高三数学一轮基础巩固 第5章 第2节 平面向量基本定理及向量的坐标表示(含解析)新人教A版

【走向高考】2016 届高三数学一轮基础巩固 第 5 章 第 2 节 平面 向量基本定理及向量的坐标表示 新人教 A 版
一、选择题 1.(文)(2014·郑州月考)设向量 a=(m,1),b=(1,m),如果 a 与 b 共线且方向相反, 则 m 的值为( A.-1 C.-2 [答案] A [解析] 设 a=λ b(λ <0),即 m=λ 且 1=λ m.解得 m=±1,由于 λ <0,∴m=-1. [点评] 1.注意向量共线与向量垂直的坐标表示的区别,若 a=(x1,x2),b=(y1,y2), 则 a∥b?x1y2-x2y1=0,当 a,b 都是非零向量时,a⊥b?x1x2+y1y2=0,同时还要注意 a∥b 与 = 不等价. 2.证明共线(或平行)问题的主要依据: (1)对于向量 a,b,若存在实数 λ ,使得 b=λ a,则向量 a 与 b 共线(平行). (2)a=(x1,y1),b=(x2,y2),若 x1y2-x2y1=0,则向量 a∥b. (3)对于向量 a,b,若|a·b|=|a|·|b|,则 a 与 b 共线. 要注意向量平行与直线平行是有区别的. (理)(2013·哈尔滨质检)已知平面向量 a=(2m+1,3), b=(2,m),且 a 与 b 反向,则|b| 等于( ) B. 2 2 5 D. 或 2 2 2 ) B. 1 D. 2

x1 y1 x2 y2

10 2 A. 7 5 C. 2 [答案] B

3 3 [解析] 据题意 a∥b 则 m(2m+1)-3×2=0, 解得 m=-2 或 m= , 当 m= 时 a=(4,3), 2 2

b=(2, ),则 a=2b,此时两向量同向,与已知不符,故 m=-2,此时 b=(2,-2),故|b|
=2 2. 2.(2014·山东青岛期中)设 a,b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使 + = |a| |b| 0 成立的是( 1 A.a=- b 3 ) B.a∥b

3 2

a

b

-1-

C.a=2b [答案] A

D.a⊥b

[解析] 由题意得 =- ,而 表示与 a 同向的单位向量,- 表示与 b 反向的 |a| |b| |a | |b | 1 单位向量,则 a 与 b 反向.而当 a=- b 时,a 与 b 反向,可推出题中条件.易知 B,C,D 都 3 不正确,故选 A. [警示] 由于对单位向量、相等向量以及共线向量的概念理解不到位从而导致错误,特

a

b

a

b

别对于这些概念:(1)单位向量 ,要知道它的模长为 1,方向同 a 的方向;(2)对于任意非 |a| 零向量 a 来说,都有两个单位向量,一个与 a 同向,另一个与 a 反向;(3)平面内的所有单位 向量的起点都移到原点, 则单位向量的终点的轨迹是个单位圆; (4)相等向量的大小不仅相等, 方向也必须相同,而相反向量大小相等,方向是相反的;(5)相等向量和相反向量都是共线向 量,但共线向量不一定是相等向量,也有可能是相反向量. → → 3.(2013·安庆二模)已知 a,b 是不共线的两个向量,AB=xa+b,AC=a+yb(x,y∈R), 若 A,B,C 三点共线,则点 P(x,y)的轨迹是( A.直线 C.圆 [答案] B [解析] ∵A,B,C 三点共线, → → ∴存在实数 λ ,使AB=λ AC.
? ?x=λ , 则 xa+b=λ (a+yb)? ? ?1=λ y ?

a

) B.双曲线 D.椭圆

? xy=1,故选 B. )

4. (文)已知平面向量 a=(1, -1), b=(-1,2), c=(1,1), 则用 a、 b 表示向量 c 为( A.2a-b C.a-2b [答案] D [解析] 设 c=xa+yb,∴(1,1)=(x-y,-x+2y), ∴?
?x-y=1, ? ?-x+2y=1. ?

B.-a+2b D.3a+2b

解之得?

?x=3, ? ?y=2. ?

∴c=3a+2b,故选 D. → → → (理)(2014·德州模拟)设OB=xOA+yOC,x,y∈R 且 A,B,C 三点共线(该直线不过点 O), 则 x+y=( A.-1 ) B. 1
-2-

C.0 [答案] B → → [解析] 如图,设AB=λ AC, → → → → → 则OB=OA+AB=OA+λ AC → → → → → → =OA+λ (OC-OA)=OA+λ OC-λ OA → → =(1-λ )OA+λ OC ∴x=1-λ ,y=λ ,∴x+y=1. [点评]

D. 2

用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功.在进行向量运算时,

要尽可能将它们转化到平行四边形或三角形中,以便使用向量的运算法则进行求解.充分利 用平面几何的性质,可把未知向量用已知向量表示出来. → 5.(文)(2014·湖北武汉调研)如图所示的方格纸中有定点 O,P,Q,E,F,G,H,则OP+ →

OQ=(

)

→ A.OH → C.EO [答案] D

→ B.OG → D.FO

[解析] 由平行四边形法则和图示可知,选 D.

