新编山东省淄博实验中学高三下学期4月教学诊断考试数学(文)试题(含答案)

淄博实验中学高三年级第二学期教学诊断考试 20xx.04

数 学 (文)

一、选择题:(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的)

1.已知 (3 ? z)i ? 1? 3i ,则 z ? ( )

A. ? 3 ? i

B. ? 3 ? i

C. ? 6 ? i

D. 6 ? i

2.已知集合

A

?

? ?x

|

x2

?

4

?

? 0?

,则集合

P

的真子集的个数为(



? x?

A.3

B.4

C.1

D.2

3.扇形的半径为 3,中心角为120? ,把这个扇形折成一个圆锥,则这个圆锥的体积为( )

A. ?

B. 2 3

C. 2 2 3

D. 2 2 ? 3

4.将 800 个个体编号为 001 ~ 800 ,然后利用系统抽样的方法从中抽取 20 个个体作为样本,则在编

号为121 ~ 400 的个体中应抽取的个体数为( )

A.10 B.9 C.8

D.7

5.“数列?an? 成等比数列”是“数列?lg an ?1? 成等差数列”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.执行如下图所示的程序框图,则输出的 i 值为( )

A.3 B.4

C.5

D.6

7.已知函数 f (x) ? Asin(?x ??)(A ? 0,? ? 0,| ? |? ? ) ,则下面结论 2
正确的是( )

A.函数 f (x) 的最小正周期为 ? 2
B.函数 f (x) 是偶函数

C.函数 f (x) 的图象关于直线 x ? ? 对称 3
D.函数 f (x) 在区间[0, ? ]上是增函数 4

8.已知双曲线

E: x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? 0,b ? 0) 的离心率

5 ,则该双曲线的一条渐近线被圆 C:

x2 ? y2 ? 2x ? 3 ? 0 截得的弦长为( )

A. 8 5 5

B. 4 5

C.3

D.2

5

9.如右图,小方格是边长为 1 的正方形,一个几何体的

图如图,则原几何体的的体积为( )

三视

A. 32? 3
C.16?

B. 64 ? 32? 3
D. 64 ? 256? 3

10.已知函数

f

(x)

?

?| ?

log2

x

|,

0

?

x

?

2

???sin(?4 x), 2 ? x ? 10

,若存在实数

x1 ,

x2 ,

x3 ,

x4 ,满足

x1

?

x2

?

x3

?

x4

,且

f

(x1)

?

f

(x2)

?

f

(x3)

?

f

(x4)

,则

( x3

? 2) ? (x4 x 1?x2

? 2)

的取值范围是(



A. (4,16)

B. (0,12)

C. (9, 21)

D. (15, 25)

二、填空题:(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分)

11.已知函数 f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是,则 a+b=



12.已知 f (x) ? ax2 ?1(a ? R) 在 (1, f (1))处的切线经过点 (0,1) ,则 a ?



x ?1

13.在△ ABC 中,

AB

?2,

AC

? 3 , AB ? AC

? 0 ,且△ ABC 的面积为 3 2



则 ?BAC =_______

14.已知方程 sin x ? 3 cos x ? m ? 1 在 x ?[0 , π] 上有两个不相等的实数解,则实数 m 的取值范围
是____________.
15.如图是导函数 y ? f ?(x) 的图象: ① x2 处导函数 y ? f ?(x) 有极大值;
②在 x1, x4 处导函数 y ? f ?(x) 有极小值;
③在 x3 处函数 y ? f (x) 有极大值; ④在 x5 处函数 y ? f (x) 有极小值;以上叙述正确的是____________。

三、解答题:(本大题共 6 个小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16.已知函数 f (x) ? 2sin?x cos?x ? 2 3 sin2 ?x ? 3 ( ? ? 0 )的最小正周期为? . (Ⅰ)求函数 f (x) 的单调增区间; (Ⅱ)将函数 f (x) 的图象向左平移 ? 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y ? g(x) 的图象;若
6
y ? g(x) 在 [0,b](b ? 0) 上至少含有 10 个零点,求 b 的最小值.

