湖北省稳派名校高三数学10月联合调研考试试题 理 新人教A版

2014-2015 学年湖北省稳派名校联考高三 (上) 10 月调研数学试卷 (理 科)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.若集合 A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个 2.下列有关命题的说法中,错误的是( ) A. 若“p 或 q”为假命题,则 p,q 均为假命题 B. “x=1”是“x≥1”的充分不必要条件 中元素的个数为( )

C. “ ”是“ ”的必要不充分条件 D. 若命题 p:”? 实数 x0,使 x02≥0”则命题?p:“对于? x∈R,都有 x2<0” 3.如图,直线 l 和圆 c,当 l 从 l0 开始在平面上绕点 O 按逆时针方向匀速转动(转动角度 不超过 90 度)时,它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数,这个函数的图象大致 是( )

4.若 A. B.

,则 tan2α =( C. D.



5.函数 A. (﹣∞,1) 6.已知函数 最小值为( A.

的值域为(



B. (﹣∞,1] C. (0,1] D. [0,1] 在区间[0,1]内至少出现 2 次极值,则 ω 的

) B. C. D. )

7.若两个非零向量 , 满足| + |=| ﹣ |=2| |,则向量 + 与 ﹣ 的夹角为( A. B. C. D.

8.函数 f(x)= A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

的零点个数为(



9.由曲线 y=sinx,y=cosx 与直线 x=0,x= 是( )

所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积

A. 1

B.

C.

D. 2

10. 已知 x1, x2 (x1<x2) 是方程 4x2﹣4kx﹣1=0 (k∈R) 的两个不等实根, 函数 定义域为[x1, x2], g (k) =f (x) max﹣f (x) min, 若对任意 k∈R, 恒只有 成立,则实数 a 的取值范围是( A. B. ) C. D.

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填在答题卡对应题号的位 置,填错位置,书写不清,模棱两可均不得分 11.计算:4cos70°+tan20°= _________ . 12.已知函数 f(x)=log2(x2﹣ax+a2)的图象关于 x=2 对称,则 a 的值为 _________ . 13.对于函数 f(x) ,若存在常数 a≠0,使得 x 取定义域内的每一个值,都有 f(x)=﹣f (2a﹣x) ,则称 f(x)为准奇函数,下列函数中是准奇函数的是 _________ (把所有满 足条件的序号都填上) ①f(x)= ②f(x)=x2 ③f(x)=tanx ④f(x)=cos(x+1)

14.设函数 f(θ )=

sinθ +cosθ ,其中 θ 的顶点与坐标原点重合,始终与 x 轴非负半

轴重合,终边经过点 P(x,y)且 0≤θ ≤π . (1)若点 P 的坐标为 ,则 f(θ )的值为 _________

(2)若点 P(x,y)为平面区域 Ω : 最小值 m,则 logMm= _________ .

内的一个动点,记 f(θ )的最大值为 M,

15.设 f′(x)和 g′(x)分别是 f(x)和 g(x)的导函数,若 f′(x)g′(x)≤0 在区间 I 上恒成立,则称 f(x)和 g(x)在区间 I 上单调性相反.若函数 f(x)= x3﹣2ax 与g (x) =x2+2bx 在开区间 ( a, b) 上单调性相反 (a>0) , 则 b﹣a 的最大值为 _________ . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说、证明过程或演算步骤) 16. (11 分)设命题 p:函数 y=loga(x+1) (a>0,a≠1)在 x∈(0,+∞)上单调递减; 命题 q:3x﹣9x<a 对一切的 x∈R 恒成立,如果命题“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值 范围.

17. (12 分)在平行四边形 ABCD 中,A(1,1) , 与 BD 交于点 P. (1)若 (2)当| =(2,5) ,求点 C 的坐标; |=| |时,求点 P 的轨迹.

=(6,0) ,M 是线段 AB 的中点,线段 CM

18. (12 分)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R) . (1)若 f(x)满足下列条件:①当 x∈R 时,f(x)的最小值为 0,且 f(x﹣1)=f(﹣x ﹣1)恒成立;②当 x∈(0,5)时,x≤f(x)≤2|x﹣1|+1 恒成立,求 f(x)的解析式; (2)若对任意 x1,x2∈R 且 x1<x2,f(x1)≠f(x2) ,试证明:存在 x0∈(x1,x2) ,使 f(x0)= [f(x1)+f(x2)]成立.

19. (12 分)已知函数 f(x)=Asin(wx+φ ) (A>0,w>0,|φ |< 截距为

)的图象在 y 轴上的

,它在 y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0+π ,﹣2) .

(1)求函数 f(x)的解析式; (2) 若△ABC 中的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且锐角 A 满足 又已知 a=7,sinB+sinC= ,求△ABC 的面积. ,

20. (14 分)如图,△ABC 为一个等腰三角形形状的空地,腰 CA 的长为 3(百米) ,底 AB 的 长为 4(百米) .现决定在空地内筑一条笔直的小路 EF(宽度不计) ,将该空地分成一个四边 形和一个三角形,设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为 S1 和 S2. (1)若小路一端 E 为 AC 的中点,求此时小路的长度;

(2)求

的最小值.

21. (14 分)若函数 f(x)是定义域 D 内的某个区间 I 上的增函数,且 F(x)=



I 上是减函数, 则称 y=f (x) 是 I 上的“非完美增函数”, 已知 f (x) =lnx, g (x) =2x+ +alnx (a∈R) (1)判断 f(x)在(0,1]上是否是“非完美增函数”; (2)若 g(x)是[1,+∞)上的“非完美增函数”,求实数 a 的取值范围.

参考答案 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.A 2.C 3.D 4.C 5.B 6.B 7.C 8.C 9.D 10.A 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填在答题卡对应题号的位 置,填错位置,书写不清,模棱两可均不得分 11. .

