最新人教A版必修一高中数学第二章 2.3幂函数公开课课件_图文

第二章 基本初等函数 (Ⅰ) 2.3 幂函数 学习目标 1.理解幂函数的概念; 2. 学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方法 ; 3. 理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征,能 运用数形结合的方法处理幂函数有关问题. 问题导学 题型探究 达标检测 问题导学 新知探究 点点落实 知识点一 幂函数的概念 1 思考 y=x,y=x,y=x2 三个函数有什么共同特征? 答案 底数为x,指数为常数. 函数y=xα 一般地, 叫做幂函数,其中x是自变量,α 是常数. 答案 知识点二 思考 幂函数的图象与性质 1 2 如图在同一坐标系内作出 数 y=x ; (1)y = x ; ? 2?函 (3)y=x2;(4)y=x-1;(5)y=x3的图象. 填写下表: y=x 定义域 值域 奇偶性 R R y=x2 R [0,+∞) y=x3 R R 奇 y=x ; 1 2 y=x-1 [0,+∞){x|x≠0} {y|y≠0} [0,+∞) 非奇非偶 奇 在(0, +∞减 ) 上 奇 偶 在[0,+ 增 ∞) 上 增 增 单调性 增 减 ,在(- 减 ,在(- 答案 根据上表,可以归纳一般幂函数特征: (1,1) (1)所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象 都过点 上凸 +∞ )上是 α<0 (3) 函数; 小 大 (4) 幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关 于直线y=x对称; 答案 返回 ; 原点 增 ,并且在区间 [0 , ; 下凸 (2)α>0时,幂函数的图象通过 函数.特别地,当α>1时,幂函数的图象 ;当0<α<1时,幂函数的图象 时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减 题型探究 类型一 例1 重点难点 个个击破 幂函数的概念 2 m2-1 已知 y=(m +2m-2) x +2n-3 是幂函数,求 ? 2 解 由题意得?m -1≠0, ? ? ?2n-3=0, ?m=-3, ? 解得? 3 ?n= , ? 2 2 m,n的值.? m ? +2m-2=1, 3 所以 m=-3,n= . 2 反思与 解析答 1 跟踪训练 1 在函数 y=x2, y=2x2, y=x2+x, y=1 中, 幂函数的个数为( B ) A.0 B.1 C.2 D.3 1 -2 解析 ∵y= 2=x ,所以是幂函数; x y=2x2由于出现系数2,因此不是幂函数; y = x2 + x 是 两 项 和 的 形 式 , 不 是 幂 函 数 ; y = 1 = x0(x≠0),可以看出,常函数y=1的图象比幂函数y= x0的图象多了一个点(0,1), 所以常函数y=1不是幂函数. 解析答 类型二 幂函数的图象及应用 1 例 2 若点( 2,2)在幂函数 f(x)的图象上,点(-2,4)在幂函数 g(x)的图 象上,问当 x 为何值时,(1)f(x)>g(x);(2)f(x)=g(x);(3)f(x)<g(x). 反思与 解析答 跟踪训练 2 幂函数 y = xα(α≠0) ,当 α 取不同的正数 时,在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线 (如 图 ). 设点 A(1,0) , B(0,1) ,连接 AB ,线段 AB 恰好被其 中的两个幂函数 y = xα , y = xβ 的图象三等分,即有 A BM=MN=NA.那么αβ等于( 1 2 2 1 A.1 由条件知, B.2 C.3 解析 M(3,3)、 N(3,3), 1 2α 2 1β ∴3=(3) ,3=(3) , 1 αβ 1 β α 2 α 1 ∴(3) =[(3) ] =(3) =3, ) D.无法确定 ∴αβ=1.故选A. 解析答 类型三 幂函数性质的综合应用 例3 (1)探讨函数 f ? x ?=x 解 f ? x ?=x ? 1 2 ? 1 2 的单调性. 的定义域为(0,+∞). 任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2, 1 1 1 1 ? ? 则 f(x2)-f(x1)= x2 2 ? x1 2 = - x2 x1 x 1- x 2 x1-x2 = = . x1x2 x1x2· ? x1+ x2? 因为x2>x1>0,所以x1-x2<0, 且 x1x2· ( x1+ x2)>0,于是 f(x2)-f(x1)<0,即 f(x2)<f(x1), 所以 f ? x ?=x ? 1 2 在区间(0,+∞)内是减函数. 解析答 (a+1) ? (3-2a) , (2)若 f知 解析 由(1) ? x ?=x ? 1 2 1 ? 2 1 ? 2 2 3 (,) 3 2 则a的取值范围是 ________. 在区间(0,+∞)内是减函 ? ?a+1>0, 1 1 ? ? ? 所以 (a+1) 2 ? (3-2a) 2 等价于?3-2a>0, ? ? ?a+1>3-2a, 数. 2 3 解得 <a< . 3 2 2 3 所以 a 的取值范围是(3,2). 反思与 解析答 跟踪训练3 f ? x ?=x 已知幂函数 1 m2 ? m (m ? N* ). (1) 试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义 域上的单调性; 解 ∵m∈N*, ∴m2+m=m×(m+1)为偶数. 令 m +m=2k,k∈N ,则 f(x)= x, 2 * 2k ∴定义域为[0,+∞),在[0,+∞)上f(x)为增函数. 解析答 (2)若函数还经过(2, 2),试确定 m 的值,并求满足 f(2-a)>f(a-1)的实 数 a 的取值范围. 解 2=2 =2 1 2 1 m2 ? m , ∴m2+m=2, 解得m=1或m=-2(舍去), ? f ? x ?=x , 由(1)知f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数. ∴f(2-a)>f(a-1)等价于2-a>a-1≥0, 1 2 3

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