2012年高一数学新课程教学课件:2.3函数的单调性(北师大版必修1)_图文

§3

函数的单调性

1

1.了解单调函数、单调区间的概念,能说出单调函
数、单调区间这两个概念的大致意思. 2.理解函数单调性的概念,能用自已的语言表述概 念;并能根据函数的图像指出单调性、写出单调区间. 3.掌握运用函数单调性定义解决具体问题的方法,

能运用函数单调性的定义证明简单函数的单调性.

2

引入新课
建立函数的目的是研究函数值与自变量的关系, 自变量的变化对函数值变化的影响是经常受到关注的 问题.例如水位的涨落随时间变化的规律,是防涝抗

旱工作中必须解决的实际问题.下面我们开始研究函数
在这方面的一个主要性质——函数的单调性.

3

画出下列函数的图像,观察其变化规律:
f(x) = x

1、从左至右图像上升还是下降? 上升 ____ (-∞,+∞) 2、在区间________ 上,随着x的增大, 增大 f(x)的值随着 ______ .

4

画出下列函数的图像,观察其变化规律:

f(x) = x2

1.在区间______上,f(x)的值随着x的增大而______. 减小 (-∞,0]

2.在区间________上,f(x)的值随着x的增大而_____. 增大 (0,+∞)

5

如图,你能说出它的函数值y随自变量x的变化情况吗?

y
-2 -5 -4 -3 -1 3 2 1 1 -1 -2 2 3 4 5

x

怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢?

6

1.增函数

在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对
于任意两数x1 ,x2∈A,当x1<x2 时,都有f(x1)<f(x2), 那么,就称函数y=f(x)在区间A上是增加的,有时也称函 数y=f(x)在区间A上是递增的.
7

2.减函数

在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对

于任意两数x1 ,x2∈A,当x1<x2 时,都有f(x1)>f(x2),
那么,就称函数y=f(x)在区间A上是减小的,有时也称函 数y=f(x)在区间A上是递减的.
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3.单调区间,单调性,单调函数
如果y=f(x)在区间A上是增加的或是减小的,那么称 A为单调区间. 如果y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减

小的,那么就称函数y=f(x)在这个子集上具有单调性.
如果y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减小的,我 们分别称这个函数为增函数或减函数,统称为单调函数.

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注意:
1.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质, 是函数的局部性质; 2.必须是对于区间A内的任意两个自变量x1,x2;当 x1<x2时,总有f(x1)<f(x2) 或f(x1)>f(x2),分别是增函数

和减函数.

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例1 说出函数 f ( x) ? 1 的单调区间,并指明在该
区间上的单调性.
x

解:(-∞,0)和(0,+∞)都是函数的单调区间,在 这两个区间上函数 f ( x ) ? 1 是减小的. x

11

1 练习:证明:函数 f (x) ? 在(0,+∞)上是减函数。 x
证明: 设x1,x2是(0,+∞)上任意两个实数,且x1<x2,则

1 1 x2 ? x1 f(x1)- f(x2)= ? ? . x1 x2 x1 x2
由于x1,x2 x1<x2

? ? 0, ?? ?

,得x1x2>0,又由

,得x2-x1>0,

所以f(x1)- f(x2)>0, 即f(x1)> f(x2). 因此 f(x)=1/x 在(0,+∞)上是减函数.
12

例2 则:

证明函数 f (x) ? 3x ? 2 在R上是增函数.

证明:设 x1 , x 2 是R上的任意两个实数,且

x1 ? x 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (3x1 ? 2) ? (3x2 ? 2)

? 3(x1 ? x 2 )

? x1 ? x 2

? x1 ? x 2 ? 0
在R上是增函数.

? f (x1 ) ? f (x 2 ) ? 0 ?f (x1 ) ? f (x 2 )

? f (x) ? 3x ? 2

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利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的 一般步骤:

1.任取x1,x2∈A,且x1<x2;
2.作差f(x1)-f(x2); 3.变形(通常是因式分解和配方); 4.定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); 5.下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调 性).
14

注意:
函数的单调性是对某个区间而言的,对于单独的一 点,由于它的函数值是唯一确定的数,因而没有增减变 化.因此,在考虑它的单调区间时,端点有定义时包括

端点,端点无定义时不包括端点.

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1. 如图,已知y=f(x) 的图像(包括端点),根据图像说

出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,函数是增函数
还是减函数.

y
1 -2 -1

y ? f (x )
1 2

o
-1

x
16

[-2,-1],[0,1]上是减函数;[-1,1],[1,2]上是增函数.

(-∞,2) 2.函数y=│x-2│的单调减区间是___________.

(1,+∞) y ? 3x 2 ? 6 x ? 1的单调增区间是_________. 3.函数

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我们,对于一定量的气体,当体积V减小时,压强将增大,

k 4.物理学中的玻意耳定律 p ? (k为正常数)告诉 v

试用函数的单调性证明之. 证明:根据单调性的定义,设 V1 , V2 是定义域 上的任意两个实数,且 V1 ? V2

(0, ?? )

V2 ? V1 k k p(V1 ) ? p(V2 ) ? ? ? k? V1 V2 V1V2

由V1 , V2 ? ? 0, ?? ? 得,V1V2 ? 0

由V ? V2 得,V2 ? V ? 0 1 1
18

又由于k ? 0,

于是 P(V1 ) ? P(V2 ) ? 0,


p(V1 ) ? p(V2 )
k , V ? ? 0, ?? ? 是减函数。 V

所以函数p ?

也就是说,当体积V减小时,压力p将增大。

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⒈讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的
单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必 须先确定函数的定义域. ⒉根据定义证明函数单调性的一般步骤是:

⑴设

x1 , x 2 是给定区间内的任意两个值,且 x1 ? x 2 .
f (x1 ) ? f (x 2 ) 并将此差变形(要注意变形的程度).

⑵作差

⑶判断 f (x1 ) ? f (x 2 ) 的正负(说理要充分). ⑷根据 f (x1 ) ? f (x 2 ) 的符号确定其增减性.
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