高三数学-【数学】湖北省武汉市六校2018届高三第一次联考(理) 精品

武 大 附 中 华 师 一 附 中 华科大附中 武理工附中 中南财大附中 地 大 附 中
2018 届高三第一次联考 数 学 试 题(理科)

华中科技大学教育考试中心命制
2018.11.24 本试卷共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只
有一项是满足题目要求的。

1、设 I 为全集, S1、S2、S3 是 I 的三个非空子集,且 S1 ? S2 ? S3 ? I ,则下面选项正确

的是 ( )

A、 CI S1 ?(S2 ? S3)? ?

B、

S1

?(CI

S2

? CI

S


2

C、 CI S1 ? CI S2 ? CI S3 ? ?

D、

S1

?(CI S2

?

C

I

S


2

2、已知函数

f (x)

?

ex ex

? e?x ? e?x

的反函数是

f

?1 (x) ,且 | f ?1(?0.8) | | f ?1(0.6) |

?k

,则





A、 k ? (0, 1) 2

B、 k ? (1 ,1) 2

C、 k ? (1, 3) 2

D、 k ? ( 3 ,2) 2

3、若复数 z ?

(? 2i)(x ? 2i)2

(x ? R) ,且| z |? 7 ,则 x 的取值范围是 ( )

(1 ? i)3 (? 1 ? 3 i)(x ? i)2

8

22

A、 (??,?3] ?[3,??) B、 (??,? 3] ? [ 3,??) C、[?3,3] D、[? 3, 3]

4、函数 y = arcos(a x -1)在[ 0,1 ]上是减函数,则实数 a 的取值范围是 (



A、( 1,+ ∞ )

B、( 0,+ ∞ )

C、( 0,1 ]

D、

( 0,2 ]

5、设三位数 n ? abc ,若以 a,b,c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,
则这样的三位数 n有 ( )

A、 45 个

B、 81 个

C、165 个

D、216 个

6、 (1? ax ? by)n 展开式中不含 x 的项的系数绝对值的和为 243,不含 y 的项的系数绝对值

的和为 32 ,则

a,b, n 的值可能为 ( )

A、 a ? 2,b ? ?1, n ? 5

B、 a ? ?2,b ? ?1, n ? 6

C、 a ? ?1,b ? 2, n ? 6

D、 a ?1,b ? 2, n ? 5

7、直线 y = x + 1 与椭圆 m x 2 + n y 2 = 1( m,n > 0 )相交于 A,B 两点,弦 AB 的中点的横坐标

是– 1 ,则双曲线 y 2 – x2 = 1 的两条渐近线所夹的锐角等于( )

3

m2 n2

A、2 arctan 2

B、2 arctan 1 2

C、π – 2 arctan 2

D、π – 2 arctan 1 2

8、正四棱锥 S ? ABCD中,侧棱与底面所成的角为? ,侧面与底面所成的角为 ? ,侧面等

腰三角形的底角为? ,相邻两侧面所成的二面角为? ,则? 、 ? 、? 、? 的大小关系是

()

A、? ? ? ? ? ? ?

B、? ? ? ? ? ? ?

C、? ? ? ? ? ? ?

D、? ? ? ? ? ? ?

9、如图,半径为 1 的圆 M 切直线 AB 于 O 点,射线 OC 从 OA 出发,绕着 O 点,顺时针方 向旋转到 OB,旋转过程中 OC 交⊙M 于 P,记∠PMO 为 x,弓形 PNO 的面积 S = f ( x ), 那么 f ( x )的图象是 ( )

y
? ?

2

O

? 2? x

(AA)

y
? ?
2
O ? 2? x (BB )

y

y

?

?

O ? 2? x O (CC)

? 2? x (DD)

10、数列 ?an ?的各项均为正数, Sn 为其前 n 项和,对于任意 n ? N *,总有 an , Sn , an2 成等

差数列设数列?bn ?

的前 n 项和为Tn

,且 bn

?

ln n x an 2

,则对任意实数 x ? ?1, e?( e 是常数,e =2.71828 ??? )

和任意正整数 n , Tn 小于的最小正整数为 ( )

A、1

B、2

C、3

D、4

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置 上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.

11、已知 5cos2 ? ? 4cos2 ? ? 4cos? ,则 cos2 ? ? cos2 ? 的取值范围是_______________.

12、甲、乙两厂生产同一种商品.甲厂生产的此商品占市场上的 80%,乙厂生产的占 20%;

甲厂商品的合格率为 95%,乙厂商品的合格率为 90%.若某人购买了此商品发现为次品,

则此次品为甲厂生产的概率为



13、若方程 lg kx ? 2lg? x ?1? 仅有一个实根,那么 k 的取值范围是



14、已知数列{an } 满足: a1 ? 1,

a2

?

