【2014宁波二模】浙江省宁波市2014届高三第二次模拟考试数学文试卷Word版含答案_图文

宁波市 2014 年高考模拟考试
数学(文科)试卷

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页, 选择题部分 1 至 2 页, 非选择题部 分 3 至 4 页.满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.
参考公式: 柱体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 表示底面积, h 表示柱体的高. 锥体的体积公式 V ? 1 Sh ,其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高.
3 球的表面积公式 S ? 4? R2 , 球的体积公式 V ? 4 ? R3 ,其中 R 表示球的半径.
3

第Ⅰ卷(选择题部分 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

? ? 1.设集合 M

?

?? x ?

?1 2

?

x

?

1 2

? ? ?



N

?

x x2 ? x

,则 M

N?

(A)[0, 1) 2

(B) (? 1 ,1] 2

(C)[?1, 1) 2

2.已知复数 z 满足 z ? 2 ? i (其中 i 是虚数单位),则 z 为 z?2

(A) 2i

(B) ?2i

(C) i

(D) (? 1 , 0] 2
(D) ?i

3.在△ ABC 中,“ A ? B ”是“ sin2 A ? sin2 B ”的

(A)充分不必要条件 (C)充分必要条件

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

4.设 m, n 是两条不同的直线,? , ? 是两个不同的平面,则下列命题中正.确.的是

(A)若 m / /? , n ? ? 且? ? ? ,则 m ? n

(B)若 m ? ? , n ? ? 且 m ? n ,则? ? ?

(C)若? ? ? , m / /n 且 n ? ? ,则 m / /?

(D)若 m ? ? , n ? ? 且 m / /n ,则? / /?

5.将函数 y ? sin(4x ? ? ) 图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移 ? 个单位,

6

4

纵坐标不变,所得函数图象的一条对称轴的方程是

(A) x ? ? 12

(B) x ? ? 6

(C) x ? ? 3

(D) x ? ? ? 12

6.若某程序框图如图所示,则输出的 n 的值是

(A)3

(B) 4

(C)5

(D) 6

7.设 z ? 2x ? 5y ,其中实数 x, y 满足 6 ? x ? y ? 8 且

?2 ? x ? y ? 0 ,则 z 的最大值是

(A) 21

(B) 24

(C) 28

(D) 31

8.函数

f

(x)

?

5 2

sin

? ??

? 2

x

? ??

? log2

x

的零点个数为

(A)1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

9.已知向量 a,b, c 满足 a ? 4, b ? 2 2, a 与 b 的夹角

为 ? , (c ? a) ? (c ? b) ? ?1 ,则 c ? a 的最大值为 4

(A) 2 ? 1 2

(B) 2 ?1 2

(C) 2 ?1 2

10.如图所示,已知双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0)

的右焦点为 F ,过 F 的直线 l 交双曲线的渐近

线于 A 、 B 两点,且直线 l 的倾斜角是渐近线

OA 倾斜角的 2 倍,若 AF ? 2FB ,则该双曲
线的离心率为

(A) 3 2 4

(B) 2 3 3

(C) 30 5

(D) 5 2

开始
p=1,n=1
n=n+1 p=p+2n?1
否 p>20 ?
是 输出 n 结束 (第 6 题图)
(D) 2 ?1

y

l

A

O

F

x

B

(第 10 题图)

第Ⅱ卷(非选择题部分 共 100 分)

二、填空题:本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分. 11.某高校从参加今年自主招生考试的 1000 名学生中随机抽取 100 名学生的成绩进行统
计,得到如图所示的样本频率分布直方图.若规定 60 分及以上为合格,则估计这 1000 名学生中合格人数是 ▲ 名.

频率 组距
0.030
0.020

2
正视图

2 1
侧视图

0.010
2

12.盒子中装有大小质地都相同的 5 个球,其中红色 1 个,白色 2 个,蓝色 2 个.现从盒子 中取出两个球(每次只取一个,并且取出后放回),则这两个球颜色相同的概率为 ▲.
13.定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 f (?x) ? f (x ? 3), f (2014) ? 2, 则 f (?1) = ▲ . 2
14.已知某锥体的三视图(单位:cm)如图所示,则该锥体的体积为 ▲ cm 3 .

