同济大学概率统计电子教案_图文

§1.4 概率的公理化定义与性质

古典概率与几何概率都是在等可能性的基础上
建立起来的,因而它们的定义与使用都有很大的局

限性。概率的统计定义涉及频率的稳定性,由此计
算概率往往涉及大量的重复试验,这是很不现实的。 简单地把频率作为概率,虽然也不失为一种较有效 的方法,但是它有随机波动性。例如,两人各抛同 一枚硬币10000次,一人发现了5002次正面,另一 人发现了5010次正面,那么,在0.5002与0.5010这 两个频率中究竞用哪一个作为概率呢?

人们经过研究发现,不论是古典概率还是几何
概率或频率都具有下列三条基本性质:

(I) 非负性:对于任意一个事件A, P( A) ? 0 ;
(II) 规范性:P(?) ? 1;

(III)可加性:当事件A,B互不相容时,
P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

在上述三条性质的基础上,数学家们采用抽象
化的方法给出了概率的一般定义。

定义(概率的公理化定义) 给定一个随机试 验, ? 是它的样本空间,对于任一事件A,规定一 个实数,记作P(A)。如果P(· )满足下列三条公理,

那么就称P(A)为事件A的概率。

P(A) ? 0 ; 公理1 非负性:对于任意一个事件A,
公理2 规范性:P ( ? ) ? 1 ;
公理3 可加性:当可列无限个事件 A 1 , ? , A n , ?

两两互不相容时,

P ( A1 ? A 2 ? ? ) ? P ( A1 ) ? P ( A 2 ) ? ?

下面我们将从这三条公理出发来推导概率的一些
重要性质。

性质1: P ( ? ) ? 0 性质2 :(有限可加性)
两互不相容时,

当n个事件 A1 , ? , A n 两

P ( A1 ? A 2 ? ? ) ? P ( A1 ) ? ? ? P ( A n )
性质3: 对于任意一个事件A: P ( A ) ? 1 ? P ( A )

性质4:

对于任意的两个事件A和B,有

P (B ? A) ? P (B ) ? P (A B )
当事件A,B满足 A ? B 时,有

P ( B ? A ) ? P ( B ) ? P ( A )且 P ( A ) ? P ( B )
性质5: 对于任意一个事件A,P ( A ) ? 1 。

性质6:(加法公式) 对任意两个事件A,B:

P (A ? B ) ? P (A) ? P (B ) ? P (A B )

加法公式可以推广到更多个事件上去。例如,对 于任意三个事件A,B,C:
P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( AB) ? P( AC) ? P( BC) ? P( ABC)

一般地,对于任意n个事件 ,用数学归纳法不难 证明
P( ? Ai ) ? ? P( Ai ) ?
i ?1 i ?1 n n

1?i ? j ? n

? P( A A ) ? ? P( A A A )
i j 1?i ? j ? k ? n i j k

? ? ? (?1) n ?1 P( A1 ? An )

例1 某种饮料浓缩液每箱装12听,不法商人在 每箱中放入4听假冒货,今质检人员从一箱中抽取3 听进行检测,问查出假冒货的概率为多少?

解 设事件A表示“抽取的3听中至少有1听是假
冒货”。 记事件 Ai 表示“抽取的3听中恰有 i 听是

假冒货”,由古典概率的计算公式得到:
1 2 2 1 C4 C8 112 C4 C8 48 P( A1 ) ? 3 ? , P( A2 ) ? 3 ? , C12 220 C12 220 3 0 C4 C8 4 P( A3 ) ? 3 ? , C12 220

由于事件 A1, A2 , A3 两两互不相容,且 A ? A1 ? A2 ? A3 因此,由概率的有限可加性推得
41 P( A) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? 55

此题也可用另一种解法:设事件A的逆事件 A
表示“抽取的3听中没有1听是假冒货”。由古典概

率的计算公式得到
0 3 C4 C8 56 41 P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? 3 ? 1 ? ? C12 220 55

例2

已知事件A、B、C满足 P ( A ) ? 0.3, P ( B ) ? 0.4,
P ( AC ) ? 0.25, P ( AB ) ? 0, P ( BC ) ? 0.2