(理)(2013·福州质检)如图, e 1, e2 为互相垂直的单位向量, 则向量 a-b 可表示为(

)

-3-

A.3e2-e1 C.e1-3e2 [答案] C

B.-2e1-4e2 D.3e1-e2

→ [解析] 如图所示,a-b=AB=e1-3e2,故应选 C.

→ 6.(2014·新课标全国Ⅰ文,6)设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC、CA、AB 的中点,则EB → +FC=( → A.AD → C.BC [答案] A [解析] 如图, ) 1→ B. AD 2 1→ D. BC 2

1 → → 1 → → → → EB+FC=- (BA+BC)- (CB+CA) 2 2 1 → → 1 → → =- (BA+CA)= (AB+AC) 2 2 → =AD.选 A. 二、填空题 7.(文)(2013·安徽省级示范高中联考)设向量 a=(x,3),b=(2,1),若对任意的正数 m,

n,向量 ma+nb 始终具有固定的方向,则 x=________.

-4-

[答案] 6 [解析] 当 a 与 b 共线时,向量 ma+nb 始终具有固定的方向,则 1×x=2×3,所以 x= 6. (理) (2014·宜春质检)如图所示,在△ABC 中,H 为 BC 上异于 B,C 的任一点,M 为 AH → → → 的中点,若AM=λ AB+μ AC,则 λ +μ =________.

[答案]

1 2

→ → → [分析] 由 B,H,C 三点共线可用向量AB,AC来表示AH. → → → → 1 [解析] 由 B,H,C 三点共线,可令AH=xAB+(1-x)AC,又 M 是 AH 的中点,所以AM= 2 →

AH= xAB+ (1-x)AC,又AM=λ AB+μ AC.所以 λ +μ = x+ (1-x)= .
[点评] 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进

1 → 1 2 2









1 2

1 2

1 2

行向量的加、减或数乘运算,共线向量定理的应用起着至关重要的作用.当基底确定后,任 一向量的表示都是唯一的. 8.(2013·烟台调研)在等腰直角三角形 ABC 中,D 是斜边 BC 的中点,如果 AB 的长为 2, → → → 则(AB+AC)·AD的值为________. [答案] 4 1 2 2 [解析] 由题意可知,AD= BC= = 2, 2 2 → → → → → → 2 (AB+AC)·AD=2AD·AD=2|AD| =4. 9.(2014·河北二调)在△ABC 中,AC=1,AB=2,A= → 2π ,过点 A 作 AP⊥BC 于点 P,且 3

AP=λ AB+μ AC,则 λ μ =________.
[答案] [解析 ] 10 49 2π → → → → → 由题意知AB·AC =2×1×cos =-1,∵ AP⊥ BC,∴AP · BC=0,即 (λ AB + 3





→ → → μ AC)·(AC-AB)=0, 5 → → →2 →2 ∴(λ -μ )AB·AC-λ AB +μ AC =0,即 μ -λ -4λ +μ =0,∴μ = λ ,① 2

-5-

∵P,B,C 三点共线,∴λ +μ =1,② 2 λ = ? ? 7 由①②联立解得? 5 μ = ? ? 7 三、解答题 10.(文)平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),请解答下列问题: (1)求满足 a=mb+nc 的实数 m、n; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; (3)若 d 满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|= 5,求 d. [解析] (1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1), 5 ? ?m=9, 得? 8 ? ?n=9.

2 5 10 ,即 λ μ = × = . 7 7 49

? ?-m+4n=3, 所以? ?2m+n=2. ?

(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), ∵(a+kc)∥(2b-a), ∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0, 16 ∴k=- . 13 (3)设 d=(x,y),则 d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4), 由题意得?
? ? ? ?

x- x-
2

- +

y- y-
2

=0, =5.

解得?

?x=3, ? ?y=-1, ?

或?

?x=5, ? ?y=3. ?

∴d=(3,-1)或 d=(5,3).

