高中数学人教A版选修2-2:课时跟踪检测(一)变化率问题导数的概念-含解析

数学 课时跟踪检测(一) 变化率问题 导数的概念 层级一 学业水平达标 ) 1.如果一个函数的瞬时变化率处处为 0,则这个函数的图象是( A.圆 C.椭圆 B.抛物线 D.直线 x 0 解析:选 D 当 f(x)=b 时,瞬时变化率△ li m - 条直线. b-b Δy =△ li m =0,所以 f(x)的图象为一 - Δx x 0 Δx 2.设函数 y=f(x)=x2-1,当自变量 x 由 1 变为 1.1 时,函数的平均变化率为( A.2.1 C.2 解析:选 A B.1.1 D.0 Δy f?1.1?-f?1? 0.21 = = =2.1. Δx 0.1 1.1-1 ) 3.设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,且有 f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b 为常数), 则( ) A.f′(x)=a C.f′(x0)=a 解析:选 C x 0 B.f′(x)=b D.f′(x0)=b x 0 f′(x0)=△ li m - f?x0+Δx?-f?x0? Δx =△ li m (a+b·Δx)=a. - 4.如果质点 A 按照规律 s=3t2 运动,则在 t0=3 时的瞬时速度为( A.6 C.54 解析:选 B ∵s(t)=3t2,t0=3, ∴Δs=s(t0+Δt)-s(t0)=3(3+Δt)2-3· 32=18Δt+3(Δt)2.∴ (18+3Δt)=18,故应选 B. 5.已知 f(x)=x2-3x,则 f′(0)=( A.Δx-3 C.-3 2 ) B.18 D.81 Δs Δs =18+3Δt.∴△ li m =△ li m Δt x-0 Δt x-0 ) B.(Δx)2-3Δx D.0 解析:选 C =△ li m - ?0+Δx? -3?0+Δx?-02+3×0 f′(0)=△ li m Δx x-0 x 0 ?Δx?2-3Δx =△ li m (Δx-3)=-3.故选 C. Δx x-0 6.设 f(x)=ax+4,若 f′(1)=2,则 a=________. 数学 解析:∵f′(1)=△ li m - =△ li m - x 0 f?1+Δx?-f?1? Δx x 0 a?1+Δx?+4-?a+4? =a,∴a=2. Δx 答案:2 7.汽车行驶的路程 s 和时间 t 之间的函数图象如图, 在时间段[t0, t1], [t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为 v 1, v 2, v 3,则三者的大小关 系为________. 解析: v 1=kOA, v 2=kAB, v 3=kBC, 由图象知 kOA<kAB<kBC. 答案: v 1< v 2< v 3 8.球的半径从 1 增加到 2 时,球的体积平均膨胀率为______. 4 4 28π 解析:∵Δy= π×23- π×13= , 3 3 3 28π 3 Δy 28π ∴ = = . Δx 2-1 3 答案: 28π 3 9.质点按规律 s(t)=at2+1 做直线运动(s 单位:m,t 单位:s).若质点在 t=2 时的瞬 时速度为 8 m/s,求常数 a 的值. 解:∵Δs=s (2+Δt)-s(2)=[a(2+Δt)2+1]-(a×22+1)=4aΔt+a(Δt)2,∴ aΔt, ∴在 t=2 时,瞬时速度为△ li m - x 0 Δs =4a+ Δt Δs =4a,4a=8,∴a=2. Δt 1 ? ?- ,x>0, x 10.已知函数 f(x)=? 求 f′(4)· f′(-1)的值. ?1+x2,x≤0 ? 解:当 x=4 时,Δy=- 1 1 + 4 4+Δx 4+Δx-2 1 1 = - = 2 4+Δx 2 4+Δx = ∴ Δx . 2 4+Δx? 4+Δx+2? Δy 1 = . Δx 2 4+Δx? 4+Δx+2? 数学 ∴li → m Δx 0 Δy 1 =li m Δx Δx→0 2 4+Δx? 4+Δx+2? = 1 1 = . 2× 4×? 4+2? 16 1 ∴f′(4)= . 16 当 x=-1 时, = Δy f?-1+Δx?-f?-1? = Δx Δx 1+?-1+Δx?2-1-?-1?2 =Δx-2, Δx Δx 0 由导数的定义,得 f′(-1)=li → m (Δx-2)=-2, ∴f′(4)· f′(-1)= 1 1 ×(-2)=- . 16 8 层级二 应试能力达标 Δy 等 Δx 1.已知函数 f(x)=2x2-4 的图象上一点(1,-2)及邻近一点(1+Δx,-2+Δy),则 于( ) A.4 C.4+2Δx 解析:选 C B.4x D.4+2(Δx)2 2 2 Δy f?1+Δx?-f?1? 2?1+Δx? -4+2 2?Δx? +4Δx = = = =2Δx+4. Δx Δx Δx Δx 2.甲、乙两人走过的路程 s1(t),s2(t)与时间 t 的关系如图,则在[0, t0]这个时间段内,甲、乙两人的平均速度 v 甲,v 乙的关系是( A.v 甲>v 乙 B.v 甲<v 乙 C.v 甲=v 乙 D.大小关系不确定 解析:选 B 设直线 AC,BC 的斜率分别为 kAC,kBC,由平均变化率的几何意义知, s1(t)在[0,t0]上的平均变化率 v 甲=kAC,s2(t)在[0,t0]上的平均变化率 v 乙=kBC.因为 kAC <kBC,所以 v 甲<v 乙. 3.若可导函数 f(x)的图象过原点,且满足li → m Δx 0 ) f?Δx? =-1,则 f′ (0)=( Δx ) A.-2 C.1 B.-1 D.2 解析:选 B ∵f(x)图象过原点,∴f(0)=0, ∴f′(0)=li → m Δx 0 f?0+Δx?-f?0? f?Δx? =li → m =-1, Δx Δx Δx 0 ∴选 B. 数学 2 1 4.已知

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