高中数学第三章导数及其应用3.3第2课时函数的极值与导数课件新人教A版选修1_1_图文

第 2 课时 函数的极值与导数 [核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材 P93~P96 的内容,回答下列问题. (1)观察教材 P94 图 3.3-8,函数 y=h(t)在 t=a 处的函数值与 它附近的函数值的大小有什么关系? y= h(t)在此处的导数值是多 少?在这个点的附近,y=h(t)的导数的符号有什么规律? 提示: 函数 y=h(t)在 t=a 处的函数值比它附近的函数. 值都大,此处的导数为 0,左侧 h′(t)>0,右侧 h′(t)<0 . (2)观察教材 P94 图 3.3-10 和图 3.3-11,函数 y=f(x)在 a, b,c,d,e,f,g,h 等点的函数值与这些点附近的函数值的大 小有什么关系? y=f(x)在这些点的导数值是多少?在这些点附 近,y=f(x)的导数的符号有什么规律? 提示: 函数 y=f(x)在 a,c,e,g 的函数值比它附近的函数 值都小,在 b,d,f,h 处的函数值比它附近的函数值都大; y=f(x)在这些点的导数值都是 0;在 a,c,e,g 点的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0;在 b,d,f,h 点的左侧 f′(x)>0, 右侧 f′(x)<0. 2.归纳总结,核心必记 (1)极值点与极值 ①极小值点与极小值 如图,函数 f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近 其他点 的函数值都小,f′(a)=0;且在点 x=a 附近的左侧 f′(x) < 0,右侧 f′(x) > 0,则称 点 a 叫做函数 y=f(x)的极小 值点, f(a) 叫做函数 y=f(x)的极小值. ②极大值点与极大值 函数 f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在 点 x=b 附近其他点 的函数值都大, f′(b)=0; 且在点 x=b 附近的左侧 f′(x) > 0, 右侧 f′(x) < 0,则称 点 b 叫做函数 y=f(x)的极大值点, f(b) 叫做 函数 y=f(x)的极大值. ③极值点与极值 极小值点 、极大值点统称为极值点, 极大值 和 极小值 统 称为极值. (2)求可导函数 y=f(x)的极值的方法 解方程 f′(x)=0,当 f′(x0)=0 时: ①如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0) 是 极大值 . ②如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0 时, 右侧 f′(x)>0, 那么 f(x0) 是 极小值 . [问题思考] (1)函数的极大值一定大于极小值吗? 提示: 不一定,课本 P94 图 3.3-11 中 c 处的极小值 大于 f 处的极大值 . (2)函数 f(x)的定义域为开区间(a,b), 导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示, 则函数 f(x)在开区间(a,b)内有几个极小 值点? 提示: 一个.x1,x2,x3 是极值点,其中 x2 是极小值点.x1、 x3 是极大值点 . (3)已知 x0 是函数 f(x)定义域内的一点, 当满足什么条件时, f(x0) 是 f(x)的极大值?当满足什么条件时,f(x0)是 f(x)的极小值? 且在 x0 附近的左侧 f′(x)>0, 右侧 f′(x)<0 提示: 当 f′(x0)=0, 时, f(x0)是极大值; 当 f′(x0)=0, 且在 x0 附近的左侧 f′(x)<0, 右侧 f′(x)>0 时,f(x0)是极小值 . (4)导数为 0 的点都是极值点吗? 3 不一定,如 f ( x ) = x ,f′(0)=0,但 x=0 不是 f(x) 提示: =x3 的极值点.所以,当 f′(x0)=0 时,要判断 x=x0 是否 为 f(x)的极值点,还要看 f′(x)在 x0 两侧的符号是否相反 . (5)函数 y=f(x)在给定区间(a,b)内一定有极值点吗? 提示: 不一定,若函数 y=f(x)在区间(a,b)内是单调函 数,就没有极值点 . [课前反思] 通过以上预习,必须掌握的几个知识点. (1)函数的极大值、极小值的定义是: ; (2)函数的极大值点、极小值点的定义是: ; (3)求函数 y=f(x)的极值的方法是什么? . ?讲一讲 1.(链接教材 P94-例 4)求下列函数的极值: (1)f(x)=x e 2 -x; ln x (2)y= . x [尝试解答] -x)e-x. (1)函数的定义域为 R.f′(x)=2xe-x-x2e-x=x(2 令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2. 当 x 变化时,f′ (x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,0) - ? 0 0 0 (0,2) + 2 0 ? 4e-2 (2,+∞) - ? 由上表可以看出,当 x=0 时,函数有极小值,且 f(0)=0. 4 当 x=2 时,函数有极大值,且 f(2)= 2. e ln x (2)函数 y= 的定义域为(0,+∞), x 1-ln x 1-ln x y′= .令 y′=0,即 =0,得 x=e. x2 x2 当 x 变化时,y′,y 的变化情况如下表: x y′ y (0,e) + ? e 0 1 e (e,+∞) - ? 1 由表可知,当 x=e 时,函数有极大值 . e 求可导函数 f(x)的极值的步骤为: (1)求函数的定义域; (2)求函数的导数 f′(x); (3)令 f′(x)=0,求出全部的根 x0; (4)列表: 方程的根 x0 将整个定义域分成若干个区间, 把 x, f′(x),f(x)在每个区间 内的变化情况列在一个表格内; (5)判断得结论:若导数在 x0 附近左正右负,则在 x0 处取 得极大值;若左负右正,则取得极小值. ?练一练 1.求下列函数的极值: 1 3 2x 2 (1)f(x)= x -x -3x+3;(2)f(x)= 2

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