高中数学必修五课件:2.1-1《数列的概念与简单表示法》(人教A版必修5)_图文

等差数列

1

课前复习
? ? ? ? 1.数列的定义: 2.数列的通项公式: 3.数列的函数本质: 4.数列的分类:

2

在过去的三百 多年里,人们 分别在下列时 间里观测到了 哈雷慧星:

相差76

(1)1682,1758,1834,1910,1986,( 2062 )

你能预测出下一次 的大致时间吗?
3

通常情况下,从地面 到10公里的高空,气 温随高度的变化而变 化符合一定的规律, 请你根据下表估计一 下珠穆朗玛峰峰顶的 温度。
高度(km)
温度(℃)

8844.43米

减少6.5

1

2

3

4
8.5

5
2

6
-4.5

7
-11

… …

9
-24
4

28 21.5 15

(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.

高中数学

欢迎指导

等差数列
赵茜

5

探究1观察归纳:
(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24

d=76

(1)1682,1758,1834,1910,1986,2062

d=-6.5

(3)1,1,1,1, · · ·.

d=0

定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的 前一项 的差都等于 同一个常数,那么这个数列 请问: 它们有什么共同特点? 共同特点: 从第2项起,每一项 就叫做等差数列 . 与它的前一项的差等于同一个 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用 d 常数。 表示.

a

n

?a

n ?1

? d , (n ? N , n ? 2)

?

或 a n ? 1 ? a n ? d ( n ? 1)
6

思考:如果 a 与b中间插入一个数A,使a ,A,b 成等差数列,那么A应该满足什么条件? ? ? ? ? ? 由定义得: A?a ? b? A ? A ? 2 a ?b ? A ? 反之,若 则 A?a ? b? A 2 ? a , A , b 成等差数列 等差中项定义:若 a , A , b 成等差数列,那 a ?b 么A叫做 a 与 b 的等差中项 ? A ? 2
a ?b

7

判断正误,等差数列说出公差:
(1)1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10是等差数列 (2)5,5,5,5,5,5,…… 是等差数列 (3)3x,5x,7x,9x,…… 是等差数列

(4)1,1,2,3,4,5是等差数列 (5)数列6,4,2,0是公差为2的等差数列 (6)数列a,a-1,a-2,a-3是公差为a-1的等差数列 (7)若a-b=b-c,则a,b,c成等差数列 (8)若an-an-1=n(n∈N*),则数列成等差数列

×) ( √) ( √) (× ) (× ) (× ) (√ ) (× )


(9)等差数列是相邻两项中后项与前项之差等于非零常数的数列 ( ) (10)等差数列的公差是该数列中任何相邻两项的差

× (× )
8

探究2:等差数列的通项公式(迭代法)
如果一个数列 a 1 , a 2 , a 3 , …,a n ,
1



是 等 差 数 列 , 也 就 是 说 , 首 项 a 及 公 差 d都 是 确 定 的 。

? ? a1 ? d ? d a2 ?d 2d a3 ? a2 ? d ? a3 ? a 1

a 2 ? a1 ? d ? a 2 ? a1 ? d

d a 4 ? a3 ? d ? a 4 ? a1 3 ? 3d

??

归纳得:

an ?

? ? a ? ( n ? 1) d
1
9

通项公式:a n ? a 1 ? ( n ? 1) d .

等差数列的通项公式(累加法)
a 2 ? a1 ? d
a3 ? a2 ? d

a4 ? a3 ? d

共n-1个式子

a n ?1 ? a n ? 2 ? d

a n ? a n ?1 ? d

叠加得

左边: a ?a ?
2 1

右 边 为 ( n ? 1) d 进 而

a n ? a 1 ? ( n ? 1) d .



a ?a ?a ?a
3 2 4

3

? ...a

n?2

?a

n ?1

?

a ?a
n

n ?1

a

n

?

a ?
1

( n ? 1) d
10

注意:

在上述推到过程中, 用到了观察-归纳-猜想的思维方式
探究3:通项公式与方程

在等差数列通项公式中,有四个量,

ɑ1 ,d ,n ,ɑn ,
知道其中的任意三个量,就可以求 出另一个量,即知三求一 .
也就是说,在数列计算题中要注意 运用方程思想。
11

用一下

a n ? a 1 ? ( n ? 1) d

例1 (1) 求等差数列8,5,2,…,的第20项。
解: ? a1

? 8 , d ? 5 ? 8 ? ?3, n ? 20 ,

? a 20 ? 8 ? ( 20 ? 1 ) ? ( ? 3 ) ? ? 49

(2) 等差数列 -5,-9,-13,…,的第几项是 –401?
解: ? a 1 ? ? 5 , d ? ? 9 ? ( ? 5 ) ? ? 4 , a n ? ? 401 ,
? 401 ? ? 5 ? ( n ? 1 ) ? ( ? 4 ) 因此,

解得

n ? 100
12

例2 在等差数列中,已知a5=10,a12=31, 求首项a1与公差d. a ? a ? ( n ? 1) d 解:由题意可知
n 1

?

a1 ? 4 d ? 1 0 a1 ? 1 1 d ? 3 1

解得:

?

a1 ? ? 2 d ?3

即这个等差数列的首项是-2,公差是3. 说明:由此可以看到:已知等差数列的两项就 可以确定这个数列.
13

从函数角度看等差数列通项公式, a ? dn ?

n

?

a

1

? ( n ? 1) d

a

1

? d , n ? N .因 而 等 差 数 列 的 通 项 公 式 可 以

?