15.已知直线 x ? y ?1 ? 0 及直线 x ? y ? 5 ? 0 截圆 C 所得的弦长均为 10,则圆 C 的面积是

▲.

16.数列

?an

?

是公比为

?

2 3

的等比数列,

?bn

?

是首项为

12

的等差数列.现已知

a9>b9

且 a10>b10,则以下结论中一.定.成.立.的是 ▲ .(请填写所有正确选项的序号)

① a9 ? a10 ? 0 ; ② b10 ? 0 ; ③ b9 ? b10 ; ④ a9 ? a10 .

17.若正实数 x, y 满足 x ? 2 y ? 4 ? 4xy ,且不等式 (x ? 2 y)a2 ? 2a ? 2xy ? 34 ? 0 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 ▲ .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.(本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ,且 2 3a sin B ? 5c ,

cos B ? 11 . 14

(Ⅰ)求角 A 的大小;(Ⅱ)设 BC 边的中点为 D , AD ? 19 ,求 ?ABC 的面积.
2

19.(本小题满分 14 分)已知等差数列?an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? 8, S4 ? 40 .数列?bn?

的前 n 项和为Tn ,且Tn ? 2bn ? 3 ? 0 , n ? N ? .(Ⅰ)求数列?an? ,?bn? 的通项公式;

(Ⅱ)设 cn ? ???bann

n为奇数

n为偶数

求数列?cn ?的前 2n ?1 项和 P2n?1 .

P

20.(本小题满分 14 分)如图所示,
PA ? 平面ABCD , ?ABC 为等边三角形,
AP ? AB , AC ? CD , M 为 AC 的中点. (Ⅰ)求证: BM // 平面 PCD ; (Ⅱ)若直线 PD 与平面 PAC 所成角的正切值
为 6 ,求二面角 A ? PD ? M 的正切值. 2
21.(本小题满分 15 分)已知 a ? R ,函数 f (x) ? x3 ? 3a x ? a2 , x ? R . 2
(Ⅰ)求 f (x) 在??1,1? 上的单调区间;(Ⅱ)当 0 ? a ? 2 时,求 f (x) 在??1,1? 上的最大值.

22.(本小题满分 15 分)已知抛物线 C : x2 ? 2 py( p ? 0) 上一个纵坐标为 2 的点到焦点 F
y
的距离为 3 . (Ⅰ)求抛物线 C 的方程;
(Ⅱ) 设点 P(0, 2) ,过 P 作直线 l1,l2 分别交抛物线 M

于点 A, B 和点 M , N ,直线 l1,l2 的斜率分别为 k1和k2 ,

且 k1k2

?

?3 4

.写出线段

AB 的长

AB

关于 k1 的

函数表达式,并求四边形 AMBN 面积 S 的最小值.

A

P

BF N

O

x

(第 22 题图)

宁波市 2014 年高考模拟考试 数学(文科)参考答案
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题
的主要考查内容制订相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的题答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的
内容与难度,可视影响的程度决定后续部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分.

(1)A (2)B (3)C (4)B (5)A

(6)C (7)D (8)C (9)D (10)B

二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 28 分.

(11)700

(12) 9 25

(13) ?2

(14) 2

(15) 27?

(16)①③

(17) ???, ?3?

? ??

5 2

,

??

? ??

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (18)(本小题满分 14 分)

解:(I)由 cos B ? 11 ,得 sin B ? 5 3 ,

14

14

……………………1 分

又 2 3a sin B ? 5c ,代入得 3a ? 7c ,

由 a ? c ,得 3sin A ? 7 sin C , sin A sin C

……………………3 分

3sin A ? 7 sin( A ? B) , 3sin A ? 7 sin Acos B ? 7 cos Asin B …………5 分

得 tan A ? ? 3 , A ? 2? 3

……………………7 分

(Ⅱ) AB2 ? BD2 ? 2AB BD cos B ? 19 , 4

……………………9 分

c2 ? (7 c)2 ? 2c 7 c 11 ? 19 , c ? 3,则 a ? 7

6

6 14 4

……………………11 分

S ? 1 ac sin B ? 1 3 7 5 3 ? 15 3

2

2 14 4

……………………14 分

(19)(本小题满分 14 分)

解:(Ⅰ)由题意,

???4aa11??6dd

?8 ? 40

,得 ???ad1

?4 ? 4 ,?an

?