(理)设 a、b 是两个不共线的非零向量(t∈R). → → → 1 (1)记OA=a,OB=tb,OC= (a+b),那么当实数 t 为何值时,A、B、C 三点共线? 3 (2)若|a|=|b|=1 且 a 与 b 夹角为 120°,那么实数 x 为何值时,|a-xb|的值最小? → → [解析] (1)∵A、B、C 三点共线,∴AB与AC共线, 2 → → → → → → 1 又∵AB=OB-OA=tb-a,AC=OC-OA= b- a, 3 3 → → ∴存在实数 λ ,使AB=λ AC, λ 2λ 1 即 tb-a= b- a,∴t= . 3 3 2
-6-

1 (2)∵|a|=|b|=1, 〈a,b〉=120°,∴a·b=- , 2 ∴|a-xb| =|a| +x |b| -2x·a·b=1+x +x 1 2 3 3 =(x+ ) + ≥ , 2 4 4 ∴|a-xb|的最小值为 3 1 ,此时 x=- . 2 2
2 2 2 2 2

一、选择题 → → → → 2 2 11.已知直线 x+y=a 与圆 x +y =4 交于 A、B 两点,且|OA+OB|=|OA-OB|,其中 O 为坐标原点,则实数 a 的值为( )

A.2 C.2 或-2 [答案] C

B.-2 D. 6或- 6

→ → → → [解析] 以 OA、OB 为边作平行四边形 OACB,则由|OA+OB|=|OA-OB|得,平行四边形

OACB 为矩形,OA⊥OB.由图形易知直线 y=-x+a 在 y 轴上的截距为±2,所以选 C.
→ → → 12.在△ABC 中,M 为边 BC 上任意一点,N 为 AM 的中点,AN=λ AB+μ AC,则 λ +μ 的 值为( 1 A. 2 1 C. 4 [答案] A → 1→ → → [解析] 本题考查向量的线性运算.据已知 N 为 AM 的中点,可得AN= AM=λ AB+μ AC, 2 1 → → → 整理得AM=2λ AB+2μ AC,由于点 M 在直线 BC 上,故有 2λ +2μ =1,即 λ +μ = . 2 ) 1 B. 3 D. 1

→ →

-7-

13.(文)(2014·浙江十校联考)称 d(a,b)=|a-b|为两个向量 a,b 间的“距离”.若 向量 a,b 满足:①|b|=1;②a≠b;③对任意的 t∈R,恒有 d(a,tb)≥d(a,b),则( A.a⊥b C.a⊥(a-b) [答案] B [解析] 由于 d(a,b)=|a-b|,所以对任意的 t∈R,恒有 d(a,tb)≥d(a,b),即|a -tb|≥|a-b|,由图示可知,向量 a-tb 的模的最小值是 a-b 的模,故 a-b 与 b 垂直,故 选 B. B.b⊥(a-b) D.(a+b)⊥(a-b) )

(理)(2014·浙江)记 max{x,y}=? 面向量,则( )

?x,x≥y ? ? ?y,x<y

,min{x,y}=?

?y,x≥y ? ? ?x,x<y

,设 a,b 为平

A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|} B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|} C.max{|a+b| ,|a-b| }≤|a| +|b| D.max{|a+b| ,|a-b| }≥|a| +|b| [答案] D [解析] 由新定义知,max{x,y}是 x 与 y 中的较大值,min{x,y}是 x,y 中的较小值, 据此可知 A、B 是比较|a+b|与|a-b|中的较小值与|a|与|b|中的较小值的大小,由平行四边 形法则知其大小与〈a,b〉有关,故 A、B 错; 当〈a,b〉为锐角时,|a+b|>|a-b|,此时|a+b| >|a| +|b| . 当〈a,b〉为钝角时,|a+b|<|a-b|,此时|a+b| <|a| +|b| <|a-b| . 当〈a,b〉=90°时,|a+b|=|a-b|,此时|a+b| =|a| +|b| . 故选 D. → → 14.(文)(2013·济宁模拟)给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB, 它们的夹角为 90°,如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上运动,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

-8-

→ → → 若OC=xOA+yOB,其中 x,y∈R,则 x+y 的最大值是( A.1 C. 3 [答案] B B. 2 D. 2

)

[解析] 方法一:以 O 为原点,OA,OB 所在直线分别为 x 轴,y 轴建立直角坐标系,设 π → → → → → 〈OA,OC〉=θ ,θ ∈[0, ],则OA=(1,0),OB=(0,1),OC=(cosθ ,sinθ ). 2
? ?x=cosθ , → → → ∵OC=xOA+yOB,∴? ?y=sinθ . ?