1 2

,且

an?2

?

a

2 n?1

an ? an?1

( n ? N* ),

则右图中前 n 行所有数的和 S n =



15、函数 y ? x ? 27 ? 13 ? x ? x 的最小值为

,最大值为



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16、(本小题满分 10 分)如图是两个独立的转盘(A)、(B),在两个图中三个扇形区域的 圆心角分别为 60°、120°、180°。用这两个转盘进行玩游戏,规则是:同时转动两 个转盘待指针停下(当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时,则这次转动无效,
重新开始),记转盘(A)指针所对的区域数为 x ,转盘(B)指针所对的区域为 y ,x 、
y ? ?1, 2,3? ,设 x + y 的值为? ,每一次游戏得到奖励分为? .

(Ⅰ)求 x <2且 y >1的概率; (Ⅱ)某人进行了 12 次游戏,求他平均可以得到的奖励分.

17、(本小题满分 12 分)在△OAB 的边 OA、OB 上分别有一点 P、Q,已知| OP | : | PA| =1:2, | OQ | : | QB | =3:2,连结 AQ、BP,设它们交于点 R,若 OA =a, OB =b.
(Ⅰ)用 a 与 b 表示 OR ;

(Ⅱ)过 R 作 RH⊥AB,垂足为 H,若| a|=1, | b|=2, a 与 b 的夹角 ??[ ? , 2?], 求 | BH | 3 3 | BA|
的范围.

18、(本小题满分 12 分)如图,斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,已知侧面 BB1C1C 与底面 ABC 垂

直且∠BCA =90°,∠ B1BC ? 60 ,BC ? BB1 =2,若二面角 A ? B1B ? C

为 30°.

B

B1

(Ⅰ)证明 AC ? 平面BB1C1C ;

(Ⅱ)求 AB1 与平面 BB1C1C 所成角的正切值; (Ⅲ)在平面 AA1B1B 内找一点 P,使三棱锥 P ? BB1C 为正三棱锥,

C A

C1 A
1

并求 P 到平面 BB1C 距离.

? ? 19、(本小题满分

13

分)已知数列?an? 满足

a1

?

1 2

,

an?1

?

?n

?1??2an ?
an ? 4n

n?

n?N?

.

(Ⅰ)求 a2 , a3 , a4 ;

(Ⅱ)已知存在实数 ?

,使

? ? ?

an ? ? n an ? n

? ? ?

为公差为

?1的等差数列,求

?

的值;

? ? ? ? (Ⅲ)记 bn ?

1
n?2

3 2 an?2

n? N?

,数列 bn

的前 n 项和为 Sn ,求证: Sn

?

?2

3 ?1
.
12

20、(本小题满分 13

分)椭圆 x 2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? b ? 0) 的左、右焦点分别为

F1、F2,过

F1 的直

线 l 与椭圆交

于 A、B 两点.

(Ⅰ)如果点 A 在圆 x2 ? y 2 ? c2 (c 为椭圆的半焦距)上,且|F1A|=c,求椭圆的离心

率;

(Ⅱ)若函数 y ? 2 ? logm x (m ? 0且m ? 1) 的图象,无论 m 为何值时恒过定点(b, a), 求 F2 A? F2B 的取值范围.

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案 C

D

B

D

C

D

B

A

A

B

21、(本小题满分 13 分)设函数 fn (? ) ? sinn ? ? ( ?1)n cosn ? ,

0 ? ? ? ? ,其中 n 为正整 4

数.

(Ⅰ)判断函数 f1(? )、 f3 (? ) 的单调性,并就 f1 (? ) 的情形证明你的结论;

? ?? ? (Ⅱ)证明: 2 f6 (? ) ? f 4 (? ) ? cos 4 ? ? sin 4 ? cos 2 ? ? sin 2 ? ;
(Ⅲ)对于任意给定的正整数 n ,求函数 f n (? ) 的最大值和最小值.

武 大 附 中 华 师 一 附 中 华科大附中 武理工附中 中南财大附中 地 大 附 中
2018 届高三第一次联考
数 学 试 题(理科)参考答案
华中科技大学教育考试中心命制 2018.11.24

11.

???0,

16 25

? ??

2
12.
3

13. k < 0 或 Zk = 4

14.

