已知直线 m , n 和平面 ? ,则 m // n 的一个必要非充分条件是( A. m //? 且 n // ? C. m //? 且 n ? ? B. m ? ? 且 n ? ? D. m , n 与 ? 所成角相等

? x? y?0 y ? 5.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 的最大值是( ) x ?1 ?2 x ? y ? 1 ? 1 1 A.1 B. C. D.2 4 2

6.等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n , 若 a 2 ? a 8 ? 12 , 则 S 9 等于 ( A.54 B.45
?
n

) D.27

C.36
f ?( 0 ) f (0)

7.设函数 f ( x ) ? ( x ? a ) ,其中 n ? 6 ? 2 cos xdx ,
0

? ? 3 ,则 f ( x ) 的展开式中 x

4

的系数为(



A.-360

B.360

C.-60

D.60

8.一圆形纸片的圆心为原点 O,点 Q 是圆外的一定点,A 是圆周上一点,把纸片折叠使点 A 与点 Q 重合,然后展开纸片,折痕 CD 与 OA 交于 P 点,当点 A 运动时 P 的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9.在某项测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N (1, ? )(? ? 0) .若 ? 在 (0, 内取值的概率为 1)
2

0.4,则 ? 在 (0, 内取值的概率为 2)

. 种

10.将 5 本不同的书全发给 4 名同学,每名同学至少有一本书的分配方案有 (用数字表示) cos B b ?? 11. 在 ? ABC 中, a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边,且 , cos C 2a ? c 则角 B 的大小为 此几何体的外接球的表面积为 13.函数 y ? e
2x

12.已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为 2 的正三角形,俯视图是直径为 2 的圆,则

图像上的点到直线 2 x ? y ? 4 ? 0 距离的最小值是

_

? x ? 2t , 14、已知直线 l 的参数方程为:? ( t 为参数) C 的极坐标方程为 ? ? 2 2 sin ? , ,圆 ? y ? 1 ? 4t

则直线 l 与圆 C 的位置关系为

.
B

15、如图,点 B 在⊙O 上, M 为直径 AC 上一点,BM 的延长线交⊙O 于 N,
? BNA ? 45
?

,若⊙O 的半径为 2 3 ,OA= 3 OM , .
C M O N A

则 MN 的长为

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) 已知 tan ? ? 2 (Ⅰ)求 tan(

?
4

? ? ) 的值

(Ⅱ)求 cos 2? 的值 17. (本小题满分 12 分) 甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量
x , h ,已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于 6 环,且甲射中 10,9,8,7 环的

概率分别为 0.5 , 3a , a , 0.1 ,乙射中 10,9,8 环的概率分别为 0.3 , 0.3 , 0.2 。 (1)求 x , h 的分布列; (2)求 x , h 的数学期望与方差,并以此比较甲、乙的射击技术。

CD 18.本小题满分 14 分) ( 在四棱锥 P - ABCD 中, AD ^ AB , ∥ AB , ⊥底面 ABCD , PD
AB AD ? 2 ,直线 PA 与底面 ABCD 成 60°角,点 M , N 分别是 PA 、 PB 的中点.

(Ⅰ)求二面角 P - MN - D 的大小; (Ⅱ)当
CD AB

P M D A N C

的值为多少时, ? CND 为直角?

B 19. (本小题满分 14 分)已知 M (0, ? 2) ,点 A 在 x 轴上,点 B 在 y 轴的正半轴,点 P 在直

???? ??? ? ??? ??? ? ? 线 AB 上,且满足 AP ? PB , MA ? AP ? 0 .
(Ⅰ)当点 A 在 x 轴上移动时,求动点 P 的轨迹 C 方程; (Ⅱ)过 ( ? 2, 0) 的直线 l 与轨迹 C 交于 E 、 F 两点,又过 E 、 F 作轨迹 C 的切线 l1 、 l 2 ,当
l1 ? l 2 ,求直线 l 的方程.

20. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x ) ? ax ? ln x , x ? ( 0 , e ], g ( x ) ?
ln x x

,其中 e 是自然常数, a ? R .

(1)讨论 a ? 1 时, f ( x ) 的单调性、极值; (2)求证:在(1)的条件下, f ( x ) ? g ( x ) ?
1 2



(3)是否存在实数 a ,使 f ( x ) 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. 21、 已知函数 f ( x ) 的图象经过点 (1, ? ) , 且对任意 x ? R , 都有 f ( x ? 1) ? f ( x ) ? 2 . 数列 ?a n ? 满足 a 1 ? ? ? 2 , a n ?1
? 2 n , n 为奇数 ?? . ? f ( a n ), n 为偶数

(1)当 x 为正整数时,求 f (n ) 的表达式; (2)设 ? ? 3 ,求 a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 2 n ;

(3)若对任意 n ? N ,总有 a n a n ?1 ? a n ?1 a n ? 2 ,求实数 ? 的取值范围.
*

参考答案
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目的要求的.)

