万安县第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

万安县第二中学 2018-2019 学年上学期高三数学 10 月月考试题 班级__________ 一、选择题
1. 将函数 f ( x) ? sin ?x (其中 ? ? 0 )的图象向右平移

座号_____

姓名__________

分数__________

3? ,0) ,则 ? 的最小值是( 4 1 A. 3 (
A.AB?α 3. 已知集合 A. B.AB?α

? 个单位长度,所得的图象经过点 4

) B. C.

5 3


D.

2. 线段 AB 在平面 α 内,则直线 AB 与平面 α 的位置关系是( C.由线段 AB 的长短而定 , B. D.以上都不对 ,则 (



C. D. 10 x ,则等于( 4. 已知角的终边经过点 P ? x , ) 3? ? x ? 0 ? 且 cos ? ? 10 2 2 1 A. ?1 B. ? C. ? 3 D. ? 3 3 5. 在平面直角坐标系 中, 向量 =( 1, 2), =(2, m), 若 O, A, B 三点能构成三角形, 则 ( ) A. B. C. D. =2,则四面体 D﹣ABC 中最长 6. 如图,四面体 D﹣ABC 的体积为 ,且满足∠ACB=60°,BC=1,AD+ 棱的长度为( )

A.

B.2

C.

D.3

7. 已知数列 ?an ? 为等差数列, Sn 为前项和,公差为 d ,若 A.

S 2017 S17 ? ? 100 ,则 d 的值为( 2017 17
C. 10

) D. 20

1 20

B.

1 10
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8. 已知函数 f ( x) ? f ' (1) x2 ? x ? 1 ,则 A. ?

?

1

0

f ( x)dx ? (
D. ?



7 6

B.

7 6

C.

5 6

5 6

【命题意图】本题考查了导数、积分的知识,重点突出对函数的求导及函数积分运算能力,有一定技巧性,难 度中等. 9. 若 f ? x ? ? ? A. 10 A. 1 ? MN ? 5 ( )

? ? x ? 2, ? x ? 10 ? ,则 f ? 5? 的值为( f f x ? 6 , x ? 10 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
B. 11 B. 2 ? MN ? 10

) C. 12 C. 1 ? MN ? 5 D.13 ) D. 2 ? MN ? 5

10.已知空间四边形 ABCD , M 、 N 分别是 AB 、 CD 的中点,且 AC ? 4 , BD ? 6 ,则(

11.棱长为 2 的正方体被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为

A.

B.18

C.

D. 分别为 0,1,则输出的 ( )

12.执行如图所示的程序框图,若输入的

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A.4

B.16

C.27

D.36 . .

二、填空题
13.若函数 f ( x ? 1) ? x2 ? 1 ,则 f (2) ? 14.命题“? x∈R,2x2﹣3ax+9<0”为假命题,则实数 a 的取值范围为

15.设某总体是由编号为 01,02,…,19,20 的 20 个个体组成,利用下面的随机数表选取 6 个个体,选取方 法是从随机数表第 1 行的第 3 列数字开始从左到右依次选取两个数字,则选出来的第 6 个个体编号为 ________. 1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619 6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238 【命题意图】本题考查抽样方法等基础知识,意在考查统计的思想. 16.设直线系 M:xcosθ+(y﹣2)sinθ=1(0≤θ≤2π),对于下列四个命题: A.M 中所有直线均经过一个定点 B.存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上 C.对于任意整数 n(n≥3),存在正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上 D.M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号). 17.设 f ( x ) ?

x ,在区间 [0,3] 上任取一个实数 x0 ,曲线 f ( x ) 在点 ? x0 , f ( x0 ) ? 处的切线斜率为 k ,则随机 ex

事件“ k ? 0 ”的概率为_________.

三、解答题
18.已知圆 C:(x﹣1) +y =9 内有一点 P(2,2),过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A,B 两点. (1)当 l 经过圆心 C 时,求直线 l 的方程; (2)当弦 AB 被点 P 平分时,求直线 l 的方程.
2 2

19.数列{an}满足 a1=

,an∈(﹣



),且 tanan+1?cosan=1(n∈N ).