π ∴x+y=cosθ +sinθ = 2sin(θ + ), 4 π π 3π 又 θ + ∈[ , ], 4 4 4 ∴x+y 的最大值为 2. 方法二:因为点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上,

x+y → 2 → → 2 → → 2 2 2 2 所以|OC| =|xOA+yOB| =x +y +2xyOA·OB=x +y =1≥ 2
且仅当 x=y= 2 时等号成立. 2

2

.所以 x+y≤ 2, 当

( 理 )(2013· 皖 南 八 校 联 考 ) 已 知 正 方 形 ABCD( 字 母 顺 序 是

A→B→C→D)的边长为 1,点 E 是 AB 上的动点(可以与 A 或 B 重合),如图
→ → 所示,则DE·CD的最大值是( A.1 C.0 [答案] C → → [解析] 设AB=a,AD=b, → → 则AE=λ AB=λ a(0≤λ ≤1). → → → DE=AE-AD=λ a-b, → → → → ∴DE·CD=DE·(-AB) =(λ a-b)·(-a) =-λ a +a·b=-λ . 又 0≤λ ≤1,
2

) 1 B. 2 D.-1

-9-

→ → ∴DE·CD的最大值为 0,故选 C. 二、填空题 15.(2013·开封第一次模拟)已知|a|=2,|b|=2,a 与 b 的夹角为 45°,且 λ b-a 与

a 垂直,则实数 λ =________.
[答案] 2
2

[解析] 依题意得(λ b-a)·a=λ a·b-a =2 2λ -4=0,λ = 2. 16.(文)(2014·广雅中学月考)梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=2CD,M、N 分别是 CD、AB 的

n → → → 中点,设AB=a,AD=b.若MN=ma+nb,则 =________. m

[答案] -4 1 1 1 1 n → → → → [解析] MN=MD+DA+AN=- a-b+ a= a-b,∴m= ,n=-1,∴ =-4. 4 2 4 4 m → 1→ (理)(2014·南安一中质检)如图所示,在△ABC 中,点 M 是 AB 的中点,且AN= NC,BN 2 → → → 与 CM 相交于点 E,设AB=a,AC=b,用基底 a、b 表示向量AE=________.

[答案]

2 1 a+ b 5 5

[分析] 先利用三点共线进行转化,再通过用基底表示向量的唯一性进行求解. → 1→ 1 → 1→ 1 → [解析] 易得AN= AC= b,AM= AB= a,由 N、E、B 三点共线知存在实数 m,满足AE= 3 3 2 2

mAN+(1-m)AB= mb+(1-m)a.
→ → → 1 由 C、E、M 三点共线知存在实数 n,满足AE=nAM+(1-n)AC= na+(1-n)b. 2 1 1 所以 mb+(1-m)a= na+(1-n)b. 3 2



→ 1 3

- 10 -

1 1-m= n, ? ? 2 由于 a、b 为基底,所以? 1 ? ?3m=1-n, → 2 1 所以AE= a+ b. 5 5 三、解答题

3 m= , ? ? 5 解得? 4 n= . ? ? 5

17.(2014·宁阳一中检测)如图所示,△ABC 中,点 M 是 BC 的中点,点 N 在边 AC 上,且

AN=2NC,AM 与 BN 相交于点 P,求 AP∶PM 的值.

→ → → → → → [解析] 设BM=e1,CN=e2,则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=2e1+e2, ∵A、P、M 和 B、P、N 分别共线, → → ∴存在 λ 、μ ∈R,使AP=λ AM=-λ e1-3λ e2, →

BP=μ BN=2μ e1+μ e2.
→ → → 故BA=BP-AP=(λ +2μ )e1+(3λ +μ )e2, → → → 而BA=BC+CA=2e1+3e2,



?λ +2μ =2, ? ∴由平面向量基本定理得? ?3λ +μ =3, ?

4 λ = , ? ? 5 ∴? 3 μ = . ? ? 5

→ 4→ ∴AP= AM,即 AP∶PM=4∶1. 5 18.如图,设 Ox,Oy 为平面内相交成 60°角的两条数轴,e1、e2 分别是与 x 轴、y 轴正 → → 方向同向的单位向量,若向量OP=xe1+ye2,则把有序实数对(x,y)叫做向量OP在坐标系 xOy → 中的坐标.若OP的坐标为(1,1).

→ (1)求|OP|;
- 11 -

(2)过点 P 作直线 l 分别与 x 轴、y 轴正方向交于点 A、B,试确定 A,B 的位置,使△OAB 的面积最小,并求出最小值. [解析] (1)过点 P 作 x 轴、y 轴的平行线,交 y 轴、x 轴于点 M、N. |ON|=1,|OM|=|NP|=1,∠ONP=120°,

→ ∴|OP|=

→ 2 → 2 → → |ON| +|PN| -2|ON||PN|cos120°= 3.

→ → (2)设|OA|=x,|OB|=y. →

OP=mOA+nOB (m+n=1),
→ → → 则OP=mOA+nOB=mxe1+nye2=e1+e2. 得?
?mx=1 ? ?ny=1 ?





1 1 ? + =1.

x y

S△AOB= |OA||OB|sin60°= xysin60°=
1 1 2 因为 + =1≥ ,

1 → → 2

1 2

3 xy. 4

x y

xy

所以 xy≥2,S△AOB=

3 xy≥ 3, 4

当且仅当 x=y=2,即当 A(2,0),B(0,2)时,△AOB 面积最小,最小值为 3.

- 12 -


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