题号 答案

1 C

2 C

3 B

4 D

5 B

6 A

7 D

8 B

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分, 2? 9. 0 . 8 10. 240 11. 3 13.
5

16 ?

12.

3

14. 相交

15、2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分)

解:(1)? tan ? ? 2

? tan(

?
4

tan ?? ) ?

?
4

? tan ?

1 ? tan

?
4

? tan ?

1? 2 1? 2

??

1 3

………… 4 分

(2)

? tan ? ? 2 ?

sin ? cos ?

? 2 ? sin ? ? 2 cos ?

……① …………6 分 由①②得 cos q =
3 5
2

2 2 又? sin q + cos q = 1

1 5

……………8 分

? cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ? ?
2

…………………………………………12 分

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)依题意得 0.5 + 3a + a + 0.1 = 1 解得 a = 0.1 ………………………2 分
? 乙射中 10,9,8 环的概率分别为 0.3 , 0.3 , 0.2

乙射中 7 环的概率为 1 - ( 0.3 + 0.3 + 0.2 )= 0.2 ……………4 分
x , h 的分布列为: x

10

9

8

7

h

10

9

8

7

p

0.5

0.3

0.1

0.1

p

0.3

0.3

0.2

0.2

………………6 分 (2)略 18. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)∵PD⊥面 ABCD,AB ? 面 ABCD, ∴AB⊥PD,又 AB⊥AD, ∴AB⊥面 PAD. 又 MN 是△PAB 的中位线, ∴MN∥AB,从而 MN⊥面 PAD.

∴∠PMD 为二面角 P—MN—D 的平面角 ………………………………4 分 由已知,在 Rt△PAD 中,易证:∠PAD=60°,而 M 是 PA 的中点, ∴∠PMD=120°. 即所求二面角 P—MN—D 的大小为 120°.…………………………………6 分 (Ⅱ)令
CD AB ? x ,不妨设 AD=2,则 PD=2 3,AB= 4 , CD ? x , AB ? 4 x .……8 分

以 D 为原点,DA、DC、DP 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系,则

D(0,0,0) N(1,2, 3 ) C(0,4x,0) , , ,
∴ DN ? (1,2, 3 ) CN ? (1,2-4x, 3 ) , ;……………………10 分 若∠CND 为直角,则必有 DN ? CN , 即 DN ? CN ? 0 于是有 1 ? 1 ? 2(2 ? 4 x ) ? 3 ? 3 ? 0 ,解得 x ? 1 . ∴当
CD AB ? 1 时,∠CND 为直角.……………………………………14 分
???? ???? ???? ???? ???? ????

z P

M A x D

N C B y

19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:设 P ( x , y ) , A ( x A , 0), B (0, y B )( y B > 0) 则
??? ? AP ? ( x ? x A , y )
??? ??? ? ? 由 AP ? PB

??? ? PB ? ( ? x , y B ? y )
xA ? 2 x , yB ? 2 y

…………………………………2 分 …………………………………4 分



???? 又 MA ? ( x A , 2)

??? ? AP ? ( x ? x A , y )

???? ??? ? 即 MA ? (2 x , 2) , AP ? ( ? x , y ) ……………6 分

???? ??? ? 由 MA ? AP ? 0



x ? y ( y ? 0) …………………………………..8 分
2

(Ⅱ)显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为: y = k ( x + 2) 设 E ( x1 , y1 ) , F ( x 2 , y 2 ) 因为 y ' ? 2 x ,故两切线的斜率分别为 2 x1 , 2 x 2 …………………10 分
? x2 ? y 由方程组 ? ? y ? k ( x ? 2)
2 得 x ? kx ? 2 k ? 0

所以 x1 ? x 2 ? k 当 l1 ? l 2 时, ,

x1 ? x 2 ? ? 2 k ………………………………………12 分 2 x1 ? 2 x 2 ? ? 1 ,所以 k ?
y? 1 8 ( x ? 2) 1 8

所以,直线 l 的方程是 20. (本小题满分 14 分)

………………………………14 分

解: (1)? f ( x ) ? x ? ln x , f ?( x ) ? 1 ?