*

2 2 (Ⅰ)证明数列{tan an}是等差数列,并求数列{tan an}的前 n 项和;

(Ⅱ)求正整数 m,使得 11sina1?sina2?…?sinam=1.

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20.设圆 C 满足三个条件①过原点;②圆心在 y=x 上;③截 y 轴所得的弦长为 4,求圆 C 的方程.

21.设椭圆 C:

+

=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为 .

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被椭圆所截得线段的中点坐标.

22.已知数列{an}是等比数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 a3=3,S3=9 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=log2 ,且{bn}为递增数列,若 cn= ,求证:c1+c2+c3+…+cn<1.

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23.(本题满分 12 分)在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AA 1 ? AD ? a , E 是棱 CD 上的一点, P 是棱 AA 1 上的一点. (1)求证: AD1 ? 平面 A1B1D ; (2)求证: B1E ? AD1 ; (3)若 E 是棱 CD 的中点, P 是棱 AA 1 的中点,求证: DP // 平面 B 1 AE .

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万安县第二中学 2018-2019 学年上学期高三数学 10 月月考试题(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D

点:由 y ? A sin ??x ? ? ? 的部分图象确定其解析式;函数 y ? A sin ??x ? ? ? 的图象变换. 2. 【答案】A 【解析】解:∵线段 AB 在平面 α 内, ∴直线 AB 上所有的点都在平面 α 内, ∴直线 AB 与平面 α 的位置关系: 直线在平面 α 内,用符号表示为:AB?α 故选 A.



【点评】 本题考查了空间中直线与直线的位置关系及公理一, 主要根据定义进行判断, 考查了空间想象能力. 公 理一:如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上. 3. 【答案】B 【解析】【知识点】集合的运算 【试题解析】 所以 故答案为:B 4. 【答案】A 【 解 析 】 。

考 点:三角函数的定义.

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5. 【答案】B 【解析】【知识点】平面向量坐标运算 【试题解析】若 O,A,B 三点能构成三角形,则 O,A,B 三点不共线。 若 O,A,B 三点共线,有:-m=4,m=-4. 故要使 O,A,B 三点不共线,则 。 故答案为:B 6. 【答案】 B 【解析】解:因为 AD?( BC?AC?sin60°)≥VD﹣ABC= ,BC=1, 即 AD? ≥1, ≥2 =2,

因为 2=AD+ 当且仅当 AD= 这时 AC= 得 BD= 故选 B.

=1 时,等号成立, ,

,AD=1,且 AD⊥面 ABC,所以 CD=2,AB= ,故最长棱的长为 2.

【点评】本题考查四面体中最长的棱长,考查棱锥的体积公式的运用,同时考查基本不等式的运用,注意等号 成立的条件,属于中档题. 7. 【答案】B

n ? n ? 1? S n na1 ? d d ?S ? 2 ? ? a1 ? ? n ? 1? ? ,则 ? n ? 为等差数列公差为 , 试题分析:若 ?an ? 为等差数列, n n 2 2 ?n? S S d 1 ? 2017 ? 17 ? 100, 2000 ? ? 100, d ? ,故选 B. 2017 17 2 10
考点:1、等差数列的通项公式;2、等差数列的前项和公式. 8. 【答案】B

【解析】

9. 【答案】B 【 解 析 】

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考 点:函数值的求解. 10.【答案】A 【解析】 试题分析:取 BC 的中点 E ,连接 ME , NE , ME ? 2, NE ? 3 ,根据三角形中两边之和大于第三边,两边之 差小于第三边,所以 1 ? MN ? 5 ,故选 A.