看 作 是 关 于 n的 一 次 式 。 所 以 , 其 也 可 以 表 示 为 :

a

n

? pn ? q, ( p ? d , q ?

a

1

? d ) .要 注 意 的 是 , p ( 或 d )

= 0时 , 数 列 是 常 数 数 列 , 对 应 函 数 是 常 数 函 数 。
那 么 , 反 过 来 , 如 果 一 个 数 列 {a } 的 通 项 为 a
n n

? p n ? q , p , q是 常 数 , 那 它 是 等 差 数 列 吗 ? 完 成 下 题 。

14

例3 .已知数列{ an }的通项公式是an =pn+q,p,q是 常数 求证:{an}为等差数列; 解:
取数列中的任意相邻两项

a

n ?1



a

n

,n ? N .
?

?

a
?

n

? pn ? q,? ?

a

n ?1

? p ( n ? 1 ) ? q ,n ? N .
?

a

n ?1

a

n

? p ( n ? 1 ) ? q ? p n ? q ? p ,n ? N .
n

? 它 是 一 个 与 n 无 关 的 常 数 。 所 以 {a } 是 等 差 数 列 。

说明: 1.数列{ an }为等差数列? an=pn+q p、q是常数.

2.证明数列是等差数列的又一常用方法

15

探究 4 :等差数列的图象 1 ● 10
9 8 (1)数列:-2,0,2,4,6,8,10,…


7 6 5 4
3 2 1 0 1
● ● ● ●



?

a

n

? 2n ? 4, n ? N .

?

y ? 2 x ? 4, x ? R.

2

3

4

5

6

7

8

9

10
16

10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0

等差数列的图象2
(2)数列:7,4,1,-2,…


a


n

? ? 3 n ? 10 , n ? N .

Y ? ? 3 x ? 10 , x ? R .


1

2

3

4


5

6

7

8

9

10
17

10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0

等差数列的图象3
(3)数列:4,4,4,4,4,4,4,…

a


n

? 4, n ? N .

Y ? 4, x ? R.
● ● ● ● ● ● ● ● ●

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10
18

等差数列的通项公式为: a n ? d ? n ? ( a 1 ? d ) 可整理成

an ? pn ? q 其 中 , p ? d , q ?
直线的一般形式: y

a

1

? d,n ? N

?

? px ? q , p ? R , p ? 0, q ? R.

总结:
1. 等 差 数 列

a

n

? p n ? q的 图 像 是 落 在 一 次 型 函 数

y=px+q的 图 像 ( 直 线 ) 上 彼 此 孤 立 的 点 的 集 合 。

3 .d ? 0 ,图 像 上 升 , 函 数 是 增 函 数 , 数 列 是 递 增 数 列 ; d<0,图 像 下 降 , 函 数 是 减 函 数 , 数 列 是 递 减 数 列 ; d=0,图 像 平 行 与 X 轴 , 函 数 是 常 数 函 数 , 数 列 是 常数数列。
19

课堂练习
a 7 ? 27 ,

a n ? a 1 ? ( n ? 1) d

1. 求等差数列3,7,11,…的第4,7,10项;
a 4 ? 15 ,

a 10 ? 39

2. 100是不是等差数列2,9,16,…中的项?
100 ? 2 ? ( n ? 1 ) ? 7 ? n ? 15
7 2

3. -20是不是等差数列0,-

,-7…中的项;

7 ? 47 ? ? 20 ? 0 ? ( n ? 1 ) ? ? ? (舍 ) ? ? n ? 2 ? 7 ?

20

4.已知{an }为等差数列,若a1=3, d=3/2,an=21,则n= 1 3

5.等差数列{an}的前三项依次为 a-6,-3a-5, -10a-1,则 a 等于( A )1 5 A. 1 B. -1 C.D.
( a ? 6 ) ? ( ? 1 0 a ? 1) 提示: 等 差 中 项 定 义 -3a-5= 2

3

11

6 .已知数列 求证数列{

{ a }的通项公式为
n

a

n

? 3 n ? 1,

a

n

} 是等差数列。

提示:类比例2
21

四 .课堂小结
1.本节课学习的主要内容有
(1)等差数列与等差中项的定义 (2)等差数列的通项公式 (3)等差数列与一次函数的关系 (1)理解等差数列 (2)掌握等差数列的通项公式 (3)能利用公式解决一些简单问题

2.本节课的能力要求

3.思想方法

(1)观察-归纳-猜想 (2)函数与方程 (3)数形结合
22

谢谢指导!
23


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