2019年8-7-1方向导数与梯度.ppt_图文

第七节 方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度

第八章

一、方向导数的定义
讨论函数 z ? f ( x, y ) 在一点P沿某一方向的变化率问题.

设函数 z ? f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的某一邻域 U ( P ) 内有定义,自点 P 引射线 l.

y

l

? P?

P

?
?

?
?x

?y

o

x

设 x 轴正向到射线 l 的转角 为 ? , 并设 P ?( x ? ?x , y ? ?y ) 为 l 上的另一点且 P ? ? U ( p ).
(如图)

y

l

? P?

P ?x

?
?

?

?y

o

x

?| PP? |? ? ? ( ?x )2 ? ( ?y )2 ,

且 ?z ? f ( x ? ?x, y ? ?y) ? f ( x, y),
当 P ? 沿着 l 趋于 P 时,
? ?0

?z 考虑 , ?

lim

f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y )

?

是否存在?

定义 函数的增量 f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y ) 与PP ? 两点 间的距离 ? ? ( ?x )2 ? ( ?y )2 之比值,当P ? 沿着 l 趋于 P 时,如果此比的极限存 在,则称这极限为函数 在点 P 沿 方向 l 的方向导数. ?f f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y ) 记为 ? lim . ?l ? ? 0 ?

? 依定义,对可导函数 f ( x, y ),在点 P 沿着 x 轴正向 e1 ? {1,0}、y ? 轴正向 e2 ? {0,1}的方向导数分别为 f x , f y ;

沿着 x轴负向、 y 轴负向的方向导数是 ? f x ,? f y .

反之,如果 z ? f ( x, y ) 沿任意方向的方向导数都存在, ?f ? ? ?f ? ; 则沿 x 轴正向、 y 轴正向的方向导数分别为 ? ? ? , ? ? ? ?x ? ? ? ?y ? ?

?f ? ? ?f ? ; 则沿 x 轴负向、 y 轴负向的方向导数分别为? ? ? ? , ?? ? ? ?x ? ?

? ?y ? ? 由定义,方向导数是函数 z ? f ( x, y ) 在某点处沿某一方向对 ?f 距离的变化率,故当 ? 0 时,函数沿 l 方向是增加的; ?l 当 ?f ? 0 时,函数沿 l 方向是减少的。 ?l

定理

如果函数 z ? f ( x, y )在点 P ( x , y ) 是可微分的,那末函数

在该点沿任意方向 L 的方向导数都存在,且有

? f ?f ?f ? cos? ? sin ? , 其中? 为 x 轴到方向 L 的转角. ?l ?x ?y

证明 由于函数可微,则增量可表示为

?f ?f f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y ) ? ?x ? ?y ? o( ? ) ?x ?y

两边同除以 ? , 得到
f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y )

?
故有方向导数

? f ? x ? f ? y o( ? ) ? ? ? ? ? ?x ? ?y ? ?

cos ?

sin?

?f ?f f ( x ? ? x , y ? ? y ) ? f ( x , y ) ?f ? lim ? cos? ? sin ? . ? ?l ? ? 0 ?x ?y

例 1 求函数 z ? xe 2 y 在点 P (1,0) 处沿从点 P (1,0) 到 点 Q(2,?1) 的方向的方向导数. ? ? ? 解 这里方向 l 即为 PQ ? {1,?1}, 故 x轴到方向 l 的转角? ? ? . 4

?z ? ? e2 y ? 1; (1,0 ) ?x (1,0)

?z ? 2 xe 2 y ? 2, (1, 0 ) ?y (1,0 )

所求方向导数

? ? 2 ?z cos( ? ) ? 2 sin( ? ) ?? . ? 2 4 4 ?l

2 2 例 2 求函数 f ( x , y ) ? 在点(1,1)沿与 x 轴方向 x ? xy ? y ? 夹角为? 的方向射线 l 的方向导数.并问在怎样的方向上此方向 导 数有 (1)最大值; (2)最小值; (3)等于零?

解 由方向导数的计算公式知 ?f ? f x (1,1) cos? ? f y (1,1) sin? ?l (1,1) ? ( 2 x ? y ) (1,1) cos? ? ( 2 y ? x ) (1,1) sin ? ,

? cos? ? sin ? ? 2 sin(? ? ), 4 故 ? (1)当? ? 时, 方向导数达到最大值 2 ; 4 5? (2)当? ? 时, 方向导数达到最小值 ? 2 ;
4

?

