教育最新K122018-2019学年九年级数学下册 第27章 圆 27.4 正多边形和圆同步练习 (新版)华东师大版

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27.4 正多边形和圆 知|识|目|标 1.了解正多边形的概念,而且知道正多边形与圆的关系. 2.在理解正多边形与圆的关系的基础上,通过例题和练习的学习,能够进行正多边形的有关 计算. 3.通过阅读教材,能借助等分圆周的方法画圆内接正多边形和圆外切正多边形.

目标一 了解正多边形的概念 例 1 教材补充例题已知:如图 27-4-1 所示,正方形 ABCD 的四个顶点都在大⊙O 上,连结 AC 和 BD,那么 OA,OB,OC,OD 都是大⊙O 的________,∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA= ________°, 以点 O 为圆心, 作小⊙O 与 AB 相切, 那么 AD, DC, AB 和 BC 都与小⊙O________, 四边形 ABCD 是小⊙O 的____________.

图 27-4-1 例 2 教材补充例题 下列结论中正确的有( ) (1)各边都相等的多边形是正多边形; (2)各角都相等的多边形是正多边形; (3)正七边形有 7 条对称轴; (4)任何正多边形只有一个外接圆和一个内切圆; (5)一个圆有无数个内接正多边形和外切正多边形; (6)边数为奇数的正多边形一定是轴对称图形; (7)如果一个正多边形的每个外角都等于 36°,那么它是正十边形; (8)若正方形的边长为 6,则其内切圆的半径为 3. A.5 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个 【归纳总结】各边相等、各角相等是正多边形的两个基本特征,边数为 n(n>3)的多边形必 小学+初中+高中

小学+初中+高中 须同时满足这两个特征才是正多边形,否则就不一定是正多边形. 目标二 能进行正多边形的有关计算 例 3 教材补充例题 如图 27-4-2,已知△ABC 是⊙O 的内接等腰三角形,顶角∠A=36°, 弦 BE,CD 分别平分∠ABC,∠ACB. (1)求证:五边形 ADBCE 是正五边形; (2)指出正五边形的中心; (3)求正五边形的中心角; (4)如果正五边形的半径是 r,边长是 a,求正五边形的边心距 d、周长 P 和面积 S.

图 27-4-2

【归纳总结】正多边形的有关计算: (1)正多边形满足以下两个条件:各边相等、各角相等. (2)正多边形中各元素间的关系: 设正 n(n≥3,且 n 为整数)边形的边长为 an,半径为 R,边心距为 rn,中心角为α n,周长为 2 360° 1 1 ?an? Cn,面积为 Sn,则 R2=rn2+? ? ,α n= ,Cn=nan,Sn= nrnan= Cnrn. 2 n 2 2 ? ? 从以上关系式可以看出,正多边形的有关计算都可以转化到由半径、中心到边的垂线段和边 长的一半组成的直角三角形中解决. 小学+初中+高中

小学+初中+高中 (3)正三角形中,边心距∶半径∶高=1∶2∶3;正方形中,正方形的对角线长等于其半径的 2 倍,边心距等于其边长的一半;正六边形中,正六边形的边长等于其半径. 目标三 会画正多边形 例 4 教材例题针对训练 如图 27-4-3,已知 A,B,C,D,E 是⊙O 的五等分点,过点 A 画 出⊙O 的内接正五边形和外切正五边形.

图 27-4-3

【归纳总结】等分圆周画圆内接正多边形的工具和方法: (1)只用量角器: 用量角器把 360°的圆心角 n(n>2, 且 n 为整数)等分, 相应圆周也被 n 等分, 顺次连结各分点即可得到圆内接正 n 边形. 1 (2)用量角器和圆规:先用量角器画出 360°圆心角的 (n>2,且 n 为整数),相应地可得到圆

n

1 周的 ;再用圆规顺次截取,便得到圆周的 n 等分点,顺次连结各分点即可得到圆内接正 n

n

边形. (3)用圆规和直尺:用尺规等分圆周,可以作正六边形、正方形等特殊的圆内接正多边形.

