2019学年高中数学第三章概率3.1事件与频率3.1.3频率与概率教学案新人教B版必修20

3.1.3 频率与概率
预习课本 P95~97,思考并完成以下问题 (1)什么叫事件 A 的概率?其范围是什么?

(2)频率和概率有何关系?

[新知初探]

1.概率的统计定义



n

次重复进行的试验中,事件

A

m 发生的频率n,当

n

很大时,总是在某个常数附近摆

动,随着 n 的增加,摆动幅度越来越小,这时就把这个常数叫做事件 A 的概率.记作 P(A),

范围 0≤P(A)≤1.

2.频率与概率的关系

概率可以通过频率来“测量”或者说频率是概率的一个近似,概率从数量上反映了一个

事件发生的可能性的大小.

[小试身手]

1.某人将一枚硬币连抛 20 次,正面朝上的情况出现了 12 次,若用 A 表示事件“正面

向上”,则 A 的( )

A.频率为35

B.概率为35

C.频率为 12

D.概率接近35

答案:A

2.某医院治疗一种疾病的治愈率为15,前 4 个病人都没有治好,第 5 个病人的治愈率为

()

1

A.1

B.5

C.45

D.0

答案:B

1

3.某商品的合格率为 99%,某人购买这种商品 100 件,他认为这 100 件商品中一定有 1 件是不合格的,这种认识是________的(填“合理”或“不合理”).
答案:不合理
概率的定义 [典例] 解释下列概率的含义. (1)某厂生产产品的合格率为 0.9; (2)一次抽奖活动中,中奖的概率为 0.2. [解] (1)“某厂生产产品的合格率为 0.9”.说明该厂产品合格的可能性为 90%,也就 是说 100 件该厂的产品中大约有 90 件是合格的. (2)“中奖的概率为 0.2”说明参加抽奖的人中有 20%的人可能中奖,也就是说,若有 100 人参加抽奖,约有 20 人中奖.
三个方面理解概率 (1)概率是随机事件发生可能性大小的度量,是随机事件 A 的本质属性,随机事件 A 发 生的概率是大量重复试验中事件 A 发生的频率的近似值. (2)由概率的定义我们可以知道随机事件 A 在一次试验中发生与否是随机的,但随机中 含有规律性,而概率就是其规律性在数量上的反映. (3)正确理解概率的意义,要清楚与频率的区别与联系,对具体的问题要从全局和整体 上去看待,而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件. [活学活用] 1.下列说法正确的是( ) A.由生物学知道生男、生女的概率均约为 0.5,一对夫妇先后生两小孩,则一定为一 男一女 B.一次摸奖活动中,中奖概率为 0.2,则摸 5 张票,一定有一张中奖 C.10 张票中有 1 张奖票,10 人去摸,谁先摸则谁摸到奖票的可能性大 D.10 张票中有 1 张奖票,10 人去摸,无论谁先摸,摸到奖票的概率都是 0.1 解析:选 D 一对夫妇生两小孩可能是(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),所 以 A 不正确;中奖概率为 0.2 是说中奖的可能性为 0.2,当摸 5 张票时,可能都中奖,也可 能中一张、两张、三张、四张,或者都不中奖,所以 B 不正确;10 张票中有 1 张奖票,10 人去摸,每人摸到的可能性是相同的,即无论谁先摸,摸到奖票的概率都是 0.1,所以 C 不 正确,D 正确.
2

2.某工厂生产的产品合格率是 99.99%,这说明( ) A.该厂生产的 10 000 件产品中不合格的产品一定有 1 件 B.该厂生产的 10 000 件产品中合格的产品一定有 9 999 件 C.合格率是 99.99%,很高,说明该厂生产的 10 000 件产品中没有不合格产品 D.该厂生产的产品合格的可能性是 99.99% 解析:选 D 合格率是 99.99%,是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小,即合格 的概率.