3? 7? (3)当? ? 和? ? 时, 方向导数等于 0. 4 4

推广可得三元函数方向导数的定义

对于三元函数 u ? f ( x, y, z ),它在空间一点 P( x, y, z ) 沿着方向 L 的方向导数 ,可定义为
?f f ( x ? ?x , y ? ?y , z ? ?z ) ? f ( x , y , z ) ? lim , ?l ? ? 0 ?

( 其中 ? ? ( ?x )2 ? ( ?y )2 ? ( ?z )2 )

设方向 L 的方向角为? , ? , ?
?x ? ? cos? ,

?y ? ? cos ? ,

?z ? ? cos ? ,

同理:当函数在此点可微时,那末函数在该点沿任 意方向 L 的方向导数都存在,且有

?f ?f ?f ?f ? cos? ? cos ? ? cos ? . ?l ?x ?y ?z

? 例 3 设 n 是曲面 2 x 2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 6 在点 P(1,1,1) 处的指
向外侧的法向量,求函数 u ?

? n 的方向导数.
解 令

1 1 (6 x 2 ? 8 y 2 ) 2 在此处沿方向

z

F ( x, y, z ) ? 2 x 2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 6,
? Fy
P

? P ? 4 x P ? 4, Fx

? 6 y P ? 6,

Fz? P ? 2z P ? 2,



? ? , Fy ? , Fz?? ? ?4, 6, 2?, n ? ?Fx
方向余弦为

? n ? 42 ? 62 ? 22 ? 2 14 ,

2 cos? ? , 14
?u 6x ? ?x P z 6 x 2 ? 8 y 2

3 cos ? ? , 14
6 ? ; 14

1 cos ? ? . 14

P

?u 8y 8 ? ? ; ?y P z 6 x 2 ? 8 y 2 14 P

?u 6 x2 ? 8 y2 ?? ? ? 14. 2 ?z P z P



?u ?u ?u ?u 11 ? ( cos ? ? cos ? ? cos ? ) ? . ? ?n P ?x ?y ?z 7 P

二、梯度的概念
实例:一块长方形的金属板,四个顶点的坐标是(1,1), (5,1),(1,3),(5,3).在坐标原点处有一个火焰,它使金属 板受热.假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成 反比.在(3,2)处有一个蚂蚁,问这只蚂蚁应沿什么方向爬行 才能最快到达较凉快的地点? 问题的实质:应沿由热变冷变化最骤烈的方向(即梯度 方向)爬行.

设函数 z ? f ( x, y )在平面区域 D 内具有一阶连续偏导 ?f ? ?f ? j, 数, 则对于每一点 P( x, y ) ? D , 都可定出一个向量 i ? ?x ?y 这向量称为函数 z ? f ( x, y ) 在点 P ( x , y ) 的梯度,记为 ?f ? ?f ? j. gradf ( x, y ) ? i ? ?x ?y 定义

? ? ? ? 设 e ? cos? i ? sin? j 是方向 l 上的单位向量,
由方向导数公式知

? f ?f ?f ?f ?f ? cos? ? sin ? ? { , } ? {cos? , sin ? } ?l ?x ?y ?x ?y ? ? gradf ( x, y ) ? e ?| gradf ( x, y ) | cos? ,
? 其中? ? ( gradf ( x , y ), e ) ? 当 cos( grad f ( x, y ), e ) ? 1时,

?f 有最大值. ?l

结论 函数在某点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最 大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值.梯度 的模为

? ?f ? ? ?f ? | gradf ( x , y ) |? ? ? ? ? ? . ? ?x ? ? ?y ?

2

2

在几何上 z ? f ( x, y ) 表示一个曲面

曲面被平面

z?c

z ? f ( x, y) ? ? 所截得 , ? ? ? z ? c y f ( x , y ) ? c2

所得曲线在xoy面上投影如图

P
f ( x , y ) ? c1

等高线

f ( x, y ) ? c

o

x

等高线的画法

播放

例如, 函数 z ? sin xy 图形及其等高线图形.

梯度与等高线的关系:

函数 z ? f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的梯度的方向与点P 的等高线 f ( x , y ) ? c 在这点的法线的一个方 向相同,且从数值较低 的等高线指向数值较高 的等高线,而梯度的模 等于函数在 这个法线方向的方向导 数.