11

15. 3 3 ? 13 ;

16. 解:“⑴由几何概率模型可知:



(2 分)





所以

(4 分)

⑵由条件可知 的取值为:

,则 的分布列为:

(8 分) 他平均一次得到的奖励分即为 的期望值:

所以给他玩 次,平均可以得到 分

(10 分)

17. 解:(1)由 OA =a,点 P 在边 OA 上且| OP | :| PA| =1:2,

可得 OP ? 1 (a- OP ), ∴ OP ? 1 a. 同理可得 OQ ? 2 b. ……2 分

2

3

5

设 AR ? ? AQ, BR ? ?BP(?, ? ? R) ,

则 OR ? OA ? AR ? OA ? ? AQ =a+ ?( 3 b-a)=(1- ? )a+ 3 ? b,

5

5

OR ? OB ? BR ? OB ? ?BP =b+ ?(1 a-b)= 1 ? a+(1- ? )b. ……4 分

3

3

∵向量 a 与 b 不共线,



???1 ? ? ?

? ?

3

??5

?

?

1

1 3
?

? ?

解得? ? 5 , ? ? 1

6

2

∴ OR ? 1 a+ 1 b. ………………5 分 62

(2)设 | BH | ? ? ,则 BH ? ?BA ? ? (a-b), | BA|

∴ RH ? BH ? BR ? BH ? (OR ? OB) ? ? (a-b)- ( 1 a+ 1 b)+b 62

= (? ? 1 ) a+( 1 ? ?) b. ………………6 分

6

2

∵ RH ? BA , ∴ RH ? BA ? 0 ,即[ (? ? 1 ) a+( 1 ? ?) b]·(a-b)=0

6

2

(? ? 1 ) a2+( 1 ? ?) b2+ ( 2 ? 2?) a·b=0………………8 分

6

2

3

又∵|a|=1, |b|=2, a·b=|a||b| cos? ? 2cos? ,

∴ (? ? 1) ? 4(? ? 1) ? ( 2 ? 2?)(2 cos?) ? 0

6

23

∴ ? ? 1 ? 13 ? 8cos? ? 1 ( 3 ? 2) .………………10 分 6 5 ? 4cos? 6 5 ? 4cos?

∵ ??[ ? , 2?] , ∴ cos??[? 1 , 1] , ∴5-4 cos ??[3 , 7],

33

22

∴ 1 ( 3 ? 2) ? ? ? 1 (3 ? 2), 即17 ? ? ? 1 .

67

63

42 2

故 | BH | 的取值范围是[17 , 1 ] .………………12 分

| BA|

42 2

18. 解:(1) 面 BB1C1C ? 面 ABC,因为面 BB1C1C ? 面 BB1C1C = BC , AC ? BC ,所

以 AC ? 面 BB1C1C .

(2)取 BB1中点 E ,连接 CE, AE ,在 ?CBB1中, BB1 ? CB ? 2, ?CBB1 ? 60 0

? ?CBB1 是正三角形,?CE ? BB1 ,又 AC ? 面 BB1C1C 且 BB1 ? 面 BB1C1C ,

? BB1 ? AE ,即 ?CEA即为二面角 A ? B1B ? C 的平面角为 30°,

? AC ? 面 BB1C1C ,? AC ? CE ,在 Rt?ECA 中,?CE ? 3,? AC ? CE ? tan 30 0 ? 1,

又 AC ? 面 BB1C1C ,??CB1 A 即 AB1 与面 BB1C1C 所成的线面角,

在 Rt?B1CA 中, tan ?CB1 A ?

AC CB1

?

1 2

(3)在 CE 上取点 P1 ,使

CP1 P1 E

?

2 1

,则因为

CE



?B1

BC

的中线,?

P1



?B1

BC

的重

心,在 ?ECA 中,过 P1 作 P1P // CA 交 AE 于 P ,? AC ? 面 BB1C1C , P1P // CA

? PP1 ? 面 CBB1 ,即 P 点在平面 CBB1 上的射影是 ?BCB1 的中心,该点即为所求,且

PP1 AC

?

1 3

,?

PP1

?

1 3



19. 解:(1)

a1

?

1 2

,由数列?an?

的递推公式得

a2

?

0 , a3

?

?

3 4

, a4

?

?

8 5

.……………………………………………………3



(2) an?1 ? ? (n ?1) ? an ? ? n an?1 ? n ?1 an ? n

(n ?1)(2an ? n) ? ? (n ?1)

=

an ? 4n (n ?1)(2an ? n) ? n ?1

? an ? ? n an ? n

an ? 4n

= (? ? 2)an ? (4? ?1)n ? an ? ? n = ? ?1 .……………………5 分

3an ? 3n

an ? n 3

?

数列

? ? ?

an ? ? n an ? n

? ? ?