求事件A、B、C至少有一个发生和事件A、B、C均 不发生的概率。(0.75 例3 0.25) 已知 P ( A ) ? 0 . 3 , P ( B ) ? 0 . 6 ,试在下列两

种情形下分别求出 P ( A ? B ) 与 P ( B ? A ) 。 (1)事件A,B互不相容;(0.3,0.6) (2)事件A,B有包含关系。 (0,0.3)

§1.5 条件概率与随机事件的独立性

一、条件概率

首先我们来考察一个简单的例子。
例1 某家电商店库存有甲、乙两联营厂生产的、

相同牌号的冰箱100台。甲厂生产的40台中有5台次
品;乙厂生产的60台中有10台次品。今工商质检队

随机地从库存的冰箱中抽检1台.试求抽检到的1台
是次品(记为事件A)的概率有多大?

其答案是

P( A) ? 0.15

如果商店有意让质检队从甲厂生产的冰箱中抽
检1台,那么,这1台是次品的概率有多大? 由于样

本空间不再是全部库存的冰箱,而是缩小到甲厂生
产的冰箱,因此,事件A的概率为
P( A) ? 0.125

这两个概率不相同是容易理解的,因为在第二

个问题中所抽到的次品必是甲厂生产的,这比第一
个问题多了一个“附加条件”。

设事件B表示“抽到的产品是甲厂生产的”。则

第二个问题可看作是在“已知B发生”的附加条件下,
求事件A的概率。这个概率便是一个条件概率,记

作 P( A | B) ,它表示“在已知B发生的条件下,事件
A发生的概率”。

仔细观察后发现,P( A | B)与 P( AB), P( B) 之间有
如下关系:
P( AB) P( A | B) ? ? 0.125 P( B) 其中, P( AB) ? 0.05, P( B) ? 0.4

下面我们给出条件概率的定义。
定义: 给定一个随机试验, ? 是它的样本空

间。对于任意两个事件A,B,其中P(B)>0,称
P ( AB ) P( A | B) ? P(B)

为在已知事件B发生的条件下事件A的条件概率。

由条件概率的定义可以得到概率的乘法公式:
当P(B)>0时,
P( AB) ? P( A | B) P( B)

不难验证,条件概率 P(? | B) 满足概率的公理

化定义中的三条公理,即
(1)非负性:对任意一个事件A,
P( A | B) ? 0

(2)规范性: P(? | B) ? 1 。

(3)可列可加性:当可列个事件两两互不相
容时
P( ? Ai | B) ? ? P( Ai | B)
i ?1 i ?1 ? ?

对于条件概率也可由概率的三条基本性质导出
其它一些性质,例如
P(? | B) ? 0

P( A | B) ? 1 ? P( A | B)
P( A ? B | C ) ? P( A | C ) ? P( B | C ) ? P( AB | C )

若还有 P( A) ? 0 , 则也可定义 P( B | A) ,这时

P( AB) ? P( A | B) P( B) ? P( B | A) P( A)

乘法公式可以推广到更多个事件上去。例如,
当P(AB)>0(这保证 P( A) ? P( AB) ? 0 )时:
P( ABC) ? P( A) P( B | A) P(C | AB)

一般地,当 n ? 2, P( A1 ? An?1 ) ? 0 时,可得:
P( A1 ? An ) ? P( A1 ) P( A2 | A1 )?P( An | A1 ? An?1 )

用数学归纳法很容易可以验证。

例4

某建筑物按设计要求使用寿命超过50年

的概率为0.8,超过60年的概率为0.6。该建筑物经
历了50年之后,它将在10年内倒塌的概率有多大?