利用频率与概率的关系求概率

[典例] 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管 1 000 支,该公司对这些灯管的使用

寿命(单位:小时)进行了统计,统计结果如表所示:

分组

[500,900)

[900,1 100)

[1 100,1 300)

频数

48

121

208

频率

[1 300,1 500)

[1 500,1 700)

[1 700,1 900)

[1 900,+∞)

223

193

165

42

(1)求各组的频率; (2)根据上述统计结果,估计灯管使用寿命不足 1 500 小时的概率. [解] (1)频率依次是:0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042. (2)样本中寿命不足 1 500 小时的频数是 48+121+208+223=600, 所以样本中寿命不足 1 500 小时的频率是1600000=0.6. 即灯管使用寿命不足 1 500 小时的概率约为 0.6.
随机事件概率的理解及求法 (1)理解:概率可看作频率理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性 的大小.当试验的次数越来越多时,频率越来越趋近于概率.当次数足够多时,所得频率就 近似地看作随机事件的概率. (2)求法:通过公式 fn(A)=nnA=mn计算出频率,再由频率估算概率. [活学活用] 国家乒乓球比赛的用球有严格标准,下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次产品的
3

抽样检测,结果如表所示: 抽取球数目 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数目 45 92 194 470 954 1 902 优等品频率
(1)计算表中优等品的各个频率; (2)从这批产品中任取一个乒乓球,质量检测为优等品的概率约是多少? 解:(1)如表所示:
抽取球数目 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数目 45 92 194 470 954 1 902 优等品频率 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951 (2)根据频率与概率的关系,可以认为从这批产品中任取一个乒乓球,质量检测为优等 品的概率约是 0.95.

[层级一 学业水平达标]

1.抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷 1 000 次,那么第 999 次出现正面朝上的

概率是( )

A.9199

B.1

1 000

999

1

C.1 000

D.2

解析:选 D 抛掷一枚质地均匀的硬币,只考虑第 999 次,有两种结果:正面朝上,反

1 面朝上,每种结果等可能出现,故所求概率为2.

2.在一次摸彩票中奖活动中,一等奖奖金为 10 000 元,某人摸中一等奖的概率是 0.001,

这是指( )

A.这个人抽 1 000 次,必有 1 次中一等奖

B.这个人每抽一次,就得奖金 10 000×0.001=10 元

C.这个人抽一次,抽中一等奖的可能性是 0.001

D.以上说法都不正确

解析:选 C 摸一次彩票相当于做一次试验,某人摸中一等奖的概率是 0.001,只能说

明这个人抽一次,抽中一等奖的可能性是 0.001,而不能说这个人抽 1 000 次,必有 1 次中

一等奖,也不能说这个人每抽一次,就得奖金 10 000×0.001=10 元.

3.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了 20 000 部汽车的相关

4

信息,时间是从某年的 5 月 1 日到下一年的 5 月 1 日,共发现有 600 部汽车的挡风玻璃破碎,

则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是________.

解析:P=20600000=0.03.

答案:0.03

4.某射击运动员进行双向飞碟射击训练,各次训练的成绩记录如下:

射击次数

100 120 150 100 150 160 150

击中飞碟数

81 95 123 82 119 129 121

击中飞碟的频率

(1)将各次记录击中飞碟的频率填入表中;

(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少?

解:(1)射击次数 100,击中飞碟数是 81,故击中飞碟的频率是18010=0.81,同理可求得

之后的频率依次约为 0.792,0.820,0.820,0.793,0.806,0.807.

(2)击中飞碟的频率稳定在 0.81 附近,故这个运动员击中飞碟的概率约为 0.81.

[层级二 应试能力达标]

1.事件 A 发生的概率接近于 0,则( )

A.事件 A 不可能发生

B.事件 A 也可能发生

C.事件 A 一定发生

D.事件 A 发生的可能性很大

解析:选 B 不可能事件的概率为 0,但概率接近于 0 的事件不一定是不可能事件.