4n



…………3 分

Tn ? 2bn ? 3 ? 0 ,?当n ? 1时,b1 ? 3 ,

当n ? 2时,Sn?1 ? 2bn?1 ? 3 ? 0 ,两式相减,得 bn ? 2bn?1, (n ? 2)

数列 ?bn?为等比数列,?bn ? 3? 2n?1 .

…………7 分

(Ⅱ)

cn

?

?4n

? ?

3

?

2n

?1

n为奇数 n为偶数



P2n?1 ? (a1 ? a3 ? ? a2n?1) ? (b2 ? b4 ? ? b2n )

……………8 分

? [4 ? 4(2n ?1) ? (n ?1)] ? 6(1? 4n )

2

1? 4

……………12 分

? 22n?1 ? 4n2 ? 8n ? 2

……………14 分

(20)(本题满分 14 分)
(Ⅰ)证明: ?ABC 为等边三角形, M 为 AC 的中点,? BM ? AC .

又 AC ? CD ,?在平面ABCD中,有BM CD . ……………3 分

又 CD ? 平面PCD, BM ? 平面PCD, ? BM 平面PCD. ……5 分

(Ⅱ)解: PA ? 平面ABCD,CD ? 平面ABCD,

P

? PA ? CD , 又 AC ? CD ,

H

PA ? AC ? A,?CD ? 平面PAC . N

?直线 PD 与平面 PAC 所成角为 ?DPC

A

D

……………7 分 M

在 Rt?PCD中,tan ?DPC ? CD ? 6 . B

C

PC 2

设 AP ? AB ? a ,则 AC ? a, PC ? 2a

?CD ? 6 PC ? 3a 2
在Rt?ACD中,AD2 =AC2 +CD2 =4a2,? AD ? 2a .

……………9 分

PA ? 平面ABCD,?平面PAD ? 平面ABCD .

在Rt?ACD中,过M 作MN ? AD. 又 平面ABCD 平面PAD=AD,MN ? 平面ABCD,

? MN ? 平面PAD.

在平面 PAD 中,过 N作NH ? PD ,连结 MH ,则 PD ? 平面MNH .

??MHN 为二面角 A ? PD ? M 的平面角.

……………12 分

在Rt?ACD中,MN = 3 a, AN = 1 a, ND= 7 a,

4

4

4

? NH ? DN , ? NH ? PA? DN ? 7 a

PA PD

PD 4 5

? tan ?MHN = MN ? NH

3a 4? 7a

15 , 7

45

?二面角 A ? PD ? M 的正切值为 15 . 7

(21)(本题满分 15 分)

解:(Ⅰ) f ?(x) ? 3x2 ? 3a ? 3(x2 ? a ) ,

2

2

当 a ? 0 时, f ?(x) ? 0 , f (x) 在??1,1? 上递增;

……………………14 分
……………2 分 ……………3 分

? 当 0 ? a ? 2 时, f (x) 在 ??1, ?
?

a 2

? ???

,

? ???

a 2

? ,1?
?

上递增,在

? ???

?

a, 2

a 2

? ???

上递减;

……………5 分

当 a ? 2 时, f ?(x) ? 0 , f (x) 在??1,1? 上递减.

……………6 分

(Ⅱ)

当0? a

? 2 时,

f

(x)



? ??1,

?

?

a 2

? ???

,

? ???

a 2

? ,1?
?

上递增,在

? ???

?

a, 2

a 2

? ???

上递减.

f (1) ? 1? 3 a ? a2 ? (a ? 3)2 ? 7 ? 0, f (? a ) ? a a ? a2 ? 0 ,

2

4 16

2

2

f (?1) ? ?1? 3 a ? a2 ? 1 (2a ?1)(a ? 2) , f ( a ) ? a2 ? a a ? a a ( a ? 1 ) .

