18学年高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.1利用导数判断函数的单调性课件新人教B版选修1_1_图文

3.3.1

利用导数判断函数的单调性

1.通过函数的图象直观地了解函数的单调性与导数的关系. 2.会利用导数求函数的单调区间,判断函数的单调性.

用函数的导数判断函数单调性的法则 设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导, 1.如果在(a,b)内,f'(x)>0,则f(x)在此区间是增函数; 2.如果在(a,b)内,f'(x)<0,则f(x)在此区间是减函数.
名师点拨此法则只说明函数y=f(x)在某区间上f'(x)>0(或<0)是函数 f(x)在该区间上为增(减)函数的充分条件,但并非必要条件.

【做一做1】 若函数y=f(x)的导函数f'(x)在(a,b)上恒大于0,则函 数y=f(x)在(a,b)上是 函数.(填“增”或“减”) 答案:增 【做一做2】 函数y=f(x)的导函数f‘(x)<0在(1,2)上恒成立,则区间 (1,2)是函数y=f(x)的单调递 区间.(填“增”或“减”) 答案:减

利用求导的方法求函数的单调区间、判断函数的单调性需注意 哪些问题? 剖析:(1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的 定义域,在解决问题的过程中,只能在定义域内,通过讨论导数的符 号,来判断函数的单调区间. (2)在对函数划分区间时,除了必须注意确定使导数等于零的点外, 还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.

题型一

题型二

题型三

函数的图象与导数的关系 【例1】 已知导函数f'(x)的下列信息: 当1<x<4时,f'(x)>0; 当x>4或x<1时,f'(x)<0; 当x=4或x=1时,f'(x)=0. 试画出函数f(x)图象的大致形状. 分析:题中给出的信息是函数y=f(x)在实数集上的部分,根据导函 数的正负,画出曲线的一个上升或下降的趋势即可.

题型一

题型二

题型三

解:当1<x<4时,f‘(x)>0,可知f(x)在区间(1,4)内是增函数,曲线应呈 “上升”趋势; 当x>4或x<1时,f'(x)<0,可知f(x)在区间(-∞,1)和(4,+∞)内是减函数, 曲线应呈“下降”趋势; 当x=4或x=1时,f'(x)=0,这两点比较特殊,我们称它们为“临界点”. 综上,函数f(x)图象的大致形状如图所示.

反思本题考查函数单调性与导数的关系.知道导数在区间上的符 号(正、负),可知函数在此区间上的单调性,进而可画出其大致图象.

题型一

题型二

题型三

求函数的单调区间 【例2】 求下列函数的单调区间: (1)f(x)=x3-3x+3; 1 (2)f(x)=x(ex-1)- x2. 2 分析:利用函数单调性的判定法则解题. 解:(1)f'(x)=3x2-3=3(x2-1)=3(x+1)(x-1). 令3(x+1)(x-1)>0,解得x>1或x<-1. 因此,f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞). 令3(x+1)(x-1)<0,解得-1<x<1. 因此,f(x)的单调递减区间为(-1,1

题型一

题型二

题型三

(2)f'(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1). 令(ex-1)(x+1)>0, 解得x<-1或x>0. 因此,f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(0,+∞). 令(ex-1)(x+1)<0,解得-1<x<0. 因此,f(x)的单调递减区间为(-1,0).

反思求函数f(x)单调区间的方法和步骤:①确定函数的定义域;②求 导数f'(x);③在函数定义域内解不等式f'(x)>0和f'(x)<0;④确定f(x)的 单调区间.

题型一

题型二

题型三

易错题型

【例 3】 (1)求函数

(2)已知 f(x)=x+ 在[1,+∞)内是增函数,求 1 (1) 错解 f'(x)=1- 2. 1 令 1- 2>0,解得 x>1 或 x<-1.

1 f(x)=x+ 的单调区间;

a 的取值范围.

因此,f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞). 令 因此,f(x)的单调递减区间为(-1,1). 错因分析 没有注意到函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).
1 1- 2<0,解得-1<x<1.

题型一

题型二

题型三

正解 f'(x)=1- 2. 令 1- 2>0,解得 x>1 或 x<-1. 因此,f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞). 令 因此,f(x)的单调递减区间为(-1,0)和(0,1).
1 1- 2<0,解得-1<x<1,且 1

1

x≠0.

题型一

题型二

题型三

(2) 错解 f'(x)=1- 2. 由题意得 1- 2>0 在[1,+∞)上恒成立, 即 a<x2 在[1,+∞)上恒成立. 因为 x2 在[1,+∞)上的最小值为 1, 所以 a<1,即 a 的取值范围为(-∞,1). 错因分析 f(x)在[1,+∞)内是增函数时,导函数 f'(x)≥0 在[1,+∞) 上恒成立;而错解用了 f(x)在[1,+∞)内是增函数时,f'(x)>0 在[1,+∞)上 恒成立. 正解 f'(x)=1- 2. 由题意,得 立.
1 - 2 ≥0



在[1,+∞)上恒成立,即 a≤x2 在[1,+∞)上恒成

因为 x2 在[1,+∞)上的最小值为 1, 所以 a≤1,即 a 的取值范围为(-∞,1].

1函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的单调递增区间为 ( A.(a,x1) B.(x2,b) C.(a,x1)∪(x2,b) D.(a,x1)和(x2,b) 答案:D 2在区间(a,b)内,f'(x)<0是f(x)在(a,b)内是减函数的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A

)

)

3函数f(x)=x3-3x2+9的单调递增区间为 . 答案:(-∞,0)和(2,+∞) 4若函数f(x)=x3+ax2+4在区间(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围 为 . 解析:f'(x)=3x2+2ax. 由题意得3x2+2ax≤0在(0,2)内恒成立,

即 a≤- x 在(0,2)内恒成立. 因为当 x∈(0,2)时,- x>-3,
所以a<-3. 当a=-3时,f(x)=x3-3x2+4满足题意, 综上a的取值范围为(-∞,-3]. 答案:(-∞,-3]
3 2

3 2

内部文件,请勿外传

5函数f(x)=xln x的单调递减区间为

.

解析: f'(x)=ln x+1. 令 ln x+1<0,解得 x< . 又 x>0,所以函数 f(x)=xln x 的单调递减区间为 0,
1 e
1 e 1 e

.

答案: 0,

内部文件,请勿外传

内部文件,请勿外传


相关文档

18学年高中数学第三章导数及其应用3.3.1利用导数判断函数的单调性课件新人教B版选修1_1
18版高中数学第三单元导数及其应用3.3.1利用导数判断函数的单调性课件新人教B版1_1180307429
高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.1利用导数判断函数的单调性课件新人教b选修1_1
高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.1利用导数判断函数的单调性课件新人教b选修1_1 (1)
18学年高中数学导数及其应用3.3第1课时函数的单调性与导数课件新人教A版1_1180208218
18学年高中数学导数及其应用3.3.1利用导数判断函数的单调性课件新人教B版1_1180307497
18版高中数学第三单元导数及其应用3.3.1利用导数判断函数的单调性课件新人教B版选修1_1
高中数学第三章导数及其应用3.3.1利用导数判断函数的单调性课件10新人教B版选修11
18学年高中数学第三章导数应用3.1函数的单调性与极值3.1.1导数与函数的单调性课件北师大版选修2_2
(江苏专用)高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1单调性课件苏教版选修11
电脑版