1 x

?

x ?1 x

……1 分

/ ∴当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递减

/ 当 1 ? x ? e 时, f ( x ) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递增

…………3 分

∴ f ( x ) 的极小值为 f (1) ? 1 ……4 分 (2)? f ( x ) 的极小值为 1,即 f ( x ) 在 ( 0 , e ] 上的最小值为 1, ∴ f ( x ) ? 0 , f ( x ) min ? 1 ……5 分 令 h( x) ? g ( x) ?
1 2 ? ln x x ? 1 2

, h ?( x ) =

1 - ln x x
2



…………6 分

当 0 ? x ? e 时, h ?( x ) ? 0 , h ( x ) 在 ( 0 , e ] 上单调递增 ………7 分 ∴ h ( x ) max ? h ( e ) ?
1 e ? 1 2 ? 1 2 ? 1 2 ? 1 ? | f ( x ) | min
1 2
/

∴在(1)的条件下, f ( x ) ? g ( x ) ?

……………………………9 分
1 x ? ax ? 1 x

(3) 假设存在实数 a , f ( x ) ? ax ? ln x( x ? ( 0 , e ] ) 使 有最小值 3,f ( x ) ? a ?

① 当 a ? 0 时,? x ? (0, e ] ,所以 f ?( x ) < 0 , 所以 f ( x ) 在 ( 0 , e ] 上单调递减,

f ( x ) min ? f ( e ) ? ae ? 1 ? 3 , a ?

4 e

(舍去) ,

所以,此时 f ( x ) 无最小值. ……10 分 ②当 0 ?
1 a ? e 时, f ( x ) 在 ( 0 , 1 a ) 上单调递减,在 ( 1 a , e ] 上单调递增

1 2 f ( x ) min ? f ( ) ? 1 ? ln a ? 3 , a ? e ,满足条件. a

……11 分

③ 当

1 a

( ? e 时,? x ? (0, e ] ,所以 f ? x ) < 0 ,
4 e

所以 f ( x ) 在 ( 0 , e ] 上单调递减, f ( x ) min ? f ( e ) ? ae ? 1 ? 3 , a ? 所以,此时 f ( x ) 无最小值.

(舍去) ,

2 综上,存在实数 a ? e ,使得当 x ? ( 0 , e ] 时 f ( x ) 有最小值 3.……14 分

21、 【解析】 (1)记 b n ? f (n ) ,由 f ( x ? 1) ? f ( x ) ? 2 有 b n ?1 ? b n ? 2 对任意 n ? N 都成立,
*

又 b1 ? f (1) ? ? ,所以数列 ?b n ? 为首项为 ? 公差为 2 的等差数列,………2 分 故 b n ? 2 n ? ? ? 2 ,即 f ( n ) ? 2 n ? ? ? 2 . …………………………………4 分 (2)由题设 ? ? 3 若 n 为偶数,则 a n ? 2
n ?1

; ………………5 分
n?2

若 n 为 奇 数 且 n ? 3 , 则 a n ? f ( a n ?1 ) ? 2 a n ?1 ? ? ? 2 ? 2 ? 2
?2
n ?1

???2?2

n ?1

???2 ,

? 1 ………6 分
n ?1 n为 奇 数 且 n ? 3 n为 偶 数

1 ? ? n ?1 又 a 1 ? ? ? 2 ? 1 ,即 a n ? ? 2 ? 1 ? 2 n ?1 ?

a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 2 n ? ( a 1 ? a 3 ? ? ? a 2 n ?1 ) ? ( a 2 ? a 4 ? ? ? a 2 n ) ? (2 ? 2 ? ? ? 2
0 2 1 2 2n?2

? n ? 1) ? (2 ? 2 ? ? ? 2
1 3

2 n ?1

)

? (1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2

2 n ?1

) ? n ?1

?2

2n

?n ?2 ……9 分 .

(3)当 n 为奇数且 n ? 3 时,
a n ?1 a n ? 2 ? a n a n ?1 ? a n ?1 ( a n ? 2 ? a n ) ? 2 [ 2
n n ?1

? ? ? 2 ? (2

n ?1

? ? ? 2 )]

? 3?2

2 n ?1

? 0 ;…………………10 分
n n ?1

当 n 为偶数时, a n ?1 a n ? 2 ? a n a n ?1 ? a n ?1 ( a n ? 2 ? a n ) ? ( 2 ? ? ? 2 )( 2
? 3?2
n

?2

n ?1

)]

n ?1

( 2 ? ? ? 2 ) ,……………11 分
n

因为 a n a n ?1 ? a n ?1 a n ? 2 ,所以 2 ? ? ? 2 ? 0 ,…………………………12 分
? n为 偶 数 , n ? 2 ,∵ 2 ? ? ? 2 单增∴ 4 ? ? ? 2 ? 0 即 ? ? ? 2 ……………13 分 ?
n

故 ? 的取值范围为 ( ? 2 , ?? ). …………………………………………………14 分


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