设事件A表示“该建筑物使用寿命超过50

年”,事件B表示“该建筑物使用寿命超过60年”。

按题意有
P( A) ? 0.8 P( B) ? 0.6

由于 B ? A ,因此, P( AB) ? P( B) ? 0.6 。于是
所求条件概率为
P( B | A) ? 1 ? P( B | A) P( AB) 0.6 ? 1? ? 1? ? 0.25 P( A) 0.8

1、 设某光学一起厂制造的透镜,第一次落
下打破的概率为0.5,若第一次落下未打破,第二

次落下打破的概率为0.7,若第二次落下未打破,
第三次落下打破的概率为0.9,试求三次落下而未

打破的概率。( 3/200 )
2、 从前 N 个自然数中随机地选三个数 a1 , a2 , a3

(不允许重复),令 A ? {a1 ? a3 ? a2}, B ? {a1 ? a2}
求 P( A | B). (1/3)

下面我们讨论一个卜里耶的摸球模型,这个 模型是一个很典型的数学模型。

例5 (摸球模型)今有一个装有a个红球和b

个白球的罐子。现从中摸一个球,再将球放回,
并又放入同色球r个。这样进行n次后,问先连着

出现m次红球,再连着出现n-m次白球的概率。

解 设事件 Ai 表示“顾客在第

次摸球时发现红

球”,则 Ai 表示“顾客在第 次摸球时发现白球”。 a P ( A1 ) ? , a?b a?r P ( A2 | A1 ) ? , a?b?r
P ( Am | A1
P( Am ?1 | A1

a ? (m ? 1)r Am ?1 ) ? a ? b ? (m ? 1)r
b Am ) ? , a ? b ? mr

P( Am? 2 | A1

b?r Am Am ?1 ) ? a ? b ? (m ? 1)r b ? (n ? m ? 1)r An ?1 ) ? a ? b ? (n ? 1)r

P( An | A1

Am Am ?1

由概率的乘法公式得,所要求的概率是:

a a?r a ? (m ? 1)r P( A1 ? Am Am?1 ? An ) ? ? ??? a?b a?b?r a ? b ? (m ? 1)r b b?r b ? (n ? m ? 1)r ? ? ??? a ? b ? m r a ? b ? (m ? 1)r a ? b ? (n ? 1)r

注意这个答案只与红球与白球出现的次数有关,
而与出现的顺序无关。比如,试验共进行了3次,要

计算三个球中有一个白球的概率,则只需把 n ? 3,
m ? 2 带入即可得

a a?r b P( A) ? ? ? a ? b a ? b ? r a ? b ? 2r

特别地,取 r ? 0 则是有放回的摸球,取 r ? ?1 则是无放回的摸球。

二、随机事件的独立性 在一个随机试验中,A、B是两个事件,一般情 形下它们是否发生是相互影响的,这表现在
P( A | B) ? P( A) 或 P( B | A) ? P( B)

但是,在有些情形下,
P( A | B) ? P( A) 或 P( B | A) ? P( B)

成立。在这种情形下,我们给出下列随机事件的独

立性定义:

定义:

对于任意两个事件A、B,如果等式
P( AB) ? P( A) P( B)

成立,那么称事件A、B相互独立。
定义: 对于任意三个事件A、B、C,如果四

个等式

P ( AB ) ? P ( A) P ( B ) P ( AC ) ? P ( A) P (C ) P ( BC ) ? P ( B ) P (C ) P ( ABC ) ? P ( A) P ( B ) P (C )

都成立,那么称事件A、B、C相互独立。

这里我们作四点说明:

(1)在定义中如果 A、B、C只满足前三个等
式,称事件 A、B、C两两独立。

(2)对于任意n个事件 A1 ? An ,当且仅当对任

意一个 k ? 2,3,?, n,任意的 1 ? i1 ? ? ? ik ? n ,等式
P( Ai1 ? Aik ) ? P( Ai1 ) ??? P( Aik )

都成立时,称事件 A1 ? An 相互独立。

这里要求成立的等式总数为
? n? ? n? ? n? ? n? ? n? n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 ? 1 ) ? ? ? 2 ? n ?1 ? 2? ? 3? ? n? ? 0? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

(3)对于多个事件的相互独立性,可以证明类

似于前面定理的结论都成立。
(4)在具体应用问题中,独立性可以根据实际

问题来判定。

定理1 如果 P( A) ? 0 ,那么两个事件A、B相互
独立的充分必要条件是:P( B | A) ? P( B) ;