2.高考数学试题中,有 12 道选择题,每道选择题有 4 个选项,其中只有 1 个选项是正

确的,则随机选择其中一个选项正确的概率是14,某家长说:“要是都不会做,每题都随机

选择其中一个选项,则一定有 3 道题答对.”这句话( )

A.正确

B.错误

C.不一定

D.无法解释

解析:选 B 把解答一个选择题作为一次试验,答对的概率是14说明了对的可能性大小

1 是4.做 12 道选择题,即进行了 12 次试验,每个结果都是随机的,那么答对 3 道题的可能性

较大,但是并不一定答对 3 道题,也可能都选错,或有 2,3,4,…甚至 12 个题都选择正确.

3.下列说法正确的是( )

A.事件 A 的概率为 P(A),必有 0<P(A)<1

B.事件 A 的概率 P(A)=0.999,则事件 A 是必然事件

5

C.用某种药物对患有胃溃疡的 500 名病人进行治疗,结果有 380 人有明显的疗效.现

有胃溃疡的病人服用此药,则估计有明显疗效的可能性为 76%

D.某奖券的中奖率为 50%,则某人购买此奖券 10 张,一定有 5 张中奖

解析:选 C A 不正确,因为 0≤P(A)≤1;若 A 是必然事件,则 P(A)=1,故 B 不正确;

对于 D,奖券的中奖率为 50%,若某人购买此奖券 10 张,则可能会有 5 张中奖,所以 D 不正

确.故选 C.

4.某市交警部门在调查一起车祸过程中,所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑

塔纳出租车,但由于天黑,均未看清该车的车牌号码及颜色,而该市有两家出租车公司,其

中甲公司有 100 辆桑塔纳出租车,3 000 辆帕萨特出租车;乙公司有 3 000 辆桑塔纳出租车,

100 辆帕萨特出租车,交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理?( )

A.甲公司

B.乙公司

C.甲、乙公司均可

D.以上都对

解析:选 B 由题意得肇事车是甲公司的概率为311,是乙公司的概率为3301,可以认定肇

事车为乙公司的车辆较为合理.

5.一个总体分为 A,B 两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本.已

知 B 层中每个个体被抽到的概率都为112,则总体中的个体数为________.

解析:设总体中的个体数为 x,则1x0=112,所以 x=120.

答案:120

6.某工厂为了节约用电,规定每天的用电量指标为 1 000 度,按照上个月的用电记录,

在 30 天中有 12 天的用电量超过指标,若这个月(按 30 天计)仍没有具体的节电措施,则该

月的第一天用电量超过指标的概率约是________.

12 解析:由频率的定义可知用电量超过指标的频率为30=0.4,由频率估计概率知第一天

用电量超过指标的概率约是 0.4.

答案:0.4

7.投掷硬币的结果如下表:

投掷硬币的次数 200 500

c

正面向上的次数 102

b

404

正面向上的频率 a 0.482 0.505

则 a=________,b=________,c=________. 据此可估计若掷硬币一次,正面向上的概率为________.
6

解析:a=120020=0.51,b=500×0.482=241;

c=0.450045=800.

易知正面向上的频率在 0.5 附近,所以若掷硬币一次,正面向上的概率应为 0.5.

答案:0.51 241 800 0.5

8.某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化,10 000 个鱼卵能孵化 8 513 尾鱼苗,根据

概率的统计定义解答下列问题:

(1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少?

(2)30 000 个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗?

(3)要孵化 5 000 尾鱼苗,大概需备多少个鱼卵?(精确到百位)

8 513 解:(1)这种鱼卵的孵化概率 P=10 000=0.851 3.

(2)30 000 个鱼卵大约能孵化

8 513 30 000×10 000=25 539(尾)鱼苗.

(3)设大概需备

x

5 个鱼卵,由题意知

000 8 513 x =10 000.

