高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.5距离学业分层测评新人教B版选修2_1

3.2.5 距离 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1. 已知平面 α 的一个法向量 n=(-2, -2,1), 点 A(-1,3,0)在平面 α 内, 则点 P(- 2,1,4)到平面 α 的距离为( A.10 8 C. 3 ) B.3 10 D. 3 → 【解析】 由题意可知PA=(1,2,-4).设点 P 到 α 的距离为 h, → |PA·n| 10 则 h= = . |n| 3 【答案】 D 2.在△ABC 中,AB=15,∠BCA=120°,若△ABC 所在平面 α 外一点 P 到 A,B,C 的 距离都是 14,则 P 到 α 的距离是( A.13 C.9 ) B.11 D.7 【解析】 作 PO⊥α 于点 O,连接 OA,OB,OC,∴PA=PB=PC,∴OA=OB=OC,∴O 是△ABC 的外心.∴OA= 2 2 AB 15 = =5 3, 2sin ∠BCA 2sin 120° ∴PO= PA -OA =11 即为所求. 【答案】 B 3.在棱长为 a 的正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,M 是 AA1 的中点,则点 A1 到平面 MBD 的距离是 ( ) A. C. 6a 6 3a 4 B. D. 3a 6 6a 3 【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0),M?a,0, ?,B(a,a,0), 2? ? ? a? A1(a,0,a), 1 a? → ? ∴DM=?a,0, ?, 2? ? → DB=(a,a,0),DA1=(a,0,a). 设平面 MBD 的法向量为 n=(x,y,z), → a ? ?ax+ z=0, 2 则? ? ?ax+ay=0, 令 x=1,则可得 n=(1,-1,-2). → |DA1·n| |a-2a| 6 ∴d= = = a. |n| 6 6 【答案】 A 4.若正四棱柱 ABCD?A1B1C1D1 的底面边长为 1,AB1 与底面 ABCD 成 60°角,则 A1C1 到底 面 ABCD 的距离为( ) 【导学号:15460082】 A. 3 3 B.1 D. 3 C. 2 【解析】 如图,A1C1∥平面 ABCD,所以 A1C1 到平面 ABCD 的距离等于点 A1 到平面 ABCD 的距离,由 AB1 与平面 ABCD 所成的角是 60°,AB=1,所以 BB1= 3,即点 A1 到平面 ABCD 的距离为 3. 【答案】 D 5. 已知二面角 α ?l?β 为 60°, 动点 P, Q 分别在平面 α , β 内, P 到 β 的距离为 3, Q 到 α 的距离为 2 3,则 P,Q 两点之间距离的最小值为( A.2 C.2 3 B.2 D.4 ) 2 【解析】 作 PM⊥β ,QN⊥α ,垂足分别为 M,N. 分别在平面 α ,β 内作 PE⊥l,QF⊥l,垂足分别为 E,F,如图所示, 连接 ME,NF,则 ME⊥l, ∴∠PEM 为二面角 α ?l?β 的平面角,∴∠PEM=60°. → |PM| 3 → 在 Rt△PME 中,|PE|= = =2, sin 60° sin 60° → 同理|QF|=4. → → → → 又PQ=PE+EF+FQ, → 2 → 2 → → → → → → → 2 ∴|PQ| =4+|EF| +16+2PE·EF+2PE·FQ+2EF·FQ=20+|EF| +2×2×4cos 120° → 2 =12+|EF| . → 2 → 2 ∴当|EF| 取最小值 0 时,|PQ| 最小, → 此时|PQ|=2 3. 【答案】 C 二、填空题 6.如图 3?2?42,已知在 60°的二面角 α ?l?β 中,A∈α ,B∈β ,AC⊥l 于 C,BD⊥l 于 D,并且 AC=1,BD=2,AB=5,则 CD=________. 图 3?2?42 【解析】 ∵AC⊥l,BD⊥l,α ?l?β 为 60°的二面角, → → ∴〈CA,DB〉=60°. → → → → ∵AB=AC+CD+DB, →2 →2 →2 →2 → → → → → → ∴AB =AC +CD +DB +2AC·CD+2AC·DB+2CD·DB, →2 → → → → 2 2 ∴5 =1 +CD +4+2·|AC||DB|×cos 〈AC,DB〉 , →2 ∴CD =20-2×1×2×cos 120°=22, 3 → ∴|CD|= 22. 【答案】 22 7. 在底面为直角梯形的四棱锥 P?ABCD 中, 侧棱 PA⊥底面 ABCD, BC∥AD, ∠ABC=90°, PA=AB=BC=2,AD=1,则点 D 到平面 PBC 的距离是________. 【解析】 分别以 AB,AD,AP 所在直线为 x 轴,y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图, 则 A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,1,0), → → ∴PC=(2,2,-2),BC=(0,2,0). → ? ?n·PC=0, 设 n=(x,y,z)为平面 PBC 的法向量,则? → ? ?n·BC=0, 即? ?x+y-z=0, ? ? ?y=0, 取 x=1,则 n=(1,0,1). → 又BD=(-2,1,0), → |BD·n| ∴点 D 到平面 PBC 的距离为 = 2. |n | 【答案】 2 8.正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱长为 a,E,F 分别是 BB1,CD 的中点,则点 F 到平面 A1D1E 的距离为________. 【解析】 建立空间直角坐标系,则 A1(a,0,a),D1(0,0,a),A(a,0,0),B(a,a,0), a? ? a ? ? B1(a,a,a),E?a,a, ?,F?0, ,0?,如图所示. ? 2? ? 2 ? 设平面 A1D1E 的法向量为 n=(x,y,z), → →

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