【数学】福建省厦门六中2012-2013学年高一下学期期中


厦门六中 2012—2013 学年下学期高一期中考试
参考公式: S圆柱侧 ? 2? rl

S圆锥侧 ? ?rl

S圆台侧 ? ? (r ? r ?)l

S球表 ? 4?R 2

V 柱体=Sh;V 锥体=

1 1 4 Sh; V台体 ? h( S ? SS ? ? S ?) ; V球 ? ?R 3 3 3 3

一、选择题:本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个 选项中,只有一个是正确的,把正确选项的代号填在答题卡的指定位置上.
1,直线 3 x-y+1=0 的倾斜角为 ( A. 30
0

) C. 120
0

B. 60

0

D. 150 )

0

2、空间中,垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是( A、平行 B、相交 C、异面 3.过点 (?1,3) 且平行于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为( A. x ? 2 y ? 7 ? 0 C. x ? 2 y ? 5 ? 0 B. 2 x ? y ? 1 ? 0

D、以上都有可能 )

D. 2 x ? y ? 5 ? 0 )

A 2 O 2
).
45?

4.右图是水平放置的平面图形的斜二测直观图,其原来平面图形面积是( A. 2 2 B.4 2 C. 4 D.8

B

5. 无论 m 为何实值,直线 y ? 1 ? m( x ? 2) 总过一个定点,该定点坐标为( A.(1, ?2 ) B.( ?1 , 2 ) C.( ?2 , ?1 )

D.( 2 , ?1 )

6.用单位正方块搭一个几何体,使它的主视图和俯视图如右图所示,则该几何体的体积 的最小值与最大值分别为( ) A. 9 与 13 B. 7 与 10 10 16 C. 与 D. 10 与 15

主视图

俯视图

7. 在同一直角坐标系中,表示直线 y ? ax 与 y ? x ? a 正确的是(



y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A.

B.
1

C.

D.

8.平面 ? , ? 和直线 m ,给出条件:① m ? ? ;② m ? ? ;③ m // ? ;④ ? // ? ;⑤ ? ? ? . 为使 m // ? ,应选择下面四个选项中的条件( A.①⑤ B.①④ ) C.②⑤ D.③⑤

9.两圆相交于点 A(1,3) 、B(m,-1) ,两圆的圆心均在直线 x-y+c=0 上,则 m+c 的值 为( A.3 ) B.2 C .0 D.-1

10.下面四个正方体图形中,A、B 为正方体的两个顶点,M、N、P 分别为其所在棱的 中点,能得出 AB//平面 MNP 的图形是( )

A.①②;

B.①④;

C.②③;

D.③④ D1 A1 D A 第 13 题图 B
M

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分)
11.直线 5x-2y-10=0 在 y 轴上的截距为 。

C1 B1 N C

12. 空间直角坐标系中,已知 A(1,0,2) ,B(1,-3,1) , 点 P 在 z 轴上,且|PA|=|PB|,则点 P 的坐标为 . 13.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 和 N 分别为 BC、C1C 的中点,那么异面直线 MN 与 AC 所成的角等于_________。

14.已知母线长为 6, 底面半径 为 3 的圆锥内有一球, 球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相 .. 切,则球的体积是 ________ . 15.如图,平面中两条直线 l 1 和 l 2 相交于点 O,对于平面上任意一点 M,若 x , y 分别是 M 到直线 l 1 和 l 2 的距离,则称有序非负实数对(x , y)是点 M 的“ 距离坐标 ” 。 l1 已知常数 ..p≥0, q≥0,给出下列三个命题: ①若 p=q=0,则“距离坐标”为(0,0)的点有且只有 1 个; ②若 pq=0, 且 p+q≠0,则“距离坐标”为( p, q) 的点有且只有 2 个; ③ 若 pq≠0 则“距离坐标”为 ( p, q) 的点有且只有 3 个. 上述命题中,正确的有 . (填上所有正确结论对应的序号) ·M O l2

三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分;解答应写出文字说明与演算步骤)
16.(本小题满分 13 分) 已知三角形 ABC 的顶点坐标分别为 A (4,1) ,B (1,5) ,C (?3, 2) ;
2

(1)求直线 AB 方程的一般式; (2)证明△ABC 为直角三角形; (3)求△ABC 外接圆方程。 17. (本小题满分 13 分) 如图,在矩形 ABCD 中,已知 AB=3, AD=1, E、F 分别是 AB 的两个三等分点, AC,DF 相交于点 G,建立适当的平面直角坐标系: (1)若动点 M 到 D 点距离等于它到 C 点距离的两倍,求动点 M 的轨迹围成区域的面积; (2)证明:E G ⊥ D F。 C D G A E F B

