2017-2018学年内蒙古准格尔旗世纪中学高一数学必修1课件:3.2.1《几类不同增长的函数模型》1_图文

函数模型及其应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型 材料:澳大利亚兔子数“爆炸” 下面我们先来看两个具体问题. 例1 、 假设你有一笔资金用于投资,现在有三种投 资方案供你选择,这三种方案的回报如下: 方案一、每天回报40元; 方案二、第一天回报10元,以后每天比前一天多回 报10元; 方案三、第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一 天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案? 1、依据什么标准来选取投资方案?日回报效益,还是 分析: 累计回报效益? 2、如何建立日回报效益与天数的函数模型? 解:设第x天所得回报是y元 方案一可以用函数 方案二可以用函数 ? y ? 40( x ? N ) 进行描述; 进行描述; y ? 0.4 ? 2 x ?1   (x ? N *) 方案三可以用函数 进行描述. 3、三个函数模型的增减性如何? 4、要对三个方案作出选择,就要对它们的增长情况进行 分析,如何分析? y ? 10 x ( x ? N * ) 表- 1 x(天) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 30 方案一 方案二 方案三 y(元) 增加量 (元 ) y(元) 增加量 (元 ) y(元) 增加量 (元 ) 40 10 0.4 40 0 20 10 0.8 0.4 40 0 30 10 1.6 0.8 40 0 40 10 3.2 1.6 40 0 50 10 6.4 3.2 40 0 60 10 12.8 6.4 40 40 40 40 … 40 0 0 0 0 0 … 300 70 80 90 100 … 10 10 10 10 10 … 214748364.8 25.6 12.8 51.2 25.6 102.4 51.2 204.8 102.4 … … 107374182.4 函数图象是分析问题的 好帮手.为了便于观察, 我们用虚线连接离散的 点. 我们看到,底为2 的指数函数模型比 线性函数模型增长 速度要快得多.从 中你对“指数爆炸” 的含义有什么新的 理解? 表-2 累计回报效益 600 500 400 300 200 100 方案一 回报 (元) 方案二 回报 (元) 方案一 方案二 方案三 方案三 回报 x(天) (元) 回报(元) 回报(元) 回报(元) 线性 (方案一 1 40 10 0.4 回报(元)) 多项式 (方案 2 80 30 1.2 二 回报(元)) 3 120 60 2.8 指数 (方案三 回报(元)) 4 160 100 6 5 200 150 12.4 6 240 210 25.2 因此,投资8天以下(不含8 7 280 280 50.8 天),应选择第一种投资方案; 8 320 360 102 投资8~10天,应选择第二种投 9 360 450 204.4 资方案;投资 11 天 ( 含 11 天 ) 以上, 10 400 550 409.2 11 440 660 818.8 刚应选择第三种投资方案. 0 0 5 10 15 例 2、某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励 销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进 行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x (单位:万元)的 增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金总数不超过利 润的25%,现有三个奖励模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x, 其中哪个模型能符合公司的要求? 分析:某个奖励模型符合公司要求,就是依据这个模型进行奖励时, 奖金总数不超过5万元, 同时奖金不超过利润的25%, 由于公司总的利润目标为1000万元,所以部门销售利润一般不会超过公司 总的利润. 于是,只需在区间[10,1000]上,检验三个模型是否符合公司要求即 可. 思考: 1.X的取值范围,即函数的定义域. 2.要满足哪些条件? 3.通过图象说明选用哪个函数模型?为什 么? 解: 借助计算机作出函数 y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x的图象 观察图象发现,在区间[10 ,1000]上,模型y=0.25x y= 1.002x 的图象都有一部分在直线y=5的上方,只有模 型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方,这说明只有按模 型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求,下面通过计 算确认上述判断. 首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万. 对于模型y=0.25x它在区间[10 ,1000]上递增,当 x∈(20,1000)时,y>5因此该模型不符合要求; 对于模型y=1.002x , 由函数图象,并利用计算器, 可知在区间(805,806) 内有一个点x0 满足1.002x=5,由 于它在区间 [10 ,1000]上递增,因此当 x>x0 时,y>5 因此该模型y=1.002x 也不符合要求; 对于模型y=log7x+1 它在区间 [10 ,1000] 上递增,而 且当x=1000时 ,y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合 奖金总数不超过5万元的要求. 再计算按模型 y=log7x+1 奖励时,奖金是否不超过利 润的25%,即当x∈[10,1000]时,是否有 log 7 x ? 1 y ? ? 0.25 x x 成立. 令y=log7x+1-0.25x , x∈[10,1000] . 利用计算机作出函数f(x) 的图象 . 由图象可知它是递减的,因此f(x)<f(10)≈-0.3167<0 即y=log7x+1<0.25x log 7 x ? 1 ? 0.25 所以当x∈[10,1000] 时, . 说明 x 按模型y=log7x+1奖金不会超过利润的25%. 综上所述,模型y=log7x+1 确实能很符合公司要求. 小结与反思: 通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、 指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长 的含义,认识数学的价值,

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