12. 4 . 13. ③④ 14. (1) 2 (2) 0 . 15. . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说、证明过程或演算步骤) 16. 解:∵命题 p:函数 y=loga(x+1) (a>0,a≠1)在 x∈(0,+∞)上单调递减, ∴x+1∈[1,+∞) ,0<a<1, ∵命题 q:3x﹣9x<a 对一切的 x∈R 恒成立, ∴f(x)=3x﹣(3x)2, t=3x,y=﹣t2+t,t>0, 当 t= 时,y 的最大值 , 即必须得 a> , ∵p 且 q 为真时,可得: <a<1, ∴命题“p 且 q”为假命题时,实数 a 的取值范围为(0, )∪(1,+∞) , 17. 解: (1)∵A(1,1) , =(6,0) ,∴B(7,1) ,

∵M 是 AB 的中点,∴M(4,1) . ∵ ∵ =(2,5) ,∴D(3,6) , =(6,0) ,∴ =(6,0) ,

∴C(9,6) (2)设点 P 的坐标是(x,y) ,D(a,b) ,则 C(a+b,b) , ∵| |=| |,∴(a﹣1)2+(b﹣1)2=36(*)

由 B,D,P 共线,得

①,

由 C,P,M 共线,得



由①②化简得 a=3x﹣14,b=3y﹣2,代入(*)化简得(x﹣5)2+(y﹣1)2=4. 18. 解: (1)∵x∈(0,5)时,都有 x≤f(x)≤2|x﹣1|+1 恒成立, ∴1≤f(1)≤2|1﹣1|+1=1, ∴f(1)=1; ∵f(﹣1+x)=f(﹣1﹣x) , ∴f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)的对称轴为 x=﹣1, ∴﹣ =﹣1,b=2a. ∵当 x∈R 时,函数的最小值为 0, ∴a>0,f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)的对称轴为 x=﹣1, ∴f(x)min=f(﹣1)=0, ∴a=c. ∴f(x)=ax2+2ax+a.又 f(1)=1, ∴a=c= ,b= . ∴f(x)= x2+ x+ = (x+1)2; (2)令 g(x)=f(x)﹣ [f(x1)+f(x2)],则 g(x1)=f(x1)﹣ [f(x1)+f(x2)] = [f(x1)﹣f(x2)], g(x2)=f(x2)﹣ [f(x1)+f(x2)] = [f(x2)﹣f(x1)], ∵f(x1)≠f(x2) ∴g(x1)g(x2)<0,所以 g(x)=0 在(x1,x2)内必有一个实根, 即存在 x0∈(x1,x2)使 f(x0)= [f(x1)+f(x2)]成立. 19. 解: (1)由最值点可得 A=2,设函数的周期为 T, 由三角函数的图象特点可得 T= =π ,解得 ω =1,

又图象在 y 轴上的截距为

,∴2sinφ =



∴sinφ =

,又|φ |< ) ;

,∴φ =



∴f(x)=2sin(x+ (2)∵锐角 A 满足 ∴2sin(A+ 解得 sinA= ﹣

, )= ; ,

,∴A=

由正弦定理可得 变形可得 sinB= ∴sinB+sinC=

=

=

, , ,∴b+c=13,

,sinC= (b+c)=

再由余弦定理可得 72=b2+c2﹣2bc× , =b2+c2﹣bc=(b+c)2﹣3bc=169﹣3bc,∴bc=40, ∴△ABC 的面积 S= bcsinA= ×40× 20. 解: (1)因为:AE=CE= AE+AF+EF=CE+CB+FB+EF =10 . 所以 F 不在 BC 上,

AE+4>CE+3

所以 AE=CE AF=CB+BF 4﹣BF=BF+3 BF=

cosA=

=

所以 EF2=AE2+AF2﹣2AE×AF×cosA= 所以 EF= E 为 AC 中点时,此时小路的长度为 (2)若 E、F 分别在 AC 和 AB 上, sinA= 设 AE=x,AF=y,

所以 S2= xysinA=

S1=S 三角形 ABC﹣S2=2 所以 x+y=5

﹣S2 因为 x+y=3﹣x+4﹣y+3

=

﹣1

xy≤ 当且仅当 x=y= 时取等号

所以

=

当且仅当 x=y= 时取等号 最小值是 若 E、F 分别在 AC 和 BC 上, sinC= 设 CE=x,CF=y

同上可得



当且仅当 x=y= 取等号 若 E、F 分别在 AC 和 BC 上,最小值是

21.

解: (1)由于 f(x)=lnx,在(0,1]上是增函数,且 F(x)=

=



∵F′(x)=

,∴当 x∈(0,1]时,F′(x)>0,F(x)为增函数,

∴f(x)在(0,1]上不是“非完美增函数”; (2)∵g(x)=2x+ +alnx,

∴g′(x)=2﹣

+ =



∵g(x)是[1,+∞)上的“非完美增函数”, ∴g′(x)≥0 在[1,+∞)上恒成立,

∴g′(1)≥0,∴a≥0,

又 G(x)=

=2+

+

在[1,+∞)上是减函数,

∴G′(x)≤0 在[1,+∞)恒成立,即﹣

+

≤0 在[1,+∞)恒成立,

即 ax﹣axlnx﹣4≤0 在[1,+∞)恒成立, 令 p(x)=ax﹣axlnx﹣4,则 p′(x)=﹣alnx≤0 恒成立(∵a≥0,x≥1) , ∴p(x)=ax﹣axlnx﹣4 在[1,+∞)上单调递减, ∴p(x)max=p(1)=a﹣4≤0,解得:a≤4; 综上所述 0≤a≤4.


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