含参数的一元二次不等式的解法(学生版)

高考理数提高班 1、2 班

不等式 3——含参数的一元二次不等式的解法
了解一元二次不等式、 一元二次方程以及一元二次函数之间的关系 (即及三个 “二次” 问题) 一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的解集: 设相应的一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0?的两根为 x1、x2 且 x1 ? x2 ,? ? b ? 4ac ,
2

则不等式的解的各种情况如下表:

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c
二次函数

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

?a ? 0?的根

ax ? bx ? c ? 0
2

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

?

一、解一元二次不等式的方法步骤 解不等式 x ? 5 x ? 6 ? 0
2

变式 1、解不等式 x ? 5 x ? 1 ? 0
2

变式 2、解不等式 x ? 5x ? 10 ? 0
2

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二、含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨论呢?对含参一 元二次不等式常用的分类方法有三种: (一)按方程 ax ? bx ? c ? 0 的根 x1 , x 2 的大小来分类,即 x1 ? x2 , x1 ? x2 , x1 ? x2 ;
2

1 ) x ? 1 ? 0 (a ? 0) a 1 分析:此不等式可以分解为: ? x ? a ?( x ? ) ? 0 ,故对应的方程必有两解。本题只需讨论 a
例 1、解不等式 x ? (a ?
2

两根的大小即可。 解:原不等式可化为: ? x ? a ?( x ? ∴当 a ? ?1 或 0 ? a ? 1 时, a ? 当 a ? 1 或 a ? ?1 时, a ?

1 1 ) ? 0 ,令 a ? ,可得: a ? ?1 a a 1 ? ,故原不等式的解集为 ? x | a ? x ? a ?

1? ?; a?

1 ,可得其解集为 ? ; a 1 ? 1 ? ,解集为 ? x | ? x ? a ? 。 a ? a ?

当 ? 1 ? a ? 0 或 a ? 1 时, a ?

2 2 练一练:解不等式 x ? 5ax ? 6a ? 0 , a ? 0

(二)按判别式 ? 的符号分类,即 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 ; 例 2、解不等式 x ? ax ? 4 ? 0
2

分析:由于不等式对应方程 x ? ax ? 4 ? 0 不能明确根的情况,故需考虑 ? 与根的情况。
2

解:不等式对应方程 x ? ax ? 4 ? 0 的 ? ? a ? 16
2

2

∴当 a ? ?? 4,4?即 ? ? 0 时,解集为 R ; 当 a ? ?4 即Δ =0 时,解集为 ? x x ? R且x ?

? ?

a? ?; 2?

当 a ? 4 或 a ? ?4 即 ? ? 0 ,此时两根分别为

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x1 ?

? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 , x2 ? ,显然 x1 ? x 2 , 2 2

∴不等式的解集为 ? x x ?

? ? ? ?

?a ? a 2 ? 16 ?a ? a 2 ? 16 ? ? 或x ? ? 2 2 ? ?

练一练:解不等式 x ? 4 x ? a ? 0
2

(三)按 x 项的系数 a 的符号分类,即 a ? 0, a ? 0, a ? 0 ;
2

例 3、解不等式: ax ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0
2

分析:本题二次项系数含有参数, ? ? ?a ? 2? ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0 ,故只需对二次项
2

系数进行分类讨论。 解:∵ ? ? ?a ? 2? ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0
2

2 解得方程 ax ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0 两根 x1 ?

? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 , x2 ? 2a 2a

∴当 a ? 0 时,解集为 ? x | x ?

? ? ? ?

? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? 或x ? ? 2a 2a ? ?
? ? 1? ? 2?

当 a ? 0 时,不等式为 2 x ? 1 ? 0 ,解集为 ? x | x ?

2 ? ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? ?a?2? a ?4 ? a ? 0 ?x? 当 时, 解集为 ? x | ? 2a 2a ? ? ? ?

变式、解不等式 ax ? 5ax ? 6a ? 0?a ? 0?
2

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2 2 练一练:解不等式 (m ? 1) x ? 4x ? 1 ? 0 (m ? R)

2 课后思考:解不等式 ax ? 5x ? 1 ? 0

练习
1、解关于 x 的不等式: x ? (a ? 2) x ? a ? 0.
2

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2、解关于 x 的不等式: ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0.

3、解关于 x 的不等式: ax ? ax ? 1 ? 0. (选做)
2


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