2016_2017高中数学第一章立体几何初步1.6.1垂直关系的判定(2)高效测评北师大版必修2

2016-2017 学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.6.1 垂直关系的 判定(2)高效测评 北师大版必修 2 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.在三棱锥 A-BCD 中,若 AD⊥BC,BD⊥AD,那么必有( A.平面 ABD⊥平面 ADC C.平面 ADC⊥平面 BCD 解析: 如图,∵AD⊥BC,AD⊥BD, ∴AD⊥平面 BCD. 又 AD 平面 ADC,∴平面 ADC⊥平面 BDC. ) B.平面 ABD⊥平面 ABC D.平面 ABC⊥平面 BCD 答案: C 2. 设 a, b 是两条不同的直线, α , β 是两个不同的平面, 则下列命题中正确的是( A.若 a∥b,a∥α ,则 b∥α C.若 α ⊥β ,a⊥β ,则 a∥α B.若 α ⊥β ,a∥α ,则 a⊥β D.若 a⊥b,a⊥α ,b⊥β ,则 α ⊥β ) 解析: A 错,可能 b α ;B 错;C 错,可能 a α .只有 D 正确. 答案: D 3.如图所示,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成三棱锥 A-BCD,则在三棱锥 A-BCD 中,下列命题 正确的是( ) A.平面 ABD⊥平面 ABC C.平面 ABC⊥平面 BDC B.平面 ADC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC 解析: 由题意知,在四边形 ABCD 中,CD⊥BD,在三棱锥 A-BCD 中,平面 ABD⊥平面 BCD,两平面的交线为 BD,所以 CD⊥平面 ABD,因此有 AB⊥CD,又因为 AB⊥AD,且 CD∩AD =D,所以 AB⊥平面 ADC,于是得到平面 ADC⊥平面 ABC,故选 D. 答案: D 4.在正四面体 P-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的中点,则下列结论中不成立 的是( ) B.DF⊥平面 PAE D.平面 PAE⊥平面 ABC A.BC∥平面 PDF C.平面 PDF⊥平面 ABC 解析: 如图所示, ∵DF∥BC,BC 平面 PDF, ∴BC∥平面 PDF.∴A 正确; 连接 AE,PE,则 BC⊥AE,BC⊥PE. ∵BC∥DF,∴DF⊥AE,DF⊥PE,DF⊥平面 PAE,故 B 正确,又 BC⊥平面 PAE, ∴平面 ABC⊥平面 PAE.故 D 正确. 答案: C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.如图,在三棱锥 D-ABC 中,若 AB=BC,AD=CD,E 是 AC 的中点,则平面 ADC 与平 面 BDE 的关系是________. 解析: ∵AB=BC,AD=CD,E 是 AC 的中点, ∴BE⊥AC,DE⊥AC,∴AC⊥平面 BDE, 又 AC 平面 ADC,∴平面 ADC⊥平面 BDE. 答案: 垂直 6.如图,若 PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面,则该图中相互垂直的平面有________对. 解析: 由 PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面, 知平面 PAD⊥平面 ABCD 和平面 PAB⊥平面 ABCD;由 AB⊥平面 PAD,知平面 PAB⊥平面 PAD;由 BC⊥平面 PAB,知平面 PBC⊥平面 PAB; 由 DC⊥平面 PAD,知平面 PDC⊥平面 PAD.所以题图中相互垂直的平面共有 5 对. 答案: 5 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱 CC1 的中点.证 明:平面 ABM⊥平面 A1B1M. 证明: 由长方体的性质可知 A1B1⊥平面 BCC1B1, 又 BM 平面 BCC1B1,所以 A1B1⊥BM. 又 CC1=2,M 为 CC1 的中点,所以 C1M=CM=1. 在 Rt△B1C1M 中,B1M= B1C1+MC1= 2, 同理 BM= BC +CM = 2,又 B1B=2, 所以 B1M2+BM2=B1B2,从而 BM⊥B1M. 又 A1B1∩B1M=B1,所以 BM⊥平面 A1B1M, 因为 BM 平面 ABM,所以平面 ABM⊥平面 A1B1M. 8.如图,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,SA⊥平面 ABCD,且 SA=AB,点 2 2 2 2 E 为 AB 的中点,点 F 为 SC 的中点. (1)求证:EF⊥CD; (2)求证:平面 SCD⊥平面 SCE. 证明: (1)连接 AC,AF,BF. ∵SA⊥平面 ABCD, ∴AF 为 Rt△SAC 斜边 SC 上的中线, 1 ∴AF=2SC. 又∵四边形 ABCD 是正方形, ∴CB⊥AB. 而由 SA⊥平面 ABCD,得 CB⊥SA, ∴CB⊥平面 SAB,∴CB⊥SB, ∴BF 为 Rt△SBC 斜边 SC 上的中线, 1 ∴BF=2SC,∴AF=BF,∴△AFB 为等腰三角形. ∵E 为 AB 的中点,∴EF⊥AB. 又 CD∥AB,∴EF⊥CD. (2)由已知易得 Rt△SAE≌Rt△CBE, ∴SE=EC,即△SEC 是等腰三角形,∴EF⊥SC. 又∵SC∩CD=C,EF⊥CD,∴EF⊥平面 SCD. 又 EF 平面 SCE,∴平面 SCD⊥平面 SCE. 尖子生题库 ☆☆☆ 9.(10 分)如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. (1)求证:平面 PAC⊥平面 PBC; (2)若 AB=2,AC=1,PA=1,求二面角 C-PB-A 的余弦值. 解析: (1)证明:由 AB 是圆的直径,得 AC⊥BC. 由 PA⊥平面 ABC,BC? 平面 ABC,得 PA⊥BC. 又 PA∩AC=A,PA? 平面 PAC,AC? 平面 PAC, 所以 BC⊥平面 PAC. 因为 BC? 平面 PBC, 所以平面 PBC⊥平面 PAC. (2)如图,

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