数列求通项公式的常见题型与解题方法 (2)

由数列递推公式求数列的通项公式 教学目标: 1.复习、 巩固已知 S n 求 an 、 累加法、 累乘法求数列通项公式; 熟练数列求通项的热点类型---先证后求; 2.理解、掌握递推式为 an?1 ? pan ? q ? p ? 1, q可以是常数, 可以是关于n的函数? 的数列 ?an ? 的通项 公式的求法; 3.化归转化思想方法的渗透。 教学内容:由数列递推公式求数列的通项公式. 教学重点: 1.递推式为 an?1 ? pan ? q ? p ? 1, q可以是常数, 可以是关于n的函数? 的数列 ?an ? 的通项公式的求法 2.构造新数列和化归转化思想方法的渗透. 教学难点: 1.递推式为 an?1 ? pan ? q ? p ? 1, q可以是常数, 可以是关于n的函数? 的数列 ?an ? 的通项公式的求法 2.构造新数列,化归转化思想方法的渗透. 教学方法:讲解法,练习法. 教学手段:多媒体课件,实物投影器. 学情分析:高三文科班。学生已经熟练掌握求等差、等比数列的通项公式,基本掌握已知 S n 求 an 以及 累加法、累乘法求数列通项公式的方法. 教学过程: 课前小练 数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,求分别满足下列关系的数列 {an } 的通项公式 an . 1.sn ? n 2 ? 4 2..a1 ? 1 , s n ? 2an 3.a1 ? 1, an?1 ? an ? n 4.a1 ? 1, an?1 ? 2n an

方法回顾:1.一般数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系: a n ? ? 2.递推式为 an?1 ? an ? f ?n?,用迭加法求 an ; 3.递推式为 an?1 ? f ?n?an ,用迭乘法求 an .

?

s1

n ?1 n?2

?s n ? s n ?1



1

典型例题: 例 1:数列 {a n } 的前 n 项和 Sn 且满足关系 Sn ? 2an ? n , 求证:(1) ?an ? 1? 是等比数列. (2)求 ?an ? 的通项公式 分析:由数列的习题中有通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系时,应先利用知和求项的方法化归为一种形式, 再进行求解,如本题中化归为项的关系。。。即递推关系. 。。

方法提练: 方法(1):对于递推式 an?1 ? pan ? q? p ? 1? ,可设 an?1 ? c ? pan ? q ? c ? p ? an ?

? ?

q?c? q ?c ?c, ? ,令 p p ?

得c ?

q ,由数列 ?an ? c? 是以 a1 ? c 为首项, p 为公比的等比数列得到数列{an}通项公式 an ; 、 p ?1
n ?1

方 法 (2) 在 式 子 an?1 ? pan ? q? p ? 1? 两 边 同 除 以 p



an?1 an a q ? n ? n ?1 , 设bn ? n , 得 n ?1 p p p pn

bn ?1 ? bn ?

q ,再用累加法求 bn ,进而求得 an ; p n ?1

方法(3)直接观察构造等比数列. 变式训练 1:数列 {a n } 满足关系 a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? 4 ,求 an .

2

变式训练 2: 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n (1)证明:

? 2a n ? 2 n .

?an?1 ? 2an ?是等比数列;

(2)求数列 ?an ? 通项公式 an . (分析:由数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系,等式中含有“项” “和”时要先化归为一种形式,进 而得到数列的递推公式,再利用递归关系特点求解)

方法提炼: 递 推 式 an?1 ? pan ? q ? p ? 1, q可以是常数, 可以是关于n的函数? 的 数 列 , 两 边 除 以 p
n ?1

,得

a an?1 an qn qn (本变式通过 ? n ? n ?1 ,引辅助数列 ?bn ? , bn ? nn ,得 bn?1 ? bn ? n?1 再例用累加法求解. p p n?1 p p p

an?1 ? pan ? q n 来说明,文科重点是证明和掌握思想方法,会通法)
思想方法::对于由递推公式所确定的数列的求解,通常可通过对递推公式的化归转化,转化成等差或等 比数列问题. 例 2:设数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a2 ? 2 , an ? (1) 求证:数列 ?an?1 ? an ?是等比数列; (2) 求数列 {an } 的通项公式 an . (本题设置是证明特殊数列中常规是一阶多,而课本习题中出现了这样二阶形式的关系,08 年文科高 考试题也出现了这样类型,所以提出作为例题,本题主要熟练先证后求的题型处理特点)

1 (an ?1 ? 2an ? 2 ) 3

(n ? 3 , 4 , , ) ?

本课小结: 1.掌握数列中式子的结构特点,并熟练先证后求的题型处理方法。 2.掌握一些基本的递推关系求通项的方法:累加,累乘,构造新数列。

3

课后练习:

1 ? 0 ? an ? ; ? 2an , 6 ? 2 若 1. 若数列 ?an ? 满足 an ?1 ? ? a1 ? ,则 a20 的值为 7 ?2a ? 1, 1 ? a ? 1. n n ? 2 ?
A.





6 7

B.

5 7

C.

3 7

D.

1 7

2.数列 {an } 满足关系 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2n ,求 an . 3.数列 {a n } 满足关系 a1 ? 1 , a1 ? a2 ? a3 ?an ? n 2 n ? N ? ,求 an . 4.数列 {a n } 满足关系 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? n ,求 an . 5.设数列{an}的首项 a1∈(0,1), a n ?

?

?

3 ? a n ?1 , n ? 2,3,4?? ,求数列{an}的通项公式 an . 2

6.数列 {a n } 满足关系 a1 ? 1 , an ?1 ?

3an (n ? 1,2,3......),求 an . 3 ? an
n ?1

5 1 ?1? 7.已知数列 ?an ? 中, a1 ? , an?1 ? an ? ? ? 6 3 ? 2?

,求数列 ?an ? 通项公式 an .

8.已知数列{an}中 a1=2, a n ?1 =( 2- ) n+2) ,n=1,2,3?, ),求{an}的通项公式 an .. 1 (a 9.sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,sn ? (m ? 1) ? man 对任意的 n ? N ? 都成立, 其中 m 为常数,m ? ?1 . (1)求证: ?an ? 是等比数列.
? (2)记数列 ?an ? 公比为 q ,设 q ? f (m) ,若数列 ?bn ? 满足 b1 ? a1 ,且 bn ? f (bn?1 ) (n ? 2, n ? N ) ,

求证: ?

?1? ? 是等差数列. ? bn ?

(3)求出 ?bn ? 的通项公式.

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