2

2

2

2

2

………9 分

① 0 ? a ? 1 时, 2

f (?1) ? 0 , f (

a)?0, 2

f (x) max

? max ???? f (?1), ??

f (?

a ), ? f ( 2

a 2

),

f

(1)??? ??



而 ? f (?1) ? 1? 3 a ? a2 , f (? a ) ? a a ? a2 ,

2

2

2

? f ( a ) ? ?a2 ? a a , f (1) ? 1? 3 a ? a2 .

2

2

2

显然 ? f (?1) ? f (1) , ? f ( a ) ? f (? a ) ,

2

2

所以只需比较 f (? a ) 与 f (1) 的大小. 2

f (? a ) ? f (1) ? a a ? 3 a ?1 .

2

22

g(a) ? a a ? 3 a ?1在 (0, ??) 上单调递增,而 g(1) ? 0 .

22

2

?0 ? a ? 1 时, f (? a ) ? f (1) , f (x) ? f (1) ? 1? 3 a ? a2 . ………12 分

2

2

max

2

② 1 ? a<2 时, f (?1) ? 0 , f ( 2

a)?0, 2

f (x) max

?

max

?? ?

f

(?

??

a 2

),

f

(1)??? ??

.

f (? a ) ? f (1) ? a a ? 3 a ?1 ? 0 , f (x) ? f (? a ) ? a a ? a2 ………15 分

2

22

max

2

2

综上所述,

f (x) max

?

??? 1 ? ?

3 2

a

?

a2,

0

?

a

?

1 2

??? a

a ? a2 2

,1 ?a?2 2

(22)(本小题满分 15 分)

解:(Ⅰ) 2 ? (? p ) ? 3,? p ? 2,? x2 ? 4 y . 2

………5 分

M

y A

(Ⅱ) A(x1, y1), B(x2 , y2 ), M (x3, y3), N (x4 , y4 ) l1 : y ? k1x ? 2 ,与抛物线 x2 ? 4 y 联立可得

P

B

N

O

x

x2

? 4k1x ? 8 ? 0 ,

?

? ? ?

x1 ? x2 ? 4k1 x1x2 ? ?8



AB ? 1? k12 x1 ? x2 ? 4 (1? k12 )(k12 ? 2) , k1 ? R且k1 ? 0 . ……………10 分

设点 M , N 到直线 l1 的距离分别为 h1和h2 ,

h1 ? h2

?

k1x3 ? y3 ? 2 1? k12

?

k1x4 ? y4 ? 2 1? k12

?

(k1x3 ? y3 ) ? (k1x4 ? y4 ) 1? k12

? (k1x3 ? k1x4 ) ? ( y3 ? y4 ) . 1? k12

y3 ? k2 x3 ? 2, y4 ? k2 x4 ? 2 , y3 ? y4 ? k2 (x3 ? x4 ) .

h1 ? h2 ?

(k1x3 ? k1x4 ) ? ( y3 ? y4 ) 1? k12

?

x3 ? x4 k1 ? k2 1? k12



同理可得 x2 ? 4k2 x ? 8 ? 0 , x3 ? x4 ? (x3 ? x4 )2 ? 4x3x4 ? 4 k22 ? 2

h1

? h2

?

4

k1

? k2 1?

k22 k12

?2



……………12 分

S AMBN

?

1 2

AB

(h1 ? h2 )

?8

(k12 ? 2)(k22 ? 2) ? k1 ? k2

? 8 ??2(k12 ? k22 ) ? k12k22 ? 4?? (k12 ? k22 ? 2k1k2 )

k1k2

?

?

3 4

,?

S AMBN

?8

???2(k12

?

k22

)

?

9 16

?

4???

(k12

?

k22

?

3 2

)

设 t ? k12 ? k22 ? 2 k1k2

?

3 2



S

AMBN

?8

(2t

?

9 16

?

4)(t

?

3 2

)



? ??

3 2

,

??

? ??



单调递增,

SAMBN ? 8

(3 ? 9 ? 4)( 3 ? 3) ? 22 16 2 2

3 ,当且仅当

t

?

3 2

, 即{k1, k2}

? {?

3, 2

3 } 时取等号. 2

?四边形 AMBN 面积的最小值为 22 3 .

……………15 分


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