如果 P( B) ? 0 ,那么两个事件A、B相互独立
的充分必要条件是 P( A | B) ? P( A) 。

定理2

下列四个命题是等价的:

(1)事件 A、B 相互独立;

(2)事件 A 、B 相互独立;
(3)事件 A、B 相互独立;

(4)事件 A 、B 相互独立。

例6

甲、乙、丙三部机床独立工作,有一个工

人照管,某段时间内它们不需要工人照管的概率分

别为0.9、0.8、0.85;求在这段时间内
(1)有机床需要工人照管的概率;

(2)至少有两台需要工人照管的概率;



设事件 A、B、C 分别表示“在某段时间

机床甲、乙、丙不需要工人照管”,由题意可知,
A、B、C 相互独立,且

P( A) ? 0.9, P( B) ? 0.8, P(C) ? 0.85

因此,(1)有机床需要工人照管的概率为
P( ABC) ? 1 ? P( ABC) ? 1 ? P( A) P( B) P(C ) ? 1 ? 0.9 ? 0.8 ? 0.85 ? 0.388

(2)至少有两台需要工人照管的概率为

(2)至少有两台需要工人照管的概率为
P( AB C ? A BC ? A B C ? A B C ) ? P( A B ? A C ? B C ) ? P( A B ) ? P( A C ) ? P( B C ) ? 2 P( A B C ) ? 0.1? 0.2 ? 0.1? 0.15 ? 0.2 ? 0.15 ? 2 ? 0.1? 0.2 ? 0.15 ? 0.059

例7

现有4箱产品,其中一箱是甲厂生产的,

一箱是乙厂生产的,一箱是丙厂生产的,剩余的一
箱混有甲、乙、丙三个厂生产的产品;现随机地取

出一箱,设事件A表示“取到的这箱中有甲厂生产
的产品”,事件B表示“取到的这箱中有乙厂生产

的产品”,事件C表示“取到的这箱中有丙厂生产
的产品”,问 A、B、C 是否相互独立?

解 由已知条件可知
1 1 1 P( A) ? 、P( B) ? 、P(C ) ? 2 2 2 1 1 P( AB) ? P( AC) ? P( BC) ? P( ABC) ? 4 4

所以
P( AB) ? P( A) P( B)、P( BC) ? P( B) P(C )、 P( AC) ? P( A) P(C )、P( ABC) ? P( A) P( B) P(C )

由前面的定义知: A、B、C 两两独立,但不相互

独立。

例8 已知每个人的血清中含有肝炎病毒的概

率为0.4%且他们是否含有肝炎病毒是相互独立的,
今混合100个人的血清,试求混合后的血清中含有

肝炎病毒的概率。
解 设事件 A 表示“混合后的血清中含有肝炎

病毒”,事件 Ai 表示“第 i 个人的血清中含有肝
炎病毒”,则
A ? A1 ? A2 ??? A100

所以
P( A) ? P( A1 ? A2 ? ? ? A100 ) ? 1 ? P( A1 A2 ? A100 ) ? 1 ? ? P( Ai ) ? 1 ? (1 ? 0.04)100 ? 0.33
i ?1 100

从此例中我们可以看到,虽然每个人的血清中

含有肝炎病毒的概率都很小,但是,把许多人的血
清混合后,其中含有肝炎病毒的概率却很大;换句

话说,小概率事件有时会产生大效应,在实际问题
中应该引起足够的重视。

例6

设事件 A , B , C 满足 B ? A , B ? C , P ( A ) ? 0 . 8 ,

P ( A C ) ? 0 . 6 , P ( A ? B ) ? 0 . 5 ,则 P ( A ? B ) ?
P (C | A ? B ) ? , P ( AB | C ) ? .