18.(本小题满分 13 分) 养路处建造无底的圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用) ,已建的 仓库的底面直径 为 12 米,高 4 米。养路处拟另建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐。 .. 现有两种方案: 一是新建的仓库的底面直径 比原来增加 4 米 (高不变) ; 二是高度增加 4 米(底 .. 面直径不变)。 (1) 分别计算按这两种方案所建的仓库的体积; (2) 分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积; (3) 哪个方案更经济些? 19.(本题 13 分)已知四棱锥 P-ABCD 的三视图和直观图如下:

(1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2) 若 E 是侧棱 PC 上的动点,是否不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE?证明你的结论. (3) 若 F 是侧棱 PA 上的动点,证明:不论点 F 在何位置,都不可能有 BF⊥平面 PAD。 20. (本小题满分 14 分) 已知圆 M: x ? y ? 4 x ? 8 y ? m ? 0 与 x 轴相切。
2 2

(1)求 m 的值;
3

(2)求圆 M 在 y 轴上截得的弦长; (3)若点 P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点,过点 P 作直线 PA、PB 与圆 M 相切,

A、B 为切点。求四边形 PAMB 面积的最小值。
21.(本小题满分 14 分) 如图, AB 为圆 O 的直径,点 E 、 F 在圆 O 上, AB // EF ,矩形 ABCD 所在的平 面和圆 O 所在的平面互相垂直,且 AB ? 2 , AD ? EF ? 1 . (1)求证: AF ? 平面 CBF ; (2)设 FC 的中点为 M ,求证: OM // 平面 DAF ; (3)设平面 CBF 将几何体 EFABCD 分成的两个锥体 的体积分别为 VF ? ABCD , VF ?CBE , 求 VF ? ABCD : VF ?CBE .
A
O C

D

B

M
E

F

参考答案
一、选择题:BDACD;CCBAA 二、填空题:-5; (0,0,-3) ;60; 4 3? ;①②
16、解: (1)直线 AB 方程为: y ? 1 ? x-4 ,化简得: 4 x ? 3y-19=0 ;…………4 分 5-1 1-4 (2) kAB ? 5 ? 1 ? - 4 ………2 分; kBC ? 5 ? 2 ? 3 ,∴ kABkBC =-1 ,则 AB ? BC 1-4 3 1-(-3) 4 ∴△ABC 为直角三角形…………8 分
1 3? (3)∵△ABC 为直角三角形,∴△ABC 外接圆圆心为 AC 中点 M ? ? , ? ,……10 分 ?2 2?

半径为 r=

AC 2

=

2 2 (4+3) +( 1-2) 5 2 ,…………12 分 = 2 2

1 ? ? 3 ? 25 …………13 分 ∴△ABC 外接圆方程为 ? ? x- ? + ? y- ? = 2 ? 2? ? 2? y 17.解:以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系。 D 则 A(0,0) .B(3,0) .C(3,1) .

2

2

C

D(0,1) .E(1,0) .F(2,0) 。……1 分
4

G A E F B x

(1)设 M(x,y), 由题意知 MD =2 MC ……2 分
2 ∴ x 2 +(y-1) =2

? x-3?

2

2 ……3 分 +(y-1)

2 两边平方化简得: x 2 +y2 -8x-2y+13=0 ,即 ? x-4 ?2 +(y-1) =4 …………5 分

即动点 M 的轨迹为圆心(4,1) ,半径为 2 的圆, ∴动点 M 的轨迹围成区域的面积为 4? …………6 分 (2)由 A(0,0) .C(3,1)知直线 AC 的方程为:x-3y=0,…………7 分 由 D(0,1) .F(2,0)知直线 DF 的方程为:x+2y-2=0,…………8 分

6 ? x? , ? ? x ? 3 y ? 0, ? 5 由? 得? ? x ? 2 y ? 2 ? 0. ? y ? 2 . ? 5 ?

故点 G 点的坐标为 ( , ) 。…………10 分

6 2 5 5

又点 E 的坐标为(1,0) ,故 k EG ? 2 , k DF ? 所以 k DF ? k EG ? ?1。 即证得: EG ? DF

1 2

…………12 分

…………13 分

18. ( 1 ) 如 果 按 方 案 一 , 仓 库 的 底 面 直 径 变 成 16M, 则 仓 库 的 体 积

V1?