所以 x=5

000×10 8 513

000 ≈5

900(个).

所以大概需备 5 900 个鱼卵.

9.某活动小组为了估计装有 5 个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红

球接近多少个,在不将袋中球倒出来的情况下,分小组进行摸球试验,两人一组,共 20 组

进行摸球试验.其中一位学生摸球,另一位学生记录所摸球的颜色,并将球放回袋中摇匀,

每一组做 400 次试验,汇总起来后,摸到红球次数为 6 000 次.

(1)估计从袋中任意摸出一个球,恰好是红球的概率;

(2)请你估计袋中红球的个数.

解:(1)因为 20×400=8 000,

6 000 所以摸到红球的频率为:8 000=0.75,

因为试验次数很大,大量试验时,频率接近于理论概率,所以估计从袋中任意摸出一个

球,恰好是红球的概率是 0.75.

(2)设袋中红球有 x 个,根据题意得:

x x+5=0.75,解得

x=15,经检验

x=15

是原方程的解.

7

所以估计袋中红球接近 15 个.

将人性的表现与启蒙追求相结合是沈从文学思想非常突出特点。他认为“一部伟大作品,总最真切欲望”而有意归对于当前黑暗社会否和未来光明向往这就改变了梁实秋讨论问题时辨取引、具体可以操方面不满空虚必所倾心关注抽象确同中国但还须立足别进步信说:每个者定革家理却们殊途宗教热忱勇超乎习惯俗见样谈价值功用似容易受到左翼攻讦 强调文学的自由本性也是沈从论特别应当引起我们重视方面。他认为:“用生活作根据,凭想象着翅膀飞到另一个世界里去件事情它不缺少最宽泛能容许感切现上散步什么人愿意过休息未来还有又安顿目前必时代趣味拘束行动”尽管局荡民艰难但成允灵魂家园 从整个现代文学的基本格局看,沈似乎显得特立独行他虽然被人列为新月派、入京考量但我觉同这些社团流关系始终处在和而不状态。注重审美形式倾向对此是认接受作品结构精巧感情细腻示出家锤炼功夫来自底层目睹了会黑暗保持中民群众怀地背负生一份责任因度真严肃反以游戏事活动 面对这位有着卓越文学成就而际遇坎坷的作家,总是难以抑制心中感情涟漪。超思维强终于不能“晾干”一个令人叹为观止景致笔者也因此获得了评论自由可将照沈从生怅惘转化杰出艺术命运历史沉我相信既然他那平易、抒散叙述够刻画颗坦诚执灵魂么新解读便用非借助艰深辨袭辩开脱俗套甚至必理会岁月曾经泼洒在身上污浊摘《》) 1.下列阐述不属于沈从文学思想范畴的一项是(3分)() A.一部伟大的作品,要表现人性最真切欲望这种就是对当前黑暗社会否认和未来光明向往。 B.文学作者必须具有宗教的热忱,勇于进取超乎习惯与俗见而向前他理想社会改革和思家不尽相同。 C.文学以生活为根据,但又离不开想象它可自由驰骋任意飞翔其感情一切然与现依托。 D.文学是极富自由性的,利用来表达思想情感人其行动不必为一个时代趣味所拘束而可以在象世界里驰骋。 2.下列对沈从文学作品特点的阐释,正确一项是(3分)() A.结构精巧、感情细腻,显示出作家锤炼的功夫且始终保持着对底层社会中人民群众关怀。 B.关注抽象的人性,同时又对中国现实不满因此将问题引向真、具体和可以操作方面。 C.在整个现代文学的基本格局中,显得特立独行与新月派、京处于一种和而不同状态。 D.一颗坦诚的、执着艺术灵魂,是由平易抒情散文化叙述刻画出来并没有借助艰深思辨。 3.下列表述符合原文意思的一项是(分)() A.沈从文的学思想能够将人性表现与启蒙追求结合在一起,这梁实秋讨论问题时辨不同。 B.沈从文认为,尽管学作者与社会改革及思想家不同但他们往有着相的理、热忱和勇于进取精神。 C.沈从文的学态度是认真、严肃,他反对以游戏事活动这跟来自社会底层目睹了黑暗现实有关。 D.文学是允许灵魂安息的精神家园,特别在时局动荡、民生艰难情况下它成了避所。 (二)、文学类本阅读(10分) 阅读下面的文字,完成第4-6题。