为公差是

?

? 3

1

的等差数列.

由题意,令 ? ?1 ? ?1 ,得? ? ?2.……………………7 分 3

(3)由(2)知 an ? ? n ? a1 ? 2 ? (n ?1)(?1) ? ?n , an ? n a1 ?1

所以 an

?

?n2 ? 2n n ?1

.……………………8



此时 bn

?

n?2
32

?

?(n

1 ? 1)2

?

2(n

?

2)

=

(

?n ? 3 3)n?2 n(n ? 2)

n?3

= 1[

1

? 1 ] ,……………………10 分

2 ( 3)n?2 (n ? 2) ( 3)n n

?

Sn

?

1[ 2(

1? 3)3 ?3

1? 3(

1? 3)4 ?4 (

1? 3)2 ?2

? 1 ? 1 ???? ( 3)5 ?5 ( 3)3 ?3

1

? 1 ] = 1 [? 1 ? 1

( 3)n?2 ? (n ? 2) ( 3)n ? n 2 3 6

?

1

?

1

]

( 3)n?1 ? (n ?1) ( 3)n?2 ? (n ? 2)

> 1 (? 1 ? 1) ? ? 2 3 ?1 .……………………13 分

2 36

12

20. 解:(1)∵点 A 在圆 x 2 ? y 2 ? c 2上,? ?AF1F2为一直角三角形 ,

?| F1 A |? c,| F1F2 |? 2c ?| F2 A |? | F1F2 |2 ? | AF1 |2 ? 3c

由椭圆的定义知:|AF1|+|AF2|=2a,

?c ? 3c ? 2a

?e ? c ? 2 ? 3 ?1 a 1? 3

(2)∵函数 y ? 2 ? logm x的图象恒过点(1, 2)

∴ a ? 2,b ? 1, c ? 1,

点 F1(-1,0),F2(1,0),

①若 AB ? x轴,则A(?1, 2 ), B(?1,? 2 ) ,

2

2

∴ F2 A ? (?2,

2 2 ), F2B ? (?2, ?

2

17

2 ), F2 A? F2B ? 4 ? 2 ? 2

②若 AB 与 x 轴不垂直,设直线 AB 的斜率为 k,则 AB 的方程为 y=k(x+1)



?y ? k(x ?1) ??x2 ? 2 y 2 ? 2

?

消去y得(1 ? 0

2k 2 )x2

?

4k

2x

?

2(k

2

? 1)

?

0

…………(*)

? ? ? 8k 2 ? 8 ? 0,?方程(*)有两个不同的实根.

设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是方程(*)的两个根

4k 2

2(k 2 ?1)

x1 ? x2

?

? 1?

2k

2

,

x1 x2

?

1 ? 2k 2

F2 A ? (x1 ?1, y1),F2B ? (x2 ?1, y2 ),

F2 A? F2B ? (x1 ?1)(x2 ?1) ? y1 y2 ? (1? k 2 )x1x2 ? (k 2 ?1)(x1 ? x2 ) ?1? k 2

?

(1 ?

k2)

2(k 2 ?1) 1? 2k 2

? (k 2

?

1)(?

1

4k 2 ? 2k

2

)

?1?

k2

?

7k 2 ?1 1? 2k 2

?

7 2

?

9 2(1? 2k 2 )

?1 ? 2k 2 ? 1,?0 ? 1 ? 1,0 ? 9 ? 9

1 ? 2k 2

2(1 ? 2k 2 ) 2

?1

?

F2

A?

F2 B

?

7 2

?

9 2(1 ? 2k

2)

?

7 2

,

由①②知

?1

?

F2

A

?

F2 B

?

7 2

21.解:(1)

f1

(?

)、f 3

(?

)



? ??

0,

? 4

? ??

上均为单调递增的函数.

…… 1 分

对于函数 f1 (? ) ? sin ? ? cos ? ,设 ?1 ? ?2 ,

?1、?

2

?

? ??

0,

? 4

? ??

,则

f1(?1) ? f1(?2 ) ? ? sin ?1 ? sin ?2 ? ? ? cos ?2 ? cos ?1 ?,

? sin ?1 ? sin ?2 , cos ?2 ? cos ?1 ,

?

f1??1 ? ? f1??2 ?, ?

函数

f1

(?

)



? ??

0,

? 4

? ??

上单调递增.

…… 3 分

(2)? 原式左边
? ? ? ? ? 2 sin6 ? ? cos6 ? ? sin 4 ? ? cos 4 ?

? ?? ? ? ? ? 2 sin 2 ? ? cos 2 ? sin 4 ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? cos 4 ? ? sin 4 ? ? cos 4 ?