考点:点、线、面之间的距离的计算.1 【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的位置关系及其应用,其中解答中涉及三角形的边与边之间的关系、 三棱锥的结构特征、三角形的中位线定理等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力, 以及转化与化归思想的应用, 本题的解答中根据三角形的两边之和大于第三边和三角形的两边之差小于第三边 是解答的关键,属于基础题. 11.【答案】D 【解析】解:由三视图可知正方体边长为 2,截去部分为三棱锥,作出几何体的直观图如图所示:

2 故该几何体的表面积为:3×2 +3×(

)+

=



故选:D. 12.【答案】D 【解析】【知识点】算法和程序框图 【试题解析】A=0,S=1,k=1,A=1,S=1,否;k=3,A=4,S=4,否;k=5,A=9,S=36,是, 则输出的 36。
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故答案为:D

二、填空题
13.【答案】0 【解析】111]

考点:函数的解析式. 14.【答案】﹣2 ≤a≤2
2

【解析】解:原命题的否定为“?x∈R,2x ﹣3ax+9≥0”,且为真命题, 则开口向上的二次函数值要想大于等于 0 恒成立, 只需△=9a ﹣4×2×9≤0,解得:﹣2 故答案为:﹣2 ≤a≤2
2

≤a≤2



【点评】存在性问题在解决问题时一般不好掌握,若考虑不周全、或稍有不慎就会出错.所以,可以采用数学 上正难则反的思想,去从它的反面即否命题去判定.注意“恒成立”条件的使用. 15.【答案】19 【解析】由题意可得,选取的这 6 个个体分别为 18,07,17,16,09,19,故选出的第 6 个个体编号为 19. 16.【答案】BC 【解析】 【分析】验证发现,直线系 M:xcosθ+(y﹣2)sinθ=1(0≤θ≤2π)表示圆 x +(y﹣2) =1 的切线的集合, A.M 中所有直线均经过一个定点(0,2)是不对,可由圆的切线中存在平行线得出, B.存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上,观察直线的方程即可得到点的坐标. C.对于任意整数 n(n≥3),存在正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上,由直线系的几何意义可判断, D.M 中的直线所能围成的正三角形面积一定相等,由它们是同一个圆的外切正三角形可判断出. 【解答】解:因为点(0,2)到直线系 M:xcosθ+(y﹣2)sinθ=1(0≤θ≤2π)中每条直线的距离 d= =1,直线系 M:xcosθ+(y﹣2)sinθ=1(0≤θ≤2π)表示圆 x +(y﹣2) =1 的切线的集
2 2 2 2

合, 2 2 A.由于直线系表示圆 x +(y﹣2) =1 的所有切线,其中存在两条切线平行,M 中所有直线均经过一个定点 (0,2)不可能,故 A 不正确; B.存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上,观察知点 M(0,2)即符合条件,故 B 正确; C.由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线,所以对于任意整数 n(n≥3),存在正 n 边形,其所有边均 在 M 中的直线上,故 C 正确; D.如下图,M 中的直线所能围成的正三角形有两类, 其一是如△ABB′型,是圆的外切三角形,此类面积都相等,另一类是在圆同一侧,如△BDC 型,此一类面积 相等,但两类之间面积不等,所以面积大小不一定相等,

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故本命题不正确. 故答案为:BC.

17.【答案】

3 5

【解析】解析:本题考查几何概率的计算与切线斜率的计算.

k ? f ?( x0 ) ?

1 ? x0 2 ,由 f ?( x0 ) ? 0 得, x0 ? 1 ,∴随机事件“ k ? 0 ”的概率为 . x0 3 e

三、解答题
18.【答案】 【解析】 【分析】(1)求出圆的圆心,代入直线方程,求出直线的斜率,即可求直线 l 的方程; (2)当弦 AB 被点 P 平分时,求出直线的斜率,即可写出直线 l 的方程; 2 2 【解答】解:(1)已知圆 C:(x﹣1) +y =9 的圆心为 C(1,0),因为直线 l 过点 P,C,所以直线 l 的斜 率为 2,所以直线 l 的方程为 y=2(x﹣1),即 2x﹣y﹣2=0. (2)当弦 AB 被点 P 平分时,l⊥PC,直线 l 的方程为 ,即 x+2y﹣6=0.

19.【答案】 【解析】(Ⅰ)证明:∵对任意正整数 n,an∈(﹣
2 故 tan an+1=



),且 tanan+1?cosan=1(n∈N ).

*

=1+tan2an,

2 2 ∴数列{tan an}是等差数列,首项 tan a1= ,以 1 为公差.



=



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2 ∴数列{tan an}的前 n 项和=

+

=

. .