自从随军入侵法国以来,瓦尔特·施那夫斯觉得己处背时不顺。他身体肥胖走起路很费劲老是喘气双又厚的平脚板痛苦堪言

每当夜幕降临,他裹着大衣躺在地上睡觉这时总要久思念留家乡的妻子儿女。碰到好吃东西是细嚼慢咽仔品尝常样想人一死世切良辰美景、欢快幸福岂不立即就化为乌有?

他所属的那个兵团向诺曼底进发。有一天,奉命跟支小分队外出侦察田野里切似乎都毫无动静这些普鲁士人放心大胆地走沟壑纵横山谷突然枪声作猛烈火力阻挡了们去路伍中立即二十来被撂倒游击从巴掌林子直扑而

施那夫斯起初愣在里没动,他一时不知所措竟忘了赶快逃命。随后才拔腿就但立即又意识到自己慢得像只乌龟这看见前方六步开外有道宽的地沟上面长满荆棘并枝叶掩盖猛然双脚纵身往跳正如从桥河样

有一段时间,枪声、叫喊与呻吟仍清晰可闻。后来切归于平静寂寥无这个普鲁士大兵开始盘算起:我该怎么办呢?如果回部队的话那又要去过战以种苦不堪言生活每天忧心忡惊恐安疲劳难耐!

可是,到底怎么办呢?总不能老待在这条沟里一直战争结束。个人每天都需要吃东西呀!他突发奇想:“如果我当上俘虏就好了”此既出的心兴奋地跳动起来关看管严密牢狱有住枪弹打着刺刀碰什用害怕

夜幕突然降临,一片晦暗万籁无声。他待在那里动也不色中只要有点轻微的陌生响都吓得打哆嗦正好兔子屁股擦到窝边发出了施夫斯拔腿就逃猫头鹰叫更是把心撕碎使感阵如其来恐惧

晨光又重新照临他头上。开始进行守望

一直又到了夜幕降临大地的时候,他不失机悄爬出沟猫着腰胆战心惊朝远处城堡走去。底层窗户都透灯光其中有扇还敞开;阵浓烧肉香从里面冲来钻进五脏六腑使得呼吸急促勇气骤增

于是,他不假思索戴着尖顶盔就冒失出现在那个窗口。

屋里有八个仆人,正围着一张大桌子吃晚饭。突然他们瞧见了敌!老天爷啊普鲁士兵攻进城堡在场的争先恐后站起来阵混乱转眼间就跑空只剩下那堆满食物施夫斯则对前这幕感到莫名其妙迟疑会儿爬过窗台朝走去

当一群武装到头发的士兵迅速抢占了整幢房子时候,施那夫斯正在里呼大睡。五十支上膛待枪齐对准他胸接着把从脚捆个结实位军服镶金线胖官喝声:“你被俘虏!投降吧”脸露出微笑现确是面带因为认自己终于

1、

下列对小说有关内容和写法的分析,最恰当一项是(3)()

A.作者从普通人性的角度去塑造物,描绘出了一个贪恋安逸、畏惧死亡在战场上思亲念厌形象。

B.小说通过施那夫斯的奇遇故事,表现了他贪恋安逸、胸无大志性格品质作者哀其不幸怒争。

C.小说结尾施那夫斯面带微笑,但内心却十分痛苦忧伤他只是不想让法军看出

沈从文的创作与艺术追求 庄锡华
瓦尔特·施那夫斯奇遇记

8


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