2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案:第二章 §2 导数的概念及其几何意义

§ 2 导数的概念及其几何意义 [对应学生用书P16] 导数的概念 一质点按规律 s=2t2+2t 做直线运动(位移单位:米,时间单位:秒). 问题 1:试求质点在前 3 秒内的平均速度. 提示:8 米/秒. 问题 2:试求质点在 3 秒时的瞬时速度. Δs s?3+Δt?-s?3? Δs 提示: = =14+2Δt,当 Δt→0 时, →14,故质点在 3 秒时的瞬时速 Δt Δt Δt 度为 14 米/秒. 问题 3:对于函数 y=f(x),当 x 从 x0 变到 x1 时,求函数值 y 关于 x 的平均变化率. Δy f?x0+Δx?-f?x0? 提示: = . Δx Δx 问题 4:当 Δx 趋于 0 时,平均变化率趋于一个常数吗? 提示:是. 导数的概念 1.定义:设函数 y=f(x),当自变量 x 从 x0 变到 x1 时,函数值从 f(x0)变到 f(x1),函数值 Δy f?x1?-f?x0? f?x0+Δx?-f?x0? y 关于 x 的平均变化率为 = = ,当 x1 趋于 x0,即 Δx 趋于 0 时, Δx Δx x1-x0 如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数 y=f(x)在 x0 点的瞬时变化率.在 数学中,称瞬时变化率为函数 y=f(x)在 x0 点的导数. 2.记法:函数 y=f(x)在 x0 点的导数,通常用符号 f′(x0)表示,记作 f′(x0)=lix → mx 1 0 f?x1?-f?x0? f?x0+Δx?-f?x0? =li m . → Δx Δx 0 x1-x0 导数的几何意义 Δy 问题 1:函数 y=f(x)在[x0,x0+Δx]的平均变化率为 ,你能说 Δx 出它的几何意义吗? 提示:表示过 A(x0,f(x0))和 B(x0+Δx,f(x0+Δx))两点的直线的 斜率. 问题 2:当 Δx 变化时,直线如何变化? 提示:直线 AB 绕点 A 转动. 问题 3:当 Δx→0 时,直线变化到哪里? 提示:直线过点 A 与曲线 y=f(x)相切位置. 导数的几何意义 1.割线的定义: Δy 函数 y=f(x)在[x0, x0+Δx]的平均变化率为 , 它是过 A(x0, f(x0))和 B(x0+Δx, f(x0+Δx)) Δx 两点的直线的斜率,这条直线称为曲线 y=f(x)在点 A 处的一条割线. 2.切线的定义: 当 Δx 趋于零时,点 B 将沿着曲线 y=f(x)趋于点 A,割线 AB 将绕点 A 转动最后趋于直 线 l,直线 l 和曲线 y=f(x)在点 A 处“相切”,称直线 l 为曲线 y=f(x)在点 A 处的切线. 3.导数的几何意义: 函数 y=f(x)在 x0 处的导数,是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率. 1.函数 f(x)在点 x0 处的导数就是函数的平均变化率在当自变量的改变量趋于零时的极 限,若 li m → Δx 0 Δy 存在,则函数 y=f(x)在点 x0 处就有导数. Δx 2.f′(x0)的几何意义是曲线 y=f(x)在切点(x0,f(x0))处的切线的斜率. [对应学生用书P17] 求函数在某点处的导数 4 [例 1] 求函数 y= 2在 x=2 处的导数. x Δy Δy [思路点拨] 由所给函数解析式求 Δy=f(Δx+x0)-f(x0);计算 ;求 li m . Δx Δx→0 Δx 4 [精解详析] ∵f(x)= 2, x 4 ∴Δy=f(2+Δx)-f(2)= -1 ?2+Δx?2 -4Δx-?Δx?2 = , ?2+Δx?2 ∴ Δy -4-Δx = , Δx ?2+Δx?2 Δx 0 ∴li m → -4-Δx Δy =li m 2=-1,∴f′(2)=-1. Δx Δx→0 ?2+Δx? [一点通] 由导数的定义,求函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的方法: ①求函数的增量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0); Δy f?x0+Δx?-f?x0? ②求平均变化率 = ; Δx Δx Δy ③取极限,得导数 f′(x0)=liΔm . x→0 Δx 1.函数 y=x2 在 x=1 处的导数为( A.2x C.2 解析:y=x2 在 x=1 处的导数为: ?1+Δx?2-1 f′(1)=liΔm =2. x→0 Δx 答案:C ) B.2+Δx D.1 2.设函数 f(x)=ax+b,若 f(1)=f′(1)=2,则 f(2)=________. →0 解析:函数 f(x)=ax+b 在 x=1 处的导数为 f′(1)=liΔxm f?1+Δx?-f?1? →0 =liΔxm Δx [a?1+Δx?+b]-?a+b? aΔx →0 =liΔxm =a,又 f′(1)=2,得 a=2,而 f(1)=2,有 a+b=2, Δx Δx 于是 b=0,所以 f(x)=2x,有 f(2)=4. 答案:4 1 3.求函数 f(x)=x- 在 x=1 处的导数. x 解:Δy=(1+Δx)- 1 1 Δx -?1- ?=Δx+ , 1+Δx ? 1? 1+Δx Δx Δx+ 1 + Δx Δy 1 = =1+ , Δx Δx 1+Δx 1 Δy li m ? ∴liΔm = Δx→0 1+1+Δx?=2, x→0 Δx ? ? 从而 f′(1)=2. 求曲线的切线方程 [例 2] 已知曲线 y=3x2-x,求曲线上的点 A(1,2)处的切线斜率及切线方程. [思路点拨] 利用导数的几何意义求出切线的斜率,进而求得切线方程. [精解详析] 因为 2 2 Δy 3?1+Δx? -?1+Δx?-?3×1 -1? = =5+3Δx, Δx Δx 当 Δx 趋于 0 时,5+3Δx 趋于 5,所以曲线 y=3x2-x 在点 A(1,2)处的切线斜率是 5. 所以切线方程为 y-2=5(x-1), 即 5x-y-3=0. [一点通]

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