,

例7 设 0 ? P ( A ) ? 1 , 0 ? P ( B ) ? 1 ,且

P(A | B ) ? P(A | B) ? 1
则下列选项中必定成立的是( ) (1)事件 A 和事件 B 互不相容; (2)事件 A 是事件 B 对立事件; (3)事件 A 和事件 B 不独立; (4)事件 A 和事件 B 相互独立。 答案:(0.8,0.75,0)(4)

三、独立性在可靠问题中的应用 对于一个元件,它能正常工作的概率,称为它 的可靠性。元件组成系统,系统正常工作的概率称 为该系统的可靠性。随着近代电子技术的迅猛发展, 关于元件和系统的可靠性的研究一发展成为一门新

的学科:可靠性理论。
这里我们通过一些例子来说明有关的概念。

例8

如果构成系统的每个元件的可靠性均为

p ,其中 0 ? p ? 1 ,且各元件能否正常工作是相互

独立的,试求下面系统的可靠性。
(1) 1 2 n

1
1 1

2
2 2

n
n n

(2)

解(1) 每条通路能正常工作,当且仅当该

通路上各元件正常工作,故每条通路上的可靠性
n p ? p 为: 1 ,即每条通路上发生故障的可能性 n p ? 1 ? p 为: 2 ,由于系统由两条通路并联而成,

两条通路上同时发生故障的概率为 (1 ? p n ) 2 因此上

述系统的可靠性为:
R1 ? 1 ? (1 ? p n )2 ? p n (2 ? p n )

(2)每一对并联元件的可靠性为: p1 ? p(2 ? p) ,
系统由每对并联元件串联而成,故其可靠性为:
R2 ? p ? pn (2 ? p)n
n 1

虽然两个系统都是由2n个元件组成,但比较系
统(1)和(2)的可靠性可知,系统(2)的可靠性

要大于系统(1)的可靠性,因为当 n ? 2 时,有
2 ? pn ? (2 ? p)n

四、贝努利概型与二项概率

如果在一个试验中,只关心某个事件A是否发
生,那么称这个试验为贝努利试验,相应的数学模

型称为贝努利概型。
通常记 P( A) ? p(0 ? p ? 1) ,因此, P( A) ? 1 ? p 。

如果把贝努利试验独立地重复做n次,这n个试验合
在一起称为n重贝努利试验。在n重贝努利试验中, 主要研究事件A发生的次数。

设事件 Bk 表示“n重贝努利试验中事件A恰好
发生了 k (k ? 0,1, , n) 次”,通常记 P( Bk ) 为 Pn (k ) ,

由于n个试验是相互独立的,因此,
? n? k n?k ? Pn (k ) ? ? p ( 1 ? p ) , k ? 0,1,2,?, n ?k ? ? ?



k k n?k n P ( k ) ? C p ( 1 ? p ) ? [( 1 ? p ) ? p ] ?1 ? n ? n k ?0 k ?0

n

n

n [( 1 ? p ) ? p ] 因此,称 Pn (k ) 为二项概率,它恰是 的二

项式展开中第 k (k ? 0,1,?, n) 项。

例1

一份试卷上有100道单项选择题,每一道

题4个答案,其中只有一个是正确的,现有一个学生
来做题,试问他考一百分的概率是多大?

解 这是一个贝努利试验, 其中 1 n ? 100 , p ? 4 如果他想考一百分,他必须100道题全对才可以,所

?100? ? 1 ? P )?? 100 (100 ?100? ??? 4 ? ? ? ? ?
100

1 ? 1? ? ?1 ? ? ? 100 ? 4? 4

0

例2

在规划一条河流的洪水控制系统时,需要

研究出现特大洪水的可能性。假定该处每年出现特

大洪水的概率都是0.1,且特大洪水的出现是相互独
立的,试求今后10年内至少出现两次特大洪水的概

率。

解 设事件 A 表示“今后10年内至少出现两次特
大洪水”,由于我们只关心“出现”和“不出现”

两种情况,因此,可以视其为贝努利试验,其中
n ? 10, p ? 0.1 ,由二项概率计算公式可得

P( A) ? 1 ? P 10 (0) ? P 10 (1) ? 1 ? C ? 0.1 ? (1 ? 0.1) ? C ? 0.1 ? (1 ? 0.1)
0 10 0 10 1 10 1 9

? 1 ? 0.35 ? 0.39 ? 0.26


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