梯度的概念可以推广到三元函数

三元函数 u ? f ( x, y, z )在空间区域 G 内具有一阶连续偏 导数,则对于每一点 P( x, y, z ) ? G ,都可定义一个向量(梯度)

?f ? ?f ? ?f ? gradf ( x , y , z ) ? i ? j ? k. ?x ?y ?z
类似于二元函数,此梯度也是一个向量,其方向与取得 最大方向导数的方向一致,其模为方向导数的最大值.

类似地,设曲面 f ( x, y, z ) ? c 为函数 u ? f ( x, y, z )的等量面,此函 数在点 P ( x , y , z ) 的梯度的方向与过点 P 的等量面 f ( x, y, z ) ? c 在这点的法线的一个方向相同,且从数值较低的等量面指向数值 较高的等量面,而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.

例 4 求函数 u ? x 2 ? 2 y 2 ? 3z 2 ? 3 x ? 2 y 在点 (1,1,2)处的 梯度,并问在 哪些点处梯度为零?



由梯度计算公式得

?u ? ?u ? ?u ? gradu( x , y , z ) ? i ? j? k ?x ?y ?z ? ? ? ? ( 2 x ? 3)i ? (4 y ? 2) j ? 6 zk , ? ? ? 3 1 故 gradu(1,1,2) ? 5i ? 2 j ? 12k . 在 P0 ( ? , ,0) 处梯度为 0.
2 2

四、小结
1、方向导数的概念
(注意方向导数与一般所说偏导数的区别)

2、梯度的概念 (注意梯度是一个向量) 3、方向导数与梯度的关系
梯度的方向就是函数 f ( x , y ) 在这点增长最快的方向 .

4 、方向导数、偏导数与函数可微的关系
? 可微
?f ? ? grad f ? l 0 ?l

方向导数存在

偏导数存在

梯度在方向 l 上的投影.

思考题
讨论函数 z ? f ( x , y ) ? x 2 ? y 2 在 (0,0)点处的偏导 数是否存在?方向导数是否在?

思考题解答
?z ?x
( 0,0 )

f ( ?x ,0) ? f (0,0) | ?x | ? lim ? lim . ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ?x
| ?y | ( 0 , 0 ) ? lim ?y ? 0 ? y

?z 同理: ?y

故两个偏导数均不存在.

? 沿任意方向 l ? { x , y , z }的方向导数,
?z ?l
( 0,0 )

? lim

f ( ? x , ? y ) ? f ( 0,0 )

? ?0

?

? lim

( ?x )2 ? ( ?y )2 ( ?x )2 ? ( ?y )2

? ?0

?1

故沿任意方向的方向导数均存在且相等.

练习题
一、 填空题: 1. 函数 z ? x 2 ? y 2 在点 (1,2) 处沿从点 (1,2) 到点
( 2,2 ? 3 ) 的方向的方向导数为_____________.

2、 设 f ( x , y , z ) ? x 2 ? 2 y 2 ? 3 z 2 ? xy ? 3 x ? 2 y ? 6z , 则 gradf (0,0,0) ? __________________.

x2 y2 z2 3、已知场 u( x , y , z ) ? 2 ? 2 ? 2 , 则u沿 场的梯度方向的 a b c

方向导数是__________________.
a b x2 y2 二、求函数 z ? 1 ? ( 2 ? 2 ) 在点 ( , ) 处沿曲线 2 2 a b x2 y2 ? 2 ? 1在这点的内法线方向的方向导数. 2 a b

三、设 u, v 都 是 x , y , z 的 函 数 , u, v 的 各 偏 导 数 都 存 在 且 连 续 , 证 明: grad (uv ) ? vgradu ? ugradv

x2 y2 z2 四、求 u ? ? 2 ? 2 在点 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 处沿点的向径 r0 2 a b c
的方向导数,问 a, b, c 具有什么关系时此方向导数等于梯度 的模?

练习题答案
一、1、1 ? 2 3 ; 2、3 i ? 2 j ? 6 k ; 2x 2 2y 2 2z 2 3、 ( 2 ) ? ( 2 ) ? ( 2 ) ? gradu ; a b c 4、a ? gradu . 1 2(a 2 ? b 2 ) . 二、 ab 2u( x 0 , y 0 , z 0 ) ?u ;a ? b ? c . 四、 M ? 2 2 2 ?r0 x0 ? y0 ? z0
? ? ? ?


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