高中数学第三章导数及其应用3.3第2课时函数的极值与导数课件新人教A版选修1


第 2 课时 函数的极值与导数 [核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材 P93~P96 的内容,回答下列问题. (1)观察教材 P94 图 3.3-8,函数 y=h(t)在 t=a 处的函数值与 它附近的函数值的大小有什么关系? y= h(t)在此处的导数值是多 少?在这个点的附近,y=h(t)的导数的符号有什么规律? 提示: 函数 y=h(t)在 t=a 处的函数值比它附近的函数. 值都大,此处的导数为 0,左侧 h′(t)>0,右侧 h′(t)<0 . (2)观察教材 P94 图 3.3-10 和图 3.3-11,函数 y=f(x)在 a, b,c,d,e,f,g,h 等点的函数值与这些点附近的函数值的大 小有什么关系? y=f(x)在这些点的导数值是多少?在这些点附 近,y=f(x)的导数的符号有什么规律? 提示: 函数 y=f(x)在 a,c,e,g 的函数值比它附近的函数 值都小,在 b,d,f,h 处的函数值比它附近的函数值都大; y=f(x)在这些点的导数值都是 0;在 a,c,e,g 点的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0;在 b,d,f,h 点的左侧 f′(x)>0, 右侧 f′(x)<0. 2.归纳总结,核心必记 (1)极值点与极值 ①极小值点与极小值 如图,函数 f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近 其他点 的函数值都小,f′(a)=0;且在点 x=a 附近的左侧 f′(x) < 0,右侧 f′(x) > 0,则称 点 a 叫做函数 y=f(x)的极小 值点, f(a) 叫做函数 y=f(x)的极小值. ②极大值点与极大值 函数 f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在 点 x=b 附近其他点 的函数值都大, f′(b)=0; 且在点 x=b 附近的左侧 f′(x) > 0, 右侧 f′(x) < 0,则称 点 b 叫做函数 y=f(x)的极大值点, f(b) 叫做 函数 y=f(x)的极大值. ③极值点与极值 极小值点 、极大值点统称为极值点, 极大值 和 极小值 统 称为极值. (2)求可导函数 y=f(x)的极值的方法 解方程 f′(x)=0,当 f′(x0)=0 时: ①如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0) 是 极大值 . ②如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0 时, 右侧 f′(x)>0, 那么 f(x0) 是 极小值 . [问题思考] (1)函数的极大值一定大于极小值吗? 提示: 不一定,课本 P94 图 3.3-11 中 c 处的极小值 大于 f 处的极大值 . (2)函数 f(x)的定义域为开区间(a,b), 导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示, 则函数 f(x)在开区间(a,b)内有几个极小 值点? 提示: 一个.x1,x2,x3 是极值点,其中 x2 是极小值点.x1、 x3 是极大值点 . (3)已知 x0 是函数 f(x)定义域内的一点, 当满足什么条件时, f(x0) 是 f(x)的极大值?当满足什么条件时,f(x0)是 f(x)的极小值? 且在 x0 附近的左侧 f′(x)>0, 右侧 f′(x)<0 提示: 当 f′(x0)=0, 时, f(x0)是极大值; 当 f′(x0)=0, 且在 x0 附近的左侧 f′(x)<0, 右侧 f′(x)>0 时,f(x0)是极小值 . (4)导数为 0 的点都是极值点吗? 3 不一定,

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