湖南省新田一中高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点1课件 新人教A版必修1(6)_图文

方程 函数 函 数 的 图 象 方程的实数根 函数的图象 与x轴的交点 x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0 y= x2-2x-3 y= x2-2x+1 y= x2-2x+3 y . -1 2 . -1 -2 .y 2 . . . 1 . 2 y . 1 . x -1 5 0 1 2 .3 x -1 1 0 3 2 1 . 4 . 1 . 2 . -3 -4 . x1=x2=1 (1,0) 0 3 x x1=-1,x2=3 (-1,0)、(3,0) 无实数根 无交点 探究 活动 从上面的表格,你能发现方程的根与函数 图象与X轴的交点具有什么样的关系吗? 方程的根就是函数图象与X轴交点的横坐 标。 函数零点的定义: 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0 的实数x叫做函数y=f(x)的零点。 思考:零点是点吗? 注意: 零点指的是一个实数; 等价关系: 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点 求零点的方法 ? (1) 解方程:令f(x)=0,解x。 ? (2)图像法:作y=f(x)的图像,看图像 与x轴的交点的横坐标。 练习 求下列函数的零点: x (1)f ( x) ? ln x (2)f ( x) ? e ?1 3 3 (3) ( 4 ) f ( x) ? x ? 4x f ( x) ? ? x ? 3x ? 5 解:(1)1;(2)0;(3)—2、0、2 动一动手 如图所示,用几条连续不断的函数图象 连接A、B两点。 ﹒B L ﹒ A y y ﹒B O a ﹒B X b y L O a b X L ﹒ A O ﹒ A ﹒ a b B X L ﹒A 思考:通过对图象的观察,分析函数在 区间端点上的函数值的符号情况,与函 数零点是否存在着一定的关系呢? f (a) ? f (b) ? 0 是否只要满足f (a) ? f (b) ? 0 ,就一定存在零点 呢? 1 f ( x) ? x 有 f (a) ? f (b) ? 0 ,但在区间 (a,b)内无零点。 a b 函数零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 连续不断的一条曲线,并且有f(a)· f(b)<0, 那么,函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点, 即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就 是方程f(x)=0的根。 想一想 (1)若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续, 且有f(a)· f(b)>0,则y=f(x)在区间(a,b)内 是否有零点? y f ( x) ? x 2 a O b X (2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且有 f(a)· f(b)<0,则y=f(x)在区间(a,b)内会只有一个 零点吗? y y ﹒B O a b X ﹒ L O a B X b L ﹒ A ﹒A (3)若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且在 区间(a,b)内有零点时,一定有f(a)· f(b)<0吗? y f ( x) ? x 2 a O b X 注意: (1)只有同时满足上述两个条件,才能 说明函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点。 (2)定理不可逆。 例1、判断函数 f ( x) ? ? x ? 3x ? 5 是否存在 零点? 例2、求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点的 个数? 3 想一想 函数y=f(x)在什么条件下,在区间(a,b) 内只有一个零点? 结论 函数y=f(x)在区间(a,b)内单调时,函数 在这个区间内有且只有一个零点。 2(2) f(x)=2x ·ln(x-2)-3 2(2)解:作出函数的图象如下: 因为f(3)=-3<0,f(4)≈2.545>0,所以f(x)= 2x ·ln(x-2)-3在区间(3,4)上有零点。又因为 f(x) =2x ·ln(x-2)-3是(2,+∞)上的增函数, 所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。 y 2 1 0 -1 . . 2 3 4 5 1 x -2 -3 . . 2(3) f(x)=ex-1+4x-4 2(3)解:作出函数的图象如下: 因为f(0)≈-3.63<0,f(1) =1>0,所以f(x)= ex-1+4x-4 在区间(0,1)上有零点。又因 为f(x) = ex-1+4x-4是(-∞ , +∞)上的增函数,所以在 区间(0,1)上有且只有一个零 点。 y 2 1 -2 -1 . . 1 2 3 4 0 -1 -2 -3 x . -4 . 2(4) f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x 2(4)解:作出函数的图象如下: 因为f(-4)=-4<0,f(- 3)=15>0, f(-2)=-2<0,f(2)=-70<0, f(3)=3>0, 所以f(x)= 3(x+2)(x - 3)(x+4)+x 在区间 (-4,-3 )、 (-3,-2,)、 (2,3 )上各有 y 一个零点。 40 -5 . -2 -4 . -3 . 20 -1 0 -20 -40 . . 3 1 2 4 5 x . . . -60 . . -80 . 知识回顾 1.什么叫函数的零点? 对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函 数y=f(x)的零点 2.函数y=f(x)有零点有哪些等价说法? 函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. 3.函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点的条 件是什么? (1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断 的一条曲线; (2) f(a)·f(b)<0. 4.在上述条件下,函数y=

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