精品教育2018北师大版高中数学必修五学案:第二章 1.2 余弦定理(一)

小学+初中+高中 1.2 学习目标 余弦定理(一) 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法 .2.会运用余弦定理 解决两类基本的解三角形问题. 知识点一 余弦定理的推导 思考 1 根据勾股定理,若△ABC 中,∠C=90° ,则 c2=a2+b2=a2+b2-2abcos C.① 试验证①式对等边三角形还成立吗?你有什么猜想? 思考 2 在 c2=a2+b2-2abcos C 中,abcos C 能解释为哪两个向量的数量积?你能由此证明 思考 1 的猜想吗? 梳理 余弦定理的发现是基于已知两边及其夹角求第三边的需要.因为两边及其夹角恰好是 平面向量一组基底的条件,所以能把第三边用基底表示进而求出模. 另外,也可通过建立坐标系利用两点间距离公式证明余弦定理. 知识点二 余弦定理的呈现形式 1.a2=__________________,b2=____________________,c2=____________. b2+c2-a2 2.cos ____= ; 2bc c2+a2-b2 cos ____= ; 2ca a2+b2-c2 cos ____= . 2ab 知识点三 适宜用余弦定理解决的两类基本的解 三角形问题 思考 1 观察知识点二第 1 条中的公式结构,其中等号右边涉及几个量?你认为可用来解哪 类三角形? 思考 2 观察知识点二第 2 条中的公式结构,其中等号右边涉及几个量?你认为可用来解哪 类三角形? 梳理 余弦定理适合解决的问题: (1)已知两边及其夹角, 解三角形; (2)已知三边, 解三角形. 类型一 余弦定理的证明 例 1 已知△ABC,BC=a,AC=b 和角 C,求解 c. 小学+初中+高中 小学+初中+高中 反思与感悟 所谓证明,就是在新旧知识间架起一座桥梁.桥梁架在哪儿,要勘探地形,证 明一个公式,要考察公式两边的结构特征,联系已经学过的知识,看有没有相似的地方. 跟踪训练 1 例 1 涉及线段长度,能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题? 类型二 用余弦定理解三角形 命题角度 1 已知两边及其夹角 例 2 在△ABC 中,已知 b=60 cm,c=34 cm,A=41° ,解三角形.(角度精确到 1° ,边长 精确到 1 cm) 反思与感悟 已知三角形两边及其夹角时,应先从余弦定理入手求出第三边,再利用正弦定 理求其余的角. 跟踪训练 2 在△ABC 中,已知 a=2,b=2 2,C=15° ,求 A. 命题角度 2 已知三边 例3 在△ABC 中, 已知 a=134.6 cm, b=87.8 cm, c=161.7 cm, 解三角形(角度精确到 1′). b2+c2-a2 a2+c2-b2 反思与感悟 已知三边求三角, 可利用余弦定理的变形 cos A= , cos B= , 2bc 2ac b2+a2-c2 cos C= 求一个角,求其余角时,可用余弦定理也可用正弦定理. 2ba 跟踪训练 3 在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=2∶4∶5,判断三角形的形状. 3 1. 一个三角形的两边长分别为 5 和 3, 它们夹角的余弦值是- , 则三角形的另一边长为( 5 A.52 B.2 13 C.16 D.4 ) ) 2.在△ABC 中,a=7,b=4 3,c= 13,则△ABC 的最小角为( π π π π A. B. C. D. 3 6 4 12 3.如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为( 5 3 A. B. 18 4 C. 3 7 D. 2 8 ) 4.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,如果 a,b,c 成等差数列,B=30° , 3 △ABC 的面积为 ,那么 b 等于( 2 1+ 3 A. 2 B.1+ 3 ) 2+ 3 C. D.2+ 3 2 小学+初中+高中 小学+初中+高中 1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题: (1)已知两边和夹角,解三角形. (2)已知三边求三角形的任意一角. 2.余弦定理与勾股定理的关系:余弦定理可以看作是勾股定理的推广,勾股定理可以看作是 余弦定理的特例. (1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角. (2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角. (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角. 小学+初中+高中 小学+初中+高中 答案精析 问题导学 知识点一 思考 1 当 a=b=c 时,∠C=60° , a2+b2-2abcos C=c2+c2-2c· ccos 60° =c2, 即①式仍成立,据此猜想,对一般△ABC,都有 c2=a2+b2-2abcos C. 思考 2 abcos C=|C B |· |C A ∴a2+b2-2abcos C → → → → =CB2+CA2-2CB· CA → → → =(CB-CA)2=AB2 =c2. 猜想得证. 知识点二 1.b2+c2-2bccos A c2+a2-2cacos B a2+b2-2abcos C 2.A B C 知识点三 思考 1 每个公式右边都涉及三个量,两边及其夹角.故如果已知三角形的两边及其夹角, 可用余弦定理解三角形. 思考 2 每个公式右边都涉及三个量,即三角形的三条边,故如果已知三角形的三边,也可 用余弦定理解三角形. 题型探究 例1 解 → → → → → → CB,CA =CB· CA. 如图,设 C B =a,C A =b, A B =c, 由 A B =C B -C A ,知 c=a-b, 则|c|2=c· c=(a-b)· (a-b) → → → → → → 小学+初中+高中 小学+初中+高中 =a· a+b· b-2a· b=a2+b2- 2|a||b|cos C. 所以 c2=a2+b2-

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