【全国版】2012高三数学理《学海导航》一轮复习课件第1章1.3含绝对值的不等式和一元二次不等式(第2课时)_图文

第一章 集合与简易逻辑
第3 讲
含绝对值的不等式 和一元二次不等式
(第二课时)

? 题型四:二次不等式、分式不等式的解法

? 1. 解不等式组

x2 ? 6x ? 8>0 x ? 3>2. x ?1

?

由x2-6x+8>0,得(x-2)(x-4)>0,

? 所以x<2或x>4.

? 由 x ? 3>,2 得 ?x ? 5>,0 所以1<x<5.

x ?1

x ?1

? 所以原不等式组的解集是(1,2)∪(4,5).

? 点评:解一元二次不等式,一般先化二 次项系数为正,然后解得其对应的一元 二次方程的两个根,再由此写出不等式 的解集;分式不等式,一般是先通分, 然后对分子分母分解因式,再根据实数 乘除的符号法则化为一元二次不等式进 行求解.

? 解不等式 2 ? x ? 3> x ? 2 .

?

原不等式可x ?化2 为x

?

1 2

?

(1

?

1

)>1 ?

1

,?

? 即 1 ? 1 >,0即

2x

?

3

x

?2 >0,

x ?1

? ?

所以x ? 1 x ? 2

其(x解?1用)(数x ?轴2)表示

如下:(x

?

3 2

)( x

?

1)( x

?

2)>0,

? 所以不等式的解集是(1, )∪(2,+∞).
3 2

?

题型五: 高次不等式的解法

? 2. 解下列不等式:

? (1)2x3-x2-15x>0;

? (2)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0.

?

(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)>0,

? 把方程x(2x+5)(x-3)=0的三个根x1=0, x2= , x3=?352顺次标在数轴上,然后从右上开始画曲 线顺次经过三个根,其解集为如图所示的阴

影部分.

? 所以原不等式的解集为{x| ?<52x<0或x>3}.

? (2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0

? x+5≠0

x≠-5

? ?

(x+4)(x-2)>0 ?
所以原不等式的解集为

x<-4或x>2.

? {x|x<-5或-5<x<-4或x>2}.

点评:解高次不等式的策略是降次,降次 的方法一是分解因式法,二是换元法.本题是 利用分解因式,然后根据实数的积的符号法 则,结合数轴标根法得出不等式的解集.

4x ? 2 ? (原创)解不等式 x2 ? x ? 6 ? 1.

?

原不等式可化为 x2 ? 3x ? 4 ?即0,

(x ? 2)(x ? 3)

(x+1)(x-4)(x-2)(x+3)≤0,所以(x+1)(x-4)(x-

2)(x+3)≤0且x≠-3,x≠2,用“数轴标根法”画草

图,

? 所以原不等式的解集是(-3,-1]∪(2,4].

? 题型六:含参数的一元二次不等式的解 法
? 3. 已知不等式ax2+bx+c>0的解集为 {x|1<x<3},
? 求cx2+bx+a<0的解集.

?

解法1:注意到一元二次不等式的解集

与相应二次方程的根之间的关系,可以知道

ax2+bx+c=0的两个根为1,3,即原不等式与 (x-1)(x-3)<0同解.

? 即x2-4x+3<0与-ax2-bx-c<0同解, ? 因此 ?a ? ?b ? ?c ? k>0,
1 ?4 3
? 这样目标不等式cx2+bx+a<0可变成3x2-4x+1 >0,而方程3x2-4x+1=0的根为 (1,1)
? 因此所求不等式的解集为{x|x< 13或3x>1}.

? 解法2:由ax2+bx+c>0的解集为{x|1<x<

3},可知ax2+bx+c=0的两个实根为1,3,且
a<0,根据韦达定理有 ? b ? 4,c ? 3, aa
? 因为a<0,不等式cx2+bx+a<0可变成

? c x2 ? b x ? 1>0即,3x2-4x+1>0,

a ? 解得

x<a 或1 x>1,

3 ? 故原不等式的解集为{x|

x<或1 x>1}.

3

? 点评:一元二次不等式与一元二次方程 有着千丝万缕的关系,如一元二次不等 式解集的边界值等于其对应的一元二次 方程的两根,而方程的根又与系数有着 联系,因此不等式的边界值与系数也就 联系起来了.不同的是要注意一元二次 不等式最高次项的符号.

? 已知a<1,解关于x的不等式:

ax2

?

x?2 a2x ?

x

?

a

?

0.

?

ax2

?

x?2 a2x ?

x

?

a

?

0.(x?+2)(ax-1)

(x+a)>0,

? 因为a<1,所以,

? (1)当a=0

-x(x+2)>0

? -2<x<0;

?

?

? (2)当0<a<1 (x+a)>0,

(x+2)(x- ) 1
a

? 因为-2<-a<
? (3)当a<0
? ①若 x< ;

,1 所以-2<x<-a或x> ;1

a

(x+2)(x- ) 1(xa+a)<0,

-2<x<-aa或

? ②若 ? 1 ? 时a ?,0 原不等式
12

? 且x≠-2;

a a??1 2

? x?1 2

? ③若 a ? 1
2

1
?<ax<-a或x<-2,

? 综上,当0<a<1时,解集是{x|-2<x<-a或 }; ? 当x a?=1a0时,解集是{x|-2<x<0};

?当

时,解集是{x|-2<x<-a或 };

? 当 ? 1 ? a时?,0 解集是{x| ? 当 aa?2???12时1 ,解集是{x|
2

且x≠-2};x ?

x?1

1

2 ?x

或x<-2}.
? ?a

1 a

a

参考题

? 不等式(m-2)x2+2(m-2)x-4<0对一切实数x

都成立,求实数m的取值范围.

?

①若m=2,不等式可化为-4<0,

这个不等式与x无关,即对一切x∈R都成

立.

? ②若m≠2,这是一个一元二次不等式.

? 由于解集为R,故知抛物线y=(m-2)x2+2(m-

2)x-4的开口向下,且与x轴无交点,必有

m-2<0 ? Δ<0,

m-2<0 即
4(m-2)2-4(m-2)(-4)<0,

? 解得-2<m<2.

? 综上,m的取值范围是{m|-2<m≤2}.

? 1.含参数的二次不等式可从 ? ①二次项系数与0的大小; ? ②判别式与0的大小;
? ③一元二次方程的根这三个方面进 行分层讨论.

? 2. 一元n (n≥2,n∈N)次不等式及分式不 等式的求解问题也可采用标根分区间法求解. ? 其步骤是:
? (1)将多项式的最高次项的系数化为正数; ? (2)将多项式分解为若干个一次因式的积;

? (3)将每一个一次因式的根标在数轴上, 从右上方依次通过每一点画曲线;
? (4)根据曲线显现出的多项式值的符号变 化规律,写出不等式的解集.

? 一般地,一元n次不等式:
? (x-a1)(x-a2)…(x-an)>0 ? (x-a1)(x-a2)…(x-an)<0 ? 其中a1<a2<a3<…<an,把a1,a2,…,an
按大小顺序标在数轴上,则不等式的解的区 间如下图所示.

? 右端第一区间(an,+∞)一定为正,然后 正负相间.
? 对于一次因式中有奇次方(大于1)和偶次 方的高次不等式,其办法为:“奇次方 一穿而过,偶次方穿而不过.”


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