1 S 3

?h ?

1 256 …………2 分 ? 16 ? ?? ? ? ? ? 4 ? ? (M 3 ) 3 3 ? 2 ?

2

如果按方案二,仓库的高变成 8M, 体积

V

2

?

1 ? h ? 1 ? ? ? ? 12 ? S ? ? 3 ?2? 3

2

?8 ?

288 ? ( M 3 ) ………4 分 3

(2)如果按方案一,仓库的底面直径变成 16M,半径为 8M., 锥的母线长为 l ? 82 ? 42 ? 4 5 ………6 分 则仓库的表面积

S

1

? ? ? 8 ? 4 5 ? 32 5? ( M 2 ) …………7 分

如果按方案二,仓库的高变成 8M., 棱锥的母线长为 l ? 82 ? 62 ? 10 ,………9 分 则仓库的表面积 (3)

S

2

? ? ? 6 ?10 ? 60? (M 2 ) …………10 分

V V
2

1

,S2

S ?方案二比方案一更加经济 ……
1

…13 分

19[解析] (1)由三视图可知,四棱锥中,PC⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形, 1 1 2 PC=2,∴VP-ABCD= · PC· S 底= × 2× 1= .………3 分 3 3 3 (2)不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE 成立.………4 分 连接 AC,∵BD⊥AC,BD⊥PC,且 AC ? PC=C ∴BD⊥平面 PAC,………7 分

5

当 E 在 PC 上运动时, AE ? 面PAC ,∴BD⊥AE 恒成立.………8 分 (3)用反证法:假设 BF⊥平面 PAD,……9 分

DA ? 面PAD, ? BF ? AD


AD ? AB,AB ? BF=B? AD ? 面PBC,PA ? 面PAB? PA ? DA ……11 分
PC ? 面ABCD,AD ? 面ABCD ? PC ? AD, AD ? DC,DC ? PC=C, ? AD ? 面PDC , PD ? 面PAD, ? AD ? PD …12 分这与

Rt△PAD 中∠PDA 为锐角矛盾.∴ BE 不可能垂直于平面 SCD……13 分 20、解: (1)令 y ? 0 ,有 x ? 4 x ? m ? 0 ,由题意知, ? 16 ? 4m ? 0,? m ? 4
2

即 m 的值为 4. …………4 分 (2)设

M 与 y 轴交于 E(0, y1 ), F (0, y2 ) ,令 x ? 0 有 y 2 ? 8 y ? 4 ? 0 ( ? ) ,

则 y1 , y2 是( ? )式的两个根,则 | y1 ? y2 |? 64 ?16 ? 4 3 。 所以

M 在 y 轴上截得的弦长为 4 3 。…………9 分

(3)由数形结合知: S PAMB ? 2 S PAM ? 2 ?

1 MB ? PB ? 4 PB ? 4 PM 2 ? 16 ,…10 分 2

PM 的最小值等于点 M 到直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 的距离…………11 分 即 PM min ?

6 ? 16 ? 8 ? 6, …………12 分 5

?SPAMB ? 4 36 ?16 ? 8 5 ,即四边形 PAMB 的面积的最小值为 8 5 。…………14 分
21. (1)证明: ? 平面 ABCD ? 平面 ABEF , CB ? AB , 平面 ABCD ? 平面 ABEF = AB ,? CB ? 平面 ABEF ,
C

? AF ? 平面 ABEF ,? AF ? CB ,……… 2 分
又? AB 为圆 O 的直径,? AF ? BF ,

D

B

M E

? AF ? 平面 CBF 。 …………………… 4 分
(2)设 DF 的中点为 N ,则 MN //

O

1 1 CD ,又 AO // CD , 2 2

A

F

则 MN // AO , MNAO 为平行四边形,

…………………… 6 分

? OM // AN ,又 AN ? 平面 DAF , OM ? 平面 DAF ,

? OM // 平面 DAF 。

…………………… 9 分

(3)过点 F 作 FG ? AB 于 G ,? 平面 ABCD ? 平面 ABEF ,

1 2 ? FG ? 平面 ABCD ,?VF ? ABCD ? S ABCD ? FG ? FG , ……… ……… 10 分 3 3
6

? CB ? 平面 ABEF , 1 1 1 1 ?VF ?CBE ? VC ? BFE ? S ?BFE ? CB ? ? EF ? FG ? CB ? FG ,…………… 12 分 3 3 2 6

?VF ? ABCD : VF ?CBE ? 4 : 1 .

………… ……

14 分

7


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