17.在如图所示三棱锥 D—ABC 中, AD ? DC ,



,∠BAC=45°,平面



面 , E, F 分别在 BD, BC ,且 DE ? 2EB , BC ? 2BF .

(Ⅰ)求证:BC⊥AD;

(Ⅱ)求平面 AEF 将三棱锥 D ? ABC 分成两部分的体积



比.

18.某网站针对“春节放假安排”开展网上问卷调查,提出了 A、B 两种放假方案,调查结果如表(单

位:万人):

人群

青少年

中年人

老年人

支持 A 方案

200

400

800

支持 B 方案

100

100

n

已知从所有参与调查的人种任选 1 人是“老年人”的概率为 .

(Ⅰ)求 n 的值; (Ⅱ)从参与调查的“老年人”中,用分层抽样的方法抽取 6 人,在这 6 人中任意选取 2 人,求恰 好有 1 人“支持 B 方案”的概率.

19.已知数列{ an

}的前

n

项和

Sn

?

an

?

1 2

n2

?

3 2

n?

2(n ?

N?)



(1)求数列{ an }的通项公式;

(2)若 bn

?

?

1

?? ?

(an

?1)(an

???(4

1 2

)an,

?1)

,

n为奇数
? ? ,且数列 bn 的前 n 项和为Tn ,求T2n .
n为偶数

20.已知函数 f(x)= +alnx(a≠0,a∈R) (Ⅰ)若 a=1,求函数 f(x)的极值和单调区间; (Ⅱ)若在区间上至少存在一点 x0,使得 f(x0)<0 成立,求实数 a 的取值范围.

21.已知椭圆 C:2x2+3y2=6 的左焦点为 F,过 F 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)当直线 l 与 x 轴垂直时,求线段 AB 的长; (Ⅲ)设线段 AB 的中点为 P,O 为坐标原点,直线 OP 交椭圆 C 交于 M、N 两点,是否存在直线 l 使 得|NP|=3|PM|?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.
淄博实验中学高三年级第二学期教学诊断考试数学(文)参考答案 一.选择题。 1.D 2.C. 3.D 4.D. 5.B. 6.C 7.D 8.A 9.B 10.B 二.填空题。

11.

12. ?1 13.150 14.[ 3 ? 1 , 1) 15.①②③④

16.(Ⅰ)由题意得: f (x) ? 2sin ?xcos ?x ?2 3sin 2 ?x ? 3

17.【解析】(Ⅰ)在 Rt△ADC 中,AD=DC=2, AD ? DC ,∴ AC = 2 2 , 在 ?BAC 中,∵∠BAC=45°, AB =4, ∴ BC2 = AC2 ? AB2 ? 2AC ? AB cos ?BAC =(2 2)2 ? 42 ? 2 ? 2 2 ? 4 ? 2 =8,
2

可得

,∴

.∴

取线段 的中点 ,连接 ,∵

,∴

又∵平面

平面 ,平面 ∩平面



平面 . ∴



∵ AC ? DO ? O ,∴ 平面 ,

∴ AD ? BC .







平面 ,

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知

平面 ,





∴VD? ABC

=

1 3

S?ABC

?

DO

=

1 3

?

1 2

?

2

2?2

2?

2=4 2 , 3

过 E 作 EG // DO 交 BO 于 G ,∴ EG ⊥平面 ABC ,

∵ DE ? 2EB ,∴由三角形相似知, EG = 1 DO = 2 ,

3

3

∵ BC ? 2BF ,∴ BF ? 1 BC = 2 , 2

∴ VE ?

ABF

=

1 3

?

1 2

?

2?2

2? 2 =2 2 , 39

∴VA?EFCD =VD? ABC

? VE? ABF

= 10 9

2



∴平面 AEF 将三棱锥 D ? ABC 分成两部分的体积之比 10 2 : 2 2 =5:1. 99
18.解:(Ⅰ)∵利用层抽样的方法抽取 n 个人时,从“支持 A 方案”的人中抽取了 6 人,

∴=

,解得 n=400,

(Ⅱ)支持 A 方案的有 ×6=4(人),分别记为 1,2,3,4

支持 B 方案”的有 ×6=2 人,记为 a,b 所有的基本事件有: (1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b) (3,4),(3,a),(3,b)(4,a),(4,b),(a,b)共 15 种,

恰好有 1 人“支持 B 方案”事件有:(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,

b),(4,a),(4,b),共 8 种. 故恰恰好有 1 人“支持 B 方案”的概率 P= .