知识点一 正多边形与圆的关系 正多边形:____________、____________的多边形叫做正多边形. 任何一个正多边形都有一个________和一个________,并且这两个圆是同心圆. 知识点二 正多边形的有关概念 正多边形的中心:正多边形的________(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心. 正多边形的半径:外接圆的________叫做正多边形的半径. 小学+初中+高中

小学+初中+高中 正多边形的边心距:________的半径叫做正多边形的边心距. 正多边形的中心角:正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等,叫做正多边形的中心 角.正 n(n≥3,且 n 为整数)边形的每个中心角都等于________. 知识点三 正多边形的画法 基本原理:由于在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,因此可以用 等分圆心角的方法来等分圆周,从而画正多边形. 把圆分成 n(n≥3,且 n 为整数)等份,依次连结各分点所得的多边形是这个圆的一个内接 ________;经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切 ________. 等分圆周的常用方法:(1)用________等分;(2)用________等分. 知识点四 正多边形与圆的有关计算 解决正多边形的相关计算问题,关键在于添加辅助线,将其转化为直角三角形,然后运用勾 股定理来解决.

学习了正多边形与圆后,三名同学有下列结论: 张东:正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等; 李艳:边数相同的正多边形都相似; 刘浩:正多边形既是轴对称图形,也是中心对称图形. 他们的说法正确吗?

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教师详解详析 【目标突破】 例 1 [答案] 半径 90 相切 外切正四边形 例 2 [解析] B 菱形的四条边都相等,但它不是正四边形,所以(1)不正确;矩形的四个角 都相等,但它不是正四边形,所以(2)不正确;其余六个结论都正确. 例3 ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ [解析] (1)要证明五边形 ADBCE 是正五边形,只需要证明AD=DB=BC=CE=EA即可;

(2)正多边形的中心就是其外接圆的圆心; 360° (3)正 n 边形的中心角为 ; n (4)连结 OB,OC,过点 O 作 BC 的垂线,垂线段的长度就是边心距,根据勾股定理即可求出. 解:(1)证明:∵△ABC 是等腰三角形,且∠BAC=36°, ∴∠ABC=∠ACB=72°. 又∵BE 平分∠ABC,CD 平分∠ACB, ∴∠ABE=∠EBC=∠ACD=∠DCB=36°, 即∠ABE=∠EBC=∠ACD=∠DCB=∠BAC, ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ∴AE=EC=AD=DB=BC, ∴A,D,B,C,E 是⊙O 的五等分点, ∴五边形 ADBCE 是正五边形. (2)∵正多边形的中心是其外接圆的圆心, ∴正五边形的中心是点 O. ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ (3)∵AD=DB=BC=EC=AE, 360° ∴正五边形的中心角是 =72°. 5 (4)如图,连结 OB,OC,过点 O 作 OF⊥BC 于点 F.

1 1 ∵OB=r,BF= BC= a, 2 2 ∴正五边形的边心距 d= OB -BF = 正五边形的周长 P=5a; 1 5a 正五边形的面积 S=5S△OBC=5× ad= 2 2 a 2 r- . 4
2 2 2

a 2 r- ; 4

2

例 4 [解析] 依次连结圆的五等分点,所得的五边形是圆内接正五边形;经过圆的五等分点 作圆的切线,相邻切线相交成的五边形是圆外切正五边形. 解:(1)如图,依次连结 AB,BC,CD,DE,EA,就得到⊙O 的内接正五边形 ABCDE. (2)如图,分别过点 A,B,C,D,E 作⊙O 的切线,所得的五边形 FGHMN 是⊙O 的外切正五边 小学+初中+高中

小学+初中+高中 形.

【总结反思】 [小结] 知识点一 各条边相等 各个角也相等 外接圆 内切圆 知识点二 外接圆 半径 内切圆 360° n

知识点三 正 n 边形 正 n 边形 量角器 圆规 [反思] 正多边形内切圆的半径与正多边形的边心距相等,所以张东的说法不正确; 根据相似形的定义可知边数相同的正多边形都相似,所以李艳的说法正确. 正多边形都是轴对称图形,但不一定是中心对称图形,比如正五边形不是中心对称图形,所 以刘浩的说法不正确.

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