?1 ? sin 2 2? ? cos 2 2? .

? ? 又? 原式右边 ? cos2 ? ? sin2 ? 2 ? cos2 2? .

? ?? ? ? 2 f6 (? ) ? f 4 (? ) ? cos 4 ? ? sin 4 ? cos 2 ? ? sin 2 ? .

(3)当 n ?1时,函数

f1

(?

)



? ??

0,

? 4

? ??

上单调递增,

…… 5 分 …… 6 分

?

f1 (? )

的最大值为

f1

?? ?

? 4

?? ?

?

0

,最小值为

f1?0? ?

?1.

当 n ? 2 时, f2 ?? ? ?1,? 函数 f 2 (? ) 的最大、最小值均为 1.

当 n ? 3 时,函数

f

3

(?

)



? ??

0,

? 4

? ??

上为单调递增.

?

f3 (? )

的最大值为

f

3

?? ?

? 4

?? ?

?

0 ,最小值为

f3 ?0? ?

?1 .

当 n ? 4 时,函数

f

4

(?

)

?

1

?

1 2

s in 2

2?



? ??

0,

? 4

? ??

上单调递减,

?

f4

(? ) 的最大值为

f4

?0? ?1,最小值为

f

4

?? ?

? 4

?? ?

?

1 2

.

…… 9 分

下面讨论正整数 n ? 5 的情形:



n

为奇数时,对任意

?1、?

2

?

? ??

0,

? 4

? ??

且 ?1

?

?2

,

? ? ? ? ? f n (?1 ) ? f n (?2 ) ? sin n ?1 ? sin n ?2 ? cos n ?2 ? cos n ?1 ,

以及 0 ? sin ?1 ? sin ?2 ?1, 0 ? cos ?2 ? cos ?1 ?1,

? sin n ?1 ? sin n ? 2 , cos n ? 2 ? cos n ?1 ,从而 f n (?1) ? f n (?2 ) .

?

f

n

(?

)



? ??

0,

? 4

? ??

上为单调递增,则

fn

(?

) 的最大值为

fn

?? ?

? 4

?? ?

?

0

,最小值为

f4 ?0? ?

?1 .

…… 11 分

当 n 为偶数时,一方面有 f n (? ) ? sin n ? ? cos n ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ? f n (0) .
另一方面,由于对任意正整数 l ? 2 ,有
? ?? ? 2 f 2l (? ) ? f 2l?2 (? ) ? cos 2l?2 ? ? sin 2l?2 ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 0 ,

?

f n (? ) ?

1 2

f n?2 (? ) ? ? ?

1
n ?1

f 2 (? ) ?

1
n ?1

?

f

n

?? ?

? 4

?? ?

.

22

22

?

函数

fn

(?

)

的最大值为

fn

(0)

?1 ,最小值为

fn

?? ?

? 4

?? ?

?

2

? 1 ?n ??

.

?2?

综上所述,当 n 为奇数时,函数 f n (? ) 的最大值为 0 ,最小值为 ?1.

当 n 为偶数时,函数 f n (? ) 的最大值为1 ,最小值为 2

?? 1 ??n ?2?

.

……

13 分精品推荐

强力推荐 值得拥有

精品推荐 强力推荐 值得拥有

精品推荐 强力推荐 值得拥有

精品推荐 强力推荐 值得拥有

精品推荐 强力推荐 值得拥有

精品推荐 强力推荐 值得拥有

精品推荐 强力推荐 值得拥有

精品推荐 强力推荐 值得拥有

精品推荐 强力推荐 值得拥有

精品推荐 强力推荐 值得拥有

精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有


相关文档

高三数学-【数学】湖北省八校2018届高三第一次联考(理) 精品
高三数学-【数学】湖北省2018届高三八校第一次联考(理) 精品
高三数学-【数学】湖北省武汉市六校2018届高三第一次联考(文) 精品
高三数学-【数学】湖北省武汉市部分学校2018届高三上学期起点调研测试(理) 精品
高三数学-【数学】湖北省部分重点中学2018届高三第一次联考(理) 精品
最新-湖北省八校2018届高三数学第一次联考试题 理 精品
最新-湖北省八校2018届高三数学18月第一次联考试题 理 精品
高三数学-【数学】湖北省武汉中学2018届高三2018月月考(理) 精品
高三数学-【数学】湖北省孝感市2018届高三第一次统一考试(理) 精品
高三数学-【数学】湖北省武汉市2018届高中毕业班四月调研测试(理) 精品
学霸百科
新词新语
电脑版 | 学霸百科