(Ⅱ)解:∵cosan>0,∴tanan+1>0, ∴tanan= , ,

∴sina1?sina2?…?sinam=(tana1cosa1)?(tana2?cosa2)?…?(tanam?cosam) =(tana2?cosa1)?(tana3cosa2)?…?(tanam?cosam﹣1)?(tana1?cosam) =(tana1?cosam)= 由 ,得 m=40. = ,

【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、同角三角函数基本关系式,考查了推理能力与计 算能力,属于难题. 20.【答案】 【解析】解:根据题意画出图形,如图所示:

当圆心 C1 在第一象限时,过 C1 作 C1D 垂直于 x 轴,C1B 垂直于 y 轴,连接 AC1, 由 C1 在直线 y=x 上,得到 C1B=C1D,则四边形 OBC1D 为正方形, ∵与 y 轴截取的弦 OA=4,∴OB=C1D=OD=C1B=2,即圆心 C1(2,2), 在直角三角形 ABC1 中,根据勾股定理得:AC1=2 则圆 C1 方程为:(x﹣2) +(y﹣2) =8; 当圆心 C2 在第三象限时,过 C2 作 C2D 垂直于 x 轴,C2B 垂直于 y 轴,连接 AC2, 由 C2 在直线 y=x 上,得到 C2B=C2D,则四边形 OB′C2D′为正方形,∵与 y 轴截取的弦 OA′=4,∴OB′=C2D′, =OD′=C2B′=2,即圆心 C2(﹣2,﹣2), 在直角三角形 A′B′C2 中,根据勾股定理得:A′C2=2 ,
2 2



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2 2 则圆 C1 方程为:(x+2) +(y+2) =8, 2 2 2 2 ∴圆 C 的方程为:(x﹣2) +(y﹣2) =8 或(x+2) +(y+2) =8.

【点评】本题考查了角平分线定理,垂径定理,正方形的性质及直角三角形的性质,做题时注意分两种情况, 利用数形结合的思想,分别求出圆心坐标和半径,写出所有满足题意的圆的标准方程,是中档题.

21.【答案】 【解析】解:(1)将点(0,4)代入椭圆 C 的方程得 由 e= = ,得 1﹣ ∴椭圆 C 的方程为 = + ,∴a=5,… =1.… =1,∴b=4,…

(2)过点(3,0)且斜率为 的直线为 y= (x﹣3),… 设直线与椭圆 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),
2 将直线方程 y= (x﹣3)代入椭圆 C 方程,整理得 x ﹣3x﹣8=0,…

由韦达定理得 x1+x2=3, y1+y2= (x1﹣3)+ (x2﹣3)= (x1+x2)﹣ =﹣ .…

由中点坐标公式 AB 中点横坐标为 ,纵坐标为﹣ , ∴所截线段的中点坐标为( ,﹣ ).… 【点评】本题考查椭圆的方程与几何性质,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用,确定椭圆的方 程是关键. 22.【答案】已知数列{an}是等比数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 a3=3,S3=9 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=log2 ,且{bn}为递增数列,若 cn= ,求证:c1+c2+c3+…+cn<1.

【考点】数列的求和;等比数列的通项公式. 【专题】计算题;证明题;方程思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】(Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,从而可得 3(1+ + )=9,从而解得; =2n,利用裂项求和法求和.

2n 2n (Ⅱ)讨论可知 a2n+3=3?(﹣ ) =3?( ) ,从而可得 bn=log2

【解析】解:(Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,

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则 3(1+ +

)=9,

解得,q=1 或 q=﹣ ; 故 an=3,或 an=3?(﹣ )
n﹣3 ;

(Ⅱ)证明:若 an=3,则 bn=0,与题意不符;
2n 2n 故 a2n+3=3?(﹣ ) =3?( ) ,

故 bn=log2 故 cn=

=2n, = ﹣ ,

故 c1+c2+c3+…+cn=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =1﹣ <1.

【点评】本题考查了数列的性质的判断与应用,同时考查了方程的思想应用及裂项求和法的应用. 23.【答案】 【解析】【命题意图】本题综合考查了线面垂直、线线垂直、线面平行等位置关系的证明,对空间想象能力及 逻辑推理有较高要求,对于证明中辅助线的运用是一个难点,本题属于中等难度.

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