19.【解析】(1)由于 Sn

?

an

?

1 2

n2

?

3 2

n?2



所以当 n ? 2 时, Sn?1

?

an?1

?

1 2

(n

?1)2

?

3 (n ?1) ? 2 , 2

两式相减得 an

? an

? an?1 ? n ?1 ,

于是 an?1 ? n ?1,

所以 an ? n ? 2 .

(2)由(1)得 bn

?

?1

??(n ?1)(n

?

???(

1 2

)n,

? 3)

,

n为奇数

n为偶数

所 以 T2n ? b1 ? b2 ? b3 ?n(

? b2

?? b1 )n ? b3 ( ?

b2?

, 1

n )因b?


2

b?

4

b1 ? b3 ?

?

b2n?1

?

1 2?4

?

1 4?6

?

1 6?8

?

?

1

?1( 1 ? 1 ?

2n ? (2n ? 2) 4 1? 2 2 ?3

? 1) n? (n ?1)

? 1 (1? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ) ? n ;

4 223

n n ?1 4(n ?1)

b2 ? b4 ?

? b2n

?

(1)2 2

?

(1)4 2

?

? (1)2n

?

1 [1? (1)n ] 44

?

1 [1? (1)n ],

2

1? 1

34

4

于是 T2n

?

n 4(n ?1)

?

1 [1? 3

(1)n] . 4

20.解:(I)因为

,当 a=1,



令 f'(x)=0,得 x=1,又 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x),

f(x)随 x 的变化情况如下表:

x

(0,1)

1

(1,+∞)

f'(x)



0

+

f(x)



极小值



所以 x=1 时,f(x)的极小值为 1.

f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1);

(II)因为

,且 a≠0,令 f'(x)=0,得到 ,

若在区间上存在一点 x0,使得 f(x0)<0 成立, 其充要条件是 f(x)在区间上的最小值小于 0 即可. (1)当 a<0 时,f'(x)<0 对 x∈(0,+∞)成立, 所以,f(x)在区间上单调递减,

故 f(x)在区间上的最小值为





,得

,即

(2)当 a>0 时,

①若 ,则 f'(x)≤0 对 x∈成立,所以 f(x)在区间上单调递减,

所以,f(x)在区间上的最小值为



显然,f(x)在区间上的最小值小于 0 不成立

②若

,即 1> 时,则有

x

f'(x)



f(x)



0 极小值

所以 f(x)在区间上的最小值为

+ ↗




,得 1﹣lna<0,解得 a>e,即 a∈(e,+∞)舍去;

当 0< <1,即 a>1,即有 f(x)在递增,可得 f(1)取得最小值,且为 1,f(1)>0,不成立.综

上,由(1)(2)可知 a<﹣ 符合题意.

21.解:(Ⅰ)椭圆 C:2x2+3y2=6,即为 + =1,可得 a= ,b= ,c=1,即有 e= = ; (Ⅱ)当直线 l 与 x 轴垂直时,即为 x=﹣1,

代入椭圆方程可得 y2= ,解得 y=± ,则线段 AB 的长为 ; (Ⅲ)由 F(﹣1,0),设直线 AB:x=my﹣1,代入椭圆方程, 可得(3+2m2)y2﹣4my﹣4=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),

可得 y1+y2=

,即有中点 P 的坐标为(



),

直线 OP:y=﹣ x,代入椭圆方程,可得 x=±



可设 xN=

,xM=﹣



假设存在直线 l 使得|NP|=3|PM|,即有 =3 ,

即为



=3(﹣



),解得 m=± ,

则存在直线 l:x=± y﹣1,使得|NP|=3|PM|.

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