2017-2018学年高中数学人教A版必修四课件:第一章 第6节 三角函数模型的简单应用_图文

讲一讲 1. 单摆从某点开始来回摆动, 离开平衡位置的距离 s(单位: cm) 和时间 t(单位:s)的函数关系式为 (1)作出函数的图象; (2)当单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置的距离是多少? (3)当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的距离是多少? (4)单摆来回摆动一次需多长时间? ? s=6sin? ?2π ? π? ? t+ ?. 6? [尝试解答] (1)利用“五点法”可作出其图象. π (2)因为当 t=0 时, s=6sin =3, 所以此时离开平衡位置 3 cm. 6 (3)离开平衡位置 6 cm. 2π (4)因为 T= =1,所以单摆来回摆动一次所需的时间为 1 s. 2π 三角函数在物理中的应用 三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中, 其中 对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多, 解决这类问题时 尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表 示方法. 练一练 1.交流电的电压 E(单位:V)与时间 t(单位:s)的关系可 用 E=220 ? ? 3sin?100π ? π? ? t+ ?来表示,求: 6? (1)开始时电压; (2)电压值重复出现一次的时间间隔; (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间. 解:(1)当 t=0 时,E=110 3(V),即开始时的电压为 110 3 V. 2π 1 (2)T= = (s),即时间间隔为 0.02 s. 100π 50 π π (3)电压的最大值为 220 3 V,当 100πt+ = ,即 6 2 t= 1 s 时第一次取得最大值. 300 讲一讲 2.心脏跳动时,血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称 为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数 120/80 mmHg 为标准值.设某人的血压满足函数式 p(t)=115+25sin 160π t,其 中 p(t)为血压(mmHg),t 为时间(min),试回答下列问题: (1)求函数 p(t)的周期; (2)求此人每分钟心跳的次数; (3)画出函数 p(t)的草图; (4)求出此人的血压在血压计上的读数. [尝试解答] 2π (1)由于 ω=160π,代入周期公式 T= ,可得 T= |ω| 2π 1 1 = (min),所以函数 p(t)的周期为 min. 80 160π 80 1 (2)每分钟心跳的次数即为函数的频率 f= =80(次). T (3)列表: t 0 1 1 3 1 320 160 320 80 p(t) 115 140 115 90 115 描点、连线并向左右扩展得到函数 p(t)的简图如图所示: (4)由图可知此人的收缩压为 140 mmHg,舒张压为 90 mmHg. (1) 在读题时把问题提供的 “ 条件 ” 逐条地 “ 翻译 ” 成 “数学语言”,这个过程就是数学建模的过程. (2)在解题中, 将实际问题转化为与三角函数有关的问题, 常见形式有:求出三角函数的解析式,画出函数的图象以及 利用函数的性质进行解题. 练一练 2.如图为一个缆车示意图,缆车半径为 4.8 m,圆上最低点 与地面的距离为 0.8 m,60 s 转动一圈,图中 OA 与地面垂直,以 OA 为始边,逆时针转动 θ 角到 OB,设 B 点与地面距离是 h. + (1)求 h 与 θ 间的函数解析式; (2)设从 OA 开始转动,经过 t s 后到达 OB,求 h 与 t 之间的 函数解析式,并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少? 解:(1)以圆心 O 为原点,建立如图所示的坐标系,则以 π Ox 为始边 , OB 为终边的角为 θ - ,故 B 点坐标为 2 ? ? ? ? π? π? ? ? ? ? ?? ?4.8cos?θ- 2 ?,4.8sin?θ- 2 ??. ? ? ? ? ?? ? π? ? ? ∴h=5.6+4.8sin?θ- ?. 2? ? π (2)点 A 在圆上转动的角速度是 , 故 t s 转过的弧度数为 30 ?π πt π? ? ? .∴h=5.6+4.8sin? t- ?,t∈[0,+∞). 30 2? ?30 到达最高点时,h=10.4 m. 由 ?π π π π π? ? ? sin? t- ?=1,得 t- = +2kπ,k∈N, 30 2 2 2? ?30 ∴tmin=30(s). 即缆车到达最高点时,用的时间最少为 30 秒. 讲一讲 3. 已知某海滨浴场海浪的高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24, 单位: 时)的函数,记作:y=f(t).下表是某日各时的浪高数据. t(时 ) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 (1)根据以上数据,求函数 y=f(t)的函数解析式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放, 请依据(1)的结论,判断一天内上午 8:00 至晚上 20:00 之间, 有多少时间可供冲浪爱好者进行运动? [尝试解答] (1)由表中数据描出各点, 并把这些点用平滑的 曲线连接起来(如图),由图知,可设 f(t)=Acos ωt+b,并且周 2π 2π π 期 T=12,∴ω= T = = . 12 6 由 t=0,y=1.5,得 A+b=1.5;由 t=3,y=1.0,得 b=1.0. π 1 ∴A=0.5,b=1.∴y= cos t+1. 2 6 (2)由题知,当 y>1 时才可对冲浪爱好者开放, π π 1 ∴ cos t+1>1.∴cos t>0. 2 6 6 π π π ∴ 2k π - < t<2k π + (k∈Z) , 即 12k - 3<t<12k + 2 6 2 3(k∈Z).① ∵0≤t≤24,故可令①中 k 分别为 0,1,2, 得 0≤t<3 或 9<t

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