2018届河南省郑州市高三第二次质量预测 文科数学试题及答案

一、选择题 高中毕业年级第二次质量预测 文科数学 参考答案 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 号 答C A B C B B A D C C D A 案 二、填空题 13. 28; 14. 0 ; 15. 10 ; 16. ①②④. 三、解答题 17. 解:(1)由 Sn ? 2an ? 2 可得 a1 ? 2 , 因为 Sn ? 2an ? 2 , 所以,当 n ? 2时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2an , ? 2an?1 即: an ? 2. an?1 数 列 {an} 是 以 a1 ? 2 为 首 项 , 公 比 为 2 的 等 比 数 列 , 所 以 , an ? 2n ( n?N? ).……… 6 分 (2) bn ? log 2 a1 ? log 2 a2 ? ?log 2 an ?1? 2?3??? n ? n(n ?1) 2 . 由 (n ? 8)bn ? nk 对任意 n ? N * 恒成立,即实数 (n ? 8)(n 2 ? 1) ? k 对 n ? N* 恒成立; 设 cn ? 1 (n ? 8)(n ?1) 2 , 则 当 n ? 3 或 4 时 , cn 取 得 最 小 值 为 ?10 , 所 以 k ? ?10. ……… 12 分 18.解解: (Ⅰ) 由题意 x ? 0.3,? x ? 150,所以 y ? z ? 60 , 500 因为 z ? 2y ,所以 y ? 20, z ? 40, 则应抽取教师人数 50 ? 20 ? 2, 应抽取学生人 500 数 50 ? 40 ? 4. 500 …… 5 分 (Ⅱ)所抽取的“不赞成改革”的 2 名教师记为 a,b ,4 名学生记为 1,2,3,4 , 随 机 选 出 三 人 的 不 同 选 法 有 (a,b,1),(a,b,2),(a,b,3),(a,b,4),(a,1,2),(a,1,3),(a,1,4), (a,2,3),(a,2,4),(a,3,4) , (b,1,2)(b,1,3),(b,1,4),(b,2,3),(b,2,4),(b,3,4) ,(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4),共 20 种,……… 9 分 至少有一名教师的选法有 (a,b,1),(a,b,2),(a,b,3),(a,b,4),(a,1,2),(a,1,3),(a,1,4), (a,2,3),(a,2,4),(a,3,4) , (b,1,2)(b,1,3),(b,1,4),(b,2,3),(b,2,4),(b,3,4) 共 16 种, 至少有一名教师被选出的概率 p ? 16 ? 4 . 20 5 …… 12 分 19.证明(I)取 A?B? 得中点 E ,连接 ME, NE ,因为 M , N 分别为 A?B 和 B?C? 的 中点, 所以 NE // A?C?, ME// AA? 又因为 A?C? ? 平面AA?C?C , A?A ? 平面AA?C?C , 所以 ME//平面AA?C?C , NE //平面AA?C?C , ……… 5 分 所以 平面MNE // 平面AA?C?C ,因为 MN ? 平面A?MN , 所以 MN // 平面AA?C?C ; ……… 6 分 (II)连接 BN ,设 AA? ? a ,则 AB ? ?AA? ? ?a , 由题意知 BC ? 2?a, NC ? BN ? a 2 ? 1 ?2a 2 , 2 因为三棱柱 ABC ? A?B?C? 侧棱垂直于底面, 所以 平面A?B?C? ? 平面BB?C?C , 因 为 AB ? AC , 点 N 是 B?C? 的 中 点 , 所 以 A?N ? 平面BB?C?C , ?CN ? A?N ,……… 9 分 要使 CN ? 平面A?MN , 只需 CN ? BN 即可, 所以 CN 2 ? BN 2 ? BC2 ,即 (2 a2 ? 1 ?2a2)? 2?2a2 ,?? ? 2 , 2 则 ? ? 2 时, CN ? 平面A?MN . ……… 12 分 20.解:(1)因为椭圆 C : x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ? b ? 0) ,由题意得 , 1 S ?BF1F2 ? ? 2c ? b ? 4 2 e? c ? a 2 2 , a2 ? b2 ? c2, 解得 ?a2 ??b2 ? 8, ? 4, 所以椭圆 C 的方程为 C : x2 8 ? y2 4 ? 1. …… 4 分 (2)假设存在圆心在原点的圆 x2 ? y2 ? r 2 ,使得该圆的任意一条切线与 椭圆 C 恒有两个交点 M , N , 因为 OM ? ON ? OM ? ON ,所以有 OM ? ON ? 0 , 设 M (x1, y1), N (x2 , y2 ) , ? y ? kx ? m 当切线斜率存在时,设该圆的切线方程为 y ? kx ? m 。解方程组 ? ? x 2 ?? 8 ? y2 4 ?1 得 x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 ,即 (1? 2k 2 )x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 , ……… 6 分 则△=16k 2m2 ? 4(1? 2k 2 )(2m2 ? 8) ? 8(8k 2 ? m2 ? 4) ? 0 ,即 8k2 ? m2 ? 4 ? 0 ? 4km ? 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 8) x1,2 ? 2(1 ? 2k 2 ) ? x1 ? x2 ? ? 1 4km ? 2k 2 , x1x2 ? 2m2 ? 8 1 